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(十一)“专题三”补短增分(综合练)A组——易错清零练1.2018·洛阳模拟已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球O的体积为 A.π B.πC.πD.π解析选A 将正四面体补成正方体,则正四面体的棱为正方体面上的对角线,因为正四面体的棱长为4,所以正方体的棱长为
2.因为球O与正四面体的各棱都相切,所以球O为正方体的内切球,即球O的直径为正方体的棱长2,则球O的体积V=πR3=π,故选A.
2.2018·成都模拟如图,一个三棱锥的三视图均为直角三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 A.4πB.16πC.24πD.25π解析选C 由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥,三条侧棱长分别为224,将该三棱锥补成一个长方体,可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线,所以外接球直径2R==2,则R=,故该球的表面积为4πR2=24π,故选C.3.2018·陕西模拟《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为 A.2B.4+2C.4+4D.4+6解析选C 由三视图知,该几何体是直三棱柱ABCA1B1C1,其中AB=AA1=2,BC=AC=,∠C=90°,其直观图如图所示,侧面为三个矩形,故该“堑堵”的侧面积S=2+2×2=4+4,故选C.4.2018·湖南长郡中学月考正方体的8个顶点中,有4个恰是正四面体的顶点,则正方体与正四面体的表面积之比为________.解析如图,设正方体的棱长为a,则正方体的表面积为S1=6a
2.正四面体PABC的边长为=a,则其表面积为S2=4××a×a×sin60°=2a
2.所以正方体与正四面体的表面积之比为S1∶S2=6a2∶2a2=∶
1.答案∶1B组——方法技巧练1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.6B.8C.10D.12解析选D 根据题中所给的三视图,可以还原几何体,如图所示.该几何体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长、宽、高分别是322的长方体,所以该几何体的体积为2×2×3=12,故选D.2.2018·湖南五市十校联考圆锥的母线长为L,过顶点的最大截面的面积为L2,则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是 A.B.C.D.解析选D 设圆锥的高为h,过顶点的截面的顶角为θ,则过顶点的截面的面积S=L2sinθ,而0sinθ≤1,所以当sinθ=1,即截面为等腰直角三角形时取最大值,故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°,得Lr≥Lcos45°=L,所以≤
1.3.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,则点B到平面D1AC的距离等于________.解如图,连接BD1,易知D1D就是三棱锥D1ABC的高,AD1=CD1=,AC=2,取AC的中点O,连接D1O,则D1O⊥AC,所以D1O==.设点B到平面D1AC的距离为h,则由VBD1AC=VD1ABC,即S△D1AC·h=S△ABC·D1D,又S△D1AC=D1O·AC=××2=,S△ABC=AB·BC=×2×2=2,所以h=.答案
4.如图,侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中,AE=2,AC=AA1=4,∠E=60°,点B在线段ED上.1当点B在何处时,平面A1BC⊥平面A1ABB1;2点B在线段ED上运动的过程中,求三棱柱ABCA1B1C1表面积的最小值.解1由于三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,则AA1⊥平面ABC,因为BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.而AA1∩AB=A,只需BC⊥平面A1ABB1,即AB⊥BC,就有“平面A1BC⊥平面A1ABB1”.在平行四边形ACDE中,因为AE=2,AC=AA1=4,∠E=60°.过B作BH⊥AC于H,则BH=.若AB⊥BC,有BH2=AH·CH.由AC=4,得AH=1或
3.两种情况下,B为ED的中点或与点D重合.2三棱柱ABCA1B1C1的表面积等于侧面积与两个底面积之和.显然三棱柱ABCA1B1C1其底面积和平面A1ACC1的面积为定值,只需保证侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和最小即可.过B作BH⊥AC于H,则BH=.令AH=x,则侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和等于4AB+BC=4[+].其中+可以表示动点x0到定点0,-和4,的距离之和,当且仅当x=2时取得最小值.所以三棱柱的表面积的最小值为2××4×+42+4×2=4+8+
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5.2018·石家庄模拟如图,已知四棱锥PABCD,底面ABCD为正方形,且PA⊥底面ABCD,过AB的平面ABFE与侧面PCD的交线为EF,且满足S△PEF∶S四边形CDEF=1∶
3.1证明PB∥平面ACE;2当PA=2AD=2时,求点F到平面ACE的距离.解1证明由题知四边形ABCD为正方形,∴AB∥CD,∵CD⊂平面PCD,AB⊄平面PCD,∴AB∥平面PCD.又AB⊂平面ABFE,平面ABFE∩平面PCD=EF,∴EF∥AB,∴EF∥CD.由S△PEF∶S四边形CDEF=1∶3知E,F分别为PD,PC的中点.如图,连接BD交AC于点G,则G为BD的中点,连接EG,则EG∥PB.又EG⊂平面ACE,PB⊄平面ACE,∴PB∥平面ACE.2∵PA=2,AD=AB=1,∴AC=,AE=PD=,∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA,又CD⊥AD,AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.在Rt△CDE中,CE==.在△ACE中,由余弦定理知cos∠AEC==,∴sin∠AEC=,∴S△ACE=·AE·CE·sin∠AEC=.设点F到平面ACE的距离为h,连接AF,则VFACE=××h=h.∵DG⊥AC,DG⊥PA,AC∩PA=A,∴DG⊥平面PAC.∵E为PD的中点,∴点E到平面ACF的距离为DG=.又F为PC的中点,∴S△ACF=S△ACP=,∴VEACF=××=.由VFACE=VEACF,得h=,得h=,∴点F到平面ACE的距离为.C组——创新应用练1.某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为 A.2B.2C.4D.2解析选C 本题可以以长方体为载体,设该几何体中棱长为的棱与此长方体的体对角线重合,则此棱各射影分别为相邻三面的对角线,其长度分别为,a,b,设长方体的各棱长分别为x,y,z,则有⇒a2+b2=
8.所以≥2⇒a+b≤4,当且仅当a=b=2时取“=”,故a+b的最大值为
4.2.2018·昆明模拟古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米,用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示,则凿去部分看成一个简单的组合体的体积为 A.63πB.72πC.79πD.99π解析选A 由三视图得,凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体,其中半球的半径为3,体积为×π×33=18π,圆柱的底面半径为3,高为5,体积为π×32×5=45π.所以凿去部分的体积为18π+45π=63π.故选A.3.2018·沈阳质检在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且BD⊥CD,AB=BD=CD,点P在棱AC上运动,设CP的长度为x,若△PBD的面积为fx,则fx的图象大致是 解析选A 如图,作PQ⊥BC于Q,作QR⊥BD于R,连接PR,则由鳖臑的定义知PQ∥AB,QR∥CD,PQ⊥QR.设AB=BD=CD=1,CP=x0≤x≤1,则==,即PQ=,又===,所以QR=,所以PR===,又由题知PR⊥BD,所以fx==,结合选项知选A.4.2018·长春模拟已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形,则该圆锥体积的最大值为________.解析由题意得圆锥的母线长为3,设圆锥的底面半径为r,高为h,则h=,所以圆锥的体积V=πr2h=πr2=π.设fr=9r4-r6r0,则f′r=36r3-6r5,令f′r=36r3-6r5=6r36-r2=0,得r=,所以当0r时,f′r0,fr单调递增,当r时,f′r0,fr单调递减,所以frmax=f=108,所以Vmax=π×=2π.答案2π5.2018·惠州模拟某三棱锥的三视图如图所示,且图中的三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为________.解析将三视图还原为如图所示的三棱锥PABC,其中底面ABC是直角三角形,AB⊥BC,PA⊥平面ABC,BC=2,PA2+y2=102,22+PA2=x2,所以xy=x=x≤=64,当且仅当x2=128-x2,即x=8时取等号,因此xy的最大值是
64.答案646.2019届高三·湖北七市州联考《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABMDCP与刍童ABCDA1B1C1D1的组合体中,AB=AD,A1B1=A1D
1.1证明直线BD⊥平面MAC;2若AB=1,A1D1=2,MA=,三棱锥AA1B1D1的体积V′=,求该组合体的体积.解1证明由题可知ABMDCP是底面为直角三角形的直棱柱,∴AD⊥平面MAB,∴AD⊥MA,又MA⊥AB,AD∩AB=A,∴MA⊥平面ABCD,∴MA⊥BD,又AB=AD,∴四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC,又MA∩AC=A,∴BD⊥平面MAC.2设刍童ABCDA1B1C1D1的高为h,则三棱锥AA1B1D1的体积V′=××2×2×h=,∴h=,故该组合体的体积V=×1××1+×12+22+×=+=.。