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(十二)排列、组合与二项式定理(小题练)A级——12+4提速练
一、选择题1.在12345这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 A.36个 B.24个C.18个D.6个解析选B 各位数字之和是奇数,则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数,所以符合条件的三位数有A+CA=6+18=24个.2.2018·广西南宁模拟5的展开式中x3项的系数为 A.80B.-80C.-40D.48解析选B ∵5的展开式的通项为Tr+1=C2x5-rr=-1r25-rCx5-2r,令5-2r=3,解得r=
1.于是展开式中x3项的系数为-1×25-1·C=-80,故选B.3.2019届高三·南宁、柳州联考从{123,…,10}中选取三个不同的数,使得其中至少有两个数相邻,则不同的选法种数是 A.72B.70C.66D.64解析选D 从{123,…,10}中选取三个不同的数,恰好有两个数相邻,共有C·C+C·C=56种选法,三个数相邻共有C=8种选法,故至少有两个数相邻共有56+8=64种选法,故选D.4.2018·新疆二检x2-35的展开式的常数项是 A.-2B.2C.-3D.3解析选B 5的通项为Tr+1=C5-r=Cx2r-10,令2r-10=-2或0,解得r=45,∴展开式的常数项是C+-3×C=
2.5.2018·益阳、湘潭联考若1-3x2018=a0+a1x+…+a2018x2018,x∈R,则a1·3+a2·32+…+a2018·32018的值为 A.22018-1B.82018-1C.22018D.82018解析选B 由已知,令x=0,得a0=1,令x=3,得a0+a1·3+a2·32+…+a2018·32018=1-92018=82018,所以a1·3+a2·32+…+a2018·32018=82018-a0=82018-1,故选B.6.现有5本相同的《数学家的眼光》和3本相同的《数学的神韵》,要将它们排在同一层书架上,并且3本相同的《数学的神韵》不能放在一起,则不同的放法种数为 A.20B.120C.2400D.14400解析选A 根据题意,可分两步第一步,先放5本相同的《数学家的眼光》,有1种情况;第二步,5本相同的《数学家的眼光》排好后,有6个空位,在6个空位中任选3个,把3本相同的《数学的神韵》插入,有C=20种情况.故不同的放法有20种,故选A.7.2019届高三·山西八校联考已知1+xn的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 A.29B.210C.211D.212解析选A 由题意得C=C,由组合数性质得n=10,则奇数项的二项式系数和为2n-1=29,故选A.8.2018·惠州模拟旅游体验师小明受某网站邀请,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若不能最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则小明可选的旅游路线数为 A.24B.18C.16D.10解析选D 分两种情况,第一种最后体验甲景区,则有A种可选的路线;第二种不在最后体验甲景区,则有C·A种可选的路线.所以小明可选的旅游路线数为A+C·A=
10.选D.
9.现有5种不同颜色的染料,要对如图所示的四个不同区域进行着色,要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色,则不同的着色方法的种数是 A.120B.140C.240D.260解析选D 由题意,先涂A处,有5种涂法,再涂B处有4种涂法,第三步涂C,若C与A所涂颜色相同,则C有1种涂法,D有4种涂法,若C与A所涂颜色不同,则C有3种涂法,D有3种涂法,由此得不同的着色方法有5×4×1×4+3×3=260种,故选D.10.2018·郑州模拟若二项式n的展开式的二项式系数之和为8,则该展开式每一项的系数之和为 A.-1B.1C.27D.-27解析选A 依题意得2n=8,解得n=
3.取x=1得,该二项展开式每一项的系数之和为1-23=-1,故选A.11.2018·开封模拟某地实行高考改革,考生除参加语文、数学、英语统一考试外,还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业,就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科,则学生甲的选考方法种数为 A.6B.12C.18D.19解析选D 法一在物理、政治、历史中选一科的选法有CC=9种;在物理、政治、历史中选两科的选法有CC=9种;物理、政治、历史三科都选的选法有1种.所以学生甲的选考方法共有9+9+1=19种,故选D.法二从六科中选考三科的选法有C种,其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科,这种选法有1种,因此学生甲的选考方法共有C-1=19种,故选D.12.2018·甘肃兰州检测某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元,1个8元,1个10元红包中金额相同视为相同红包,则甲、乙都抢到红包的情况有 A.18种B.24种C.36种D.48种解析选C 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有AA=12种;若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有AA=12种;若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有AC=6种;若甲、乙抢的是两个6元,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有A=6种,根据分类加法计数原理可得,共有12+12+6+6=36种.故选C.
二、填空题13.2018·贵州模拟9的展开式中x3的系数为-84,则展开式的各项系数之和为________.解析二项展开式的通项Tr+1=Cx9-rr=arCx9-2r,令9-2r=3,得r=3,所以a3C=-84,所以a=-1,所以二项式为9,令x=1,则1-19=0,所以展开式的各项系数之和为
0.答案014.2018·福州四校联考在1-x32+x6的展开式中,x5的系数是________用数字作答.解析二项展开式中,含x5的项是C2x5-x3C24x2=-228x5,所以x5的系数是-
228.答案-22815.2018·合肥质检在4的展开式中,常数项为________.解析易知4=4的展开式的通项Tr+1=C-14-r·r.又r的展开式的通项Rm+1=Cxr-m-x-1m=C-1mxr-2m,∴Tr+1=C-14-r·C·-1mxr-2m,令r-2m=0,得r=2m,∵0≤r≤4,∴0≤m≤2,∴当m=012时,r=024,故常数项为T1+T3+T5=C-14+C-12·C-11+C-10·C-12=-
5.答案-516.2018·洛阳模拟某校有4个社团向高一学生招收新成员,现有3名同学,每人只选报1个社团,恰有2个社团没有同学选报的报法有________种用数字作答.解析法一第一步,选2名同学报名某个社团,有C·C=12种报法;第二步,从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学,有C·C=3种报法.由分步乘法计数原理得共有12×3=36种报法.法二第一步,将3名同学分成两组,一组1人,一组2人,共C种方法;第二步,从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名,共A种方法.由分步乘法计数原理得共有C·A=36种报法.答案36B级——难度小题强化练1.2018·南昌模拟某校毕业典礼上有6个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 A.120种B.156种C.188种D.240种解析选A 法一记演出顺序为1~6号,对丙、丁的排序进行分类,丙、丁占1和2号,2和3号,3和4号,4和5号,5和6号,其排法分别为AA,AA,CAA,CAA,CAA,故总编排方案有AA+AA+CAA+CAA+CAA=120种.法二记演出顺序为1~6号,按甲的编排进行分类,
①当甲在1号位置时,丙、丁相邻的情况有4种,则有CAA=48种;
②当甲在2号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,共有CAA=36种;
③当甲在3号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,共有CAA=36种.所以编排方案共有48+36+36=120种.2.2018·洛阳模拟若a=sinxdx,则二项式6的展开式中的常数项为 A.-15B.15C.-240D.240解析选D a=sinxdx=-cosx|=-cosπ--cos0=1--1=2,则6的展开式的通项为Tr+1=C26-r-1rx,令6-3r=0得r=2,所以展开式中的常数项为C·24·-12=
240.故选D.3.定义“规范01数列”{an}如下{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有 A.18个B.16个C.14个D.12个解析选C 由题意知当m=4时,“规范01数列”共含有8项,其中4项为04项为1,且必有a1=0,a8=
1.不考虑限制条件“对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数”,则中间6个数的情况共有C=20种,其中存在k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数少于1的个数的情况有
①若a2=a3=1,则有C=4种;
②若a2=1,a3=0,则a4=1,a5=1,只有1种;
③若a2=0,则a3=a4=a5=1,只有1种.综上,不同的“规范01数列”共有20-6=14种.故共有14个.故选C.4.某公司有五个不同部门,现有4名在校大学生来该公司实习,要求安排到该公司的两个部门,且每个部门安排两人,则不同的安排方案种数为 A.60B.40C.120D.240解析选A 由题意得,先将4名大学生平均分为两组,共有=3种不同的分法,再将两组安排在其中的两个部门,共有3×A=60种不同的安排方法.故选A.5.2018·郑州一模由数字2019组成没有重复数字的四位偶数的个数为________.解析根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数第一类,个位是0时,满足题意的四位偶数的个数为A=6;第二类,个位是2时,满足题意的四位偶数的个数为C·A=
4.由分类加法计数原理得,满足题意的四位偶数的个数为6+4=
10.答案106.2018·济南模拟已知1+ax+by5a,b为常数,a∈N*,b∈N*的展开式中不含字母x的项的系数和为243,则函数fx=,x∈的最小值为________.解析令x=0,y=1,得1+b5=243,解得b=
2.因为x∈,所以x+∈,则sinx+cosx=sin∈[1,],所以fx====sinx+cosx+≥2=2,当且仅当sinx+cosx=1时取“=”,所以fx的最小值为
2.答案2。