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(十六)直线与圆(小题练)A级——12+4提速练
一、选择题1.已知直线l1x+2ay-1=0,l2a+1x-ay=0,若l1∥l2,则实数a的值为 A.- B.0C.-或0D.2解析选C 由l1∥l2得1×-a=2aa+1,即2a2+3a=0,解得a=0或a=-.经检验,当a=0或a=-时均有l1∥l2,故选C.2.2018·贵阳模拟经过三点A-10,B30,C12的圆的面积S= A.πB.2πC.3πD.4π解析选D 法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F0,将A-10,B30,C12的坐标代入圆的方程可得解得D=-2,E=0,F=-3,所以圆的方程为x2+y2-2x-3=0,即x-12+y2=4,所以圆的半径r=2,所以S=4π.故选D.法二根据A,B两点的坐标特征可知圆心在直线x=1上,设圆心坐标为1,a,则r==|a-2|,所以a=0,r=2,所以S=4π,故选D.3.已知圆x-12+y2=1被直线x-y=0分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为 A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶5解析选A x-12+y2=1的圆心为10,半径为
1.圆心到直线的距离d==,所以较短弧所对的圆心角为,较长弧所对的圆心角为,故两弧长之比为1∶2,故选A.4.2018·山东临沂模拟已知直线3x+ay=0a0被圆x-22+y2=4所截得的弦长为2,则a的值为 A.B.C.2D.2解析选B 由已知条件可知,圆的半径为2,又直线被圆所截得的弦长为2,故圆心到直线的距离为,即=,得a=.5.2018·郑州模拟已知圆x-a2+y2=1与直线y=x相切于第三象限,则a的值是 A.B.-C.±D.-2解析选B 依题意得,圆心a0到直线x-y=0的距离等于半径,即有=1,|a|=.又切点位于第三象限,结合图形图略可知,a=-,故选B.6.2018·山东济宁模拟已知圆C过点A24,B42,且圆心C在直线x+y=4上,若直线x+2y-t=0与圆C相切,则t的值为 A.-6±2B.6±2C.2±6D.6±4解析选B 因为圆C过点A24,B42,所以圆心C在线段AB的垂直平分线y=x上,又圆心C在直线x+y=4上,联立解得x=y=2,即圆心C22,圆C的半径r==
2.又直线x+2y-t=0与圆C相切,所以=2,解得t=6±
2.7.若过点A10的直线l与圆C x2+y2-6x-8y+21=0相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,l与直线x+2y+2=0的交点为N,则|AM|·|AN|的值为 A.5B.6C.7D.8解析选B 圆C的方程化成标准方程可得x-32+y-42=4,故圆心C34,半径为2,则可设直线l的方程为kx-y-k=0k≠0,由得N,又直线CM与l垂直,得直线CM的方程为y-4=-x-3.由得M,则|AM|·|AN|=·=××=
6.故选B.8.2019届高三·湘东五校联考圆x-32+y-32=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于2的点有 A.1个B.2个C.3个D.4个解析选B 圆x-32+y-32=9的圆心为33,半径为3,圆心到直线3x+4y-11=0的距离d==2,∴圆上到直线3x+4y-11=0的距离为2的点有2个.故选B.9.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值为 A.4B.3C.5D.6解析选A 易知圆x2+y2=1的圆心坐标为00,半径为1,圆心到直线3x+4y-25=0的距离d==5,所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值为5-1=
4.10.2019届高三·西安八校联考若过点A30的直线l与曲线x-12+y2=1有公共点,则直线l斜率的取值范围为 A.-,B.[-,]C.D.解析选D 数形结合可知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-3,则圆心10到直线y=kx-3的距离应小于等于半径1,即≤1,解得-≤k≤,故选D.11.在平面直角坐标系xOy中,已知A-10,B01,则满足|PA|2-|PB|2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为 A.0B.1C.2D.3解析选C 设Px,y,则由|PA|2-|PB|2=4,得x+12+y2-x2-y-12=4,所以x+y-2=
0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数,圆心到直线的距离d==<2=r,所以直线与圆相交,交点个数为
2.故满足条件的点P有2个.12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A0,-2,点B1,-1,P为圆x2+y2=2上一动点,则的最大值是 A.1B.3C.2D.解析选C 设动点Px,y,令=tt0,则=t2,整理得,1-t2x2+1-t2y2-2x+2-4t2y+2-4t2=0,*易知当1-t2≠0时,*式表示一个圆,且动点P在该圆上,又点P在圆x2+y2=2上,所以点P为两圆的公共点,两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l的方程为x-1-2t2y-2+3t2=0,所以圆心00到直线l的距离d=≤,解得0t≤2,所以的最大值为
2.
二、填空题13.2018·全国卷Ⅰ直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.解析由x2+y2+2y-3=0,得x2+y+12=
4.∴圆心C0,-1,半径r=
2.圆心C0,-1到直线x-y+1=0的距离d==,∴|AB|=2=2=
2.答案214.如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+a-1y=a-7平行,则a=________.解析由直线ax+2y+3a=0与直线3x+a-1y+7-a=0平行,可得解得故a=
3.答案315.过点M的直线l与圆C x-12+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为____________________.解析易知当CM⊥AB时,∠ACB最小,直线CM的斜率为kCM==-2,从而直线l的斜率为kl=-=,其方程为y-1=,即2x-4y+3=
0.答案2x-4y+3=016.2018·南宁、柳州模拟过点,0作直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于________.解析令P,0,如图,易知|OA|=|OB|=1,所以S△AOB=|OA|·|OB|·sin∠AOB=sin∠AOB≤,当∠AOB=90°时,△AOB的面积取得最大值,此时过点O作OH⊥AB于点H,则|OH|=,于是sin∠OPH===,易知∠OPH为锐角,所以∠OPH=30°,则直线AB的倾斜角为150°,故直线AB的斜率为tan150°=-.答案-B级——难度小题强化练1.2018·重庆模拟已知圆C x-22+y2=2,直线l y=kx,其中k为[-,]上的任意一个数,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为 A.B.C.D.解析选D 当直线l与圆C相离时,圆心C到直线l的距离d=,解得k1或k-1,又k∈[-,],所以-≤k-1或1k≤,故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P==,故选D.2.2018·合肥质检设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过03与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为 A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0解析选B 圆的方程化为标准形式为x-12+y-12=4,圆心C11,半径r=2,当直线l的斜率不存在时,方程为x=0,计算出弦长为2,符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有=1,解得k=-,此时方程为y=-x+3,即3x+4y-12=
0.综上,直线l的方程为x=0或3x+4y-12=0,故选B.3.2018·安徽黄山二模已知圆O x2+y2=1,点P为直线+=1上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点 A.B.C.D.解析选B 因为点P是直线+=1上的一动点,所以设P4-2m,m.因为PA,PB是圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以点A,B在以OP为直径的圆C上,即弦AB是圆O和圆C的公共弦.因为圆心C的坐标是,且半径的平方r2=,所以圆C的方程为x-2+m22=,
①又x2+y2=1,
②所以
②-
①得,2m-4x-my+1=0,即公共弦AB所在的直线方程为2x-ym+-4x+1=0,所以由得所以直线AB过定点.故选B.
4.2018·南昌第一次模拟如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则cos∠AOB= A.B.-C.D.-解析选D 法一因为圆x2+y2=4的圆心为O00,半径为2,所以圆心O到直线y=2x+1的距离d==,所以弦长|AB|=2=
2.在△AOB中,由余弦定理得cos∠AOB===-.法二取AB的中点D,连接OD图略,则OD⊥AB,且∠AOB=2∠AOD,又圆心到直线的距离d==,即|OD|=,所以cos∠AOD==,故cos∠AOB=2cos2∠AOD-1=2×2-1=-.5.已知圆C x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l x+my+1=0对称,经过点Mm,m作圆C的切线,切点为P,则|MP|=________.解析圆C x2+y2-2x-4y+1=0的圆心坐标为C12,半径r=2,因为圆上存在两点关于直线l对称,所以直线l x+my+1=0过点12,所以1+2m+1=0,得m=-1,所以M-1,-1,|MC|2=1+12+2+12=13,r2=4,所以|MP|==
3.答案36.2019届高三·湘中名校联考已知m0,n0,若直线m+1x+n+1y-2=0与圆x-12+y-12=1相切,则m+n的取值范围是____________.解析因为m0,n0,直线m+1x+n+1y-2=0与圆x-12+y-12=1相切,所以圆心C11到直线的距离d==1,即|m+n|=,两边平方并整理得m+n+1=mn≤2,即m+n2-4m+n-4≥0,解得m+n≥2+2,所以m+n的取值范围为[2+2,+∞.答案[2+2,+∞。