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第二讲 三角恒等变换与解三角形年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018Ⅰ卷利用正、余弦定理解三角形·T17命题分析三角变换及解三角形是高考考查的热点,然而单独考查三角变换的题目较少,题目往往以解三角形为背景,在应用正弦定理、余弦定理的同时,经常应用三角变换进行化简,综合性比较强,但难度不大.学科素养三角变换及解三角形在学生能力考查中主要考查逻辑推理及数学运算两大素养,通过三角恒等变换及正、余弦定理来求解相关问题.Ⅱ卷二倍角公式应用及余弦定理解三角形·T6Ⅲ卷三角变换求值·T4解三角形·T92017Ⅰ卷三角变换与正弦定理解三角形·T17Ⅱ卷三角变换与余弦定理解三角形·T17Ⅲ卷利用余弦定理解三角形及面积问题·T172016Ⅱ卷三角恒等变换求值问题·T9Ⅲ卷三角恒等变换求值问题·T5解三角形正、余弦定理·T8三角恒等变换授课提示对应学生用书第22页[悟通——方法结论] 三角函数恒等变换“四大策略”1常值代换特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等;2项的分拆与角的配凑如sin2α+2cos2α=sin2α+cos2α+cos2α,α=α-β+β等;3降次与升次正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;4弦、切互化一般是切化弦.[全练——快速解答]1.2018·合肥模拟sin18°·sin78°-cos162°·cos78°= A.-B.- C. D.解析sin18°·sin78°-cos162°·cos78°=sin18°·sin78°+cos18°·cos78°=cos78°-18°=cos60°=,故选D.答案D2.2018·高考全国卷Ⅲ若sinα=,则cos2α= A.B.C.-D.-解析∵sinα=,∴cos2α=1-2sin2α=1-2×2=.故选B.答案B3.2018·沈阳模拟已知tanθ=2,则+sin2θ的值为 A.B.C.D.解析原式=+sin2θ=+=+,将tanθ=2代入,得原式=,故选C.答案C4.2017·高考全国卷Ⅰ已知α∈0,,tanα=2,则cosα-=________.解析∵α∈0,,tanα=2,∴sinα=,cosα=,∴cosα-=cosαcos+sinαsin=×+=.答案三角函数式的化简方法及基本思路1化简方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂,“1”的代换,辅助角公式等.2化简基本思路“一角二名三结构”,即一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式;二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”,关于sinα·cosα的齐次分式化切等;三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇根式化被开方式为完全平方式”等.解三角形的基本问题及应用授课提示对应学生用书第22页[悟通——方法结论]正、余弦定理、三角形面积公式1====2RR为△ABC外接圆的半径.变形a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB=,sinC=;a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.2a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.推论cosA=,cosB=,cosC=.变形b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC.3S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA. 12017·高考全国卷Ⅰ△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinAsinC-cosC=0,a=2,c=,则C= A.B.C.D.解析因为sinB+sinAsinC-cosC=0,所以sinA+C+sinAsinC-sinAcosC=0,所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,整理得sinCsinA+cosA=0,因为sinC≠0,所以sinA+cosA=0,所以tanA=-1,因为A∈0,π,所以A=,由正弦定理得sinC===,又0C,所以C=.答案B22018·高考全国卷Ⅱ在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= A.4B.C.D.2解析∵cos=,∴cosC=2cos2-1=2×2-1=-.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=52+12-2×5×1×=32,∴AB==
4.故选A.答案A32018·福州模拟如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100m,汽车从B点到C点历时14s,则这辆汽车的速度约为________m/s精确到
0.1.参考数据≈
1.414,≈
2.
236.解析因为小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,所以∠BAD=60°,∠CAD=45°.设这辆汽车的速度为vm/s,则BC=14v,在Rt△ADB中,AB===
200.在Rt△ADC中,AC===
100.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,所以14v2=1002+2002-2×100×200×cos135°,所以v=≈
22.6,所以这辆汽车的速度约为
22.6m/s.答案
22.61.解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”.[练通——即学即用]1.2018·南昌模拟在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2A=sinA,bc=2,则△ABC的面积为 A. B. C.1 D.2解析由cos2A=sinA,得1-2sin2A=sinA,解得sinA=负值舍去,由bc=2,可得△ABC的面积S=bcsinA=×2×=.答案A2.2018·广州模拟在△ABC中,∠ACB=60°,BC1,AC=AB+,当△ABC的周长最短时,BC的长是________.解析设AC=b,AB=c,BC=a,△ABC的周长为l,由b=c+,得l=a+b+c=a+2c+.又cos60°==,即ab=a2+b2-c2,得a=a2+2-c2,即c=.l=a+2c+=a++=+=3+≥3+,当且仅当a-1=时,△ABC的周长最短,此时a=1+,即BC的长是1+.答案1+解三角形的综合问题授课提示对应学生用书第23页[悟通——方法结论]三角形中的常用结论1A+B=π-C,=-.2在三角形中大边对大角,反之亦然.3任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4在△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanCA,B,C≠. 2017·高考全国卷Ⅱ12分△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知1;2若,,求b.[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶两角和与半角的三角等式关系三角形内角和定理及倍角公式1三角形中的三角恒等关系式化简时,三角形内角和定理及倍角公式的正确使用2转化与化归思想、整体代入思想在解题过程中的应用信息❷求cosB化已知条件为cosB的关系式信息❸a+c=6寻找平方后与余弦定理中a2+c2的关系式信息❹三角形面积为2利用面积公式来求ac的值[规范解答] 1由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2,2分即sinB=41-cosB,3分故17cos2B-32cosB+15=0,4分解得cosB=,cosB=1舍去.6分2由cosB=,得sinB=,7分故S△ABC=acsinB=ac.8分又S△ABC=2,则ac=.9分由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=a+c2-2ac1+cosB10分=36-2××=
4.11分所以b=
2.12分1.与三角形面积有关的问题的解题模型2.学科素养通过三角恒等变换与利用正、余弦定理着重考查逻辑推理与数学运算两大素养.[练通——即学即用]2018·长郡中学模拟在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且4sinAcos2A-cosB+C=sin3A+.1求A的大小;2若b=2,求△ABC面积的取值范围.解析1∵A+B+C=π,∴cosB+C=-cosA
①,∵3A=2A+A,∴sin3A=sin2A+A=sin2AcosA+cos2AsinA
②,又sin2A=2sinAcosA
③,cos2A=2cos2A-1
④,将
①②③④代入已知,得2sin2AcosA+cosA=sin2AcosA+cos2AsinA+,整理得sinA+cosA=,即sin=,又A∈,∴A+=,即A=.2由1得B+C=,∴C=-B,∵△ABC为锐角三角形,∴-B∈且B∈,解得B∈,在△ABC中,由正弦定理得=,∴c===+1,又B∈,∴∈,∴c∈14,∵S△ABC=bcsinA=c,∴S△ABC∈.授课提示对应学生用书第124页
一、选择题1.2018·合肥调研已知x∈,且cos=sin2x,则tan等于 A.B.- C.3 D.-3解析由cos=sin2x得sin2x=sin2x,∵x∈0,π,∴tanx=2,∴tan==.答案A2.2018·成都模拟已知sinα=,α∈,则cos的值为 A. B.C.D.解析∵sinα=,α∈,∴cosα=,sin2α=2sinαcosα=2××==,cos2α=1-2sin2α=1-2×2=1-=,∴cos=×-×=.答案A3.2018·昆明三中、五溪一中联考在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=a+b2-c2,则tanC等于 A.B.C.-D.-解析因为2S=a+b2-c2=a2+b2-c2+2ab,由面积公式与余弦定理,得absinC=2abcosC+2ab,即sinC-2cosC=2,所以sinC-2cosC2=4,=4,所以=4,解得tanC=-或tanC=0舍去.答案C4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cosA,则△ABC为 A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形解析根据正弦定理得=cosA,即sinCsinBcosA.∵A+B+C=π,∴sinC=sinA+BsinBcosA,整理得sinAcosB
0.又三角形中sinA0,∴cosB0,Bπ,∴△ABC为钝角三角形.答案A
5.如图,在△ABC中,∠C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂足.若DE=2,则cosA等于 A.B.C.D.解析依题意得,BD=AD==,∠BDC=∠ABD+∠A=2∠A.在△BCD中,=,=×=,即=,由此解得cosA=.答案C6.2018·高考全国卷Ⅰ已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A1,a,B2,b,且cos2α=,则|a-b|= A.B.C.D.1解析由cos2α=,得cos2α-sin2α=,∴=,即=,∴tanα=±,即=±,∴|a-b|=.故选B.答案B
7.2018·武汉调研如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为 A.14hB.15hC.16hD.17h解析记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达B点位置图略,在△OAB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°,根据余弦定理得6002+400t2-2×20t×600×≤4502,即4t2-120t+1575≤0,解得≤t≤,所以Δt=-=15h,故选B.答案B8.2018·武汉调研在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2bsinC,则tanA+tanB+tanC的最小值是 A.4B.3C.8D.6解析由a=2bsinC得sinA=2sinBsinC,∴sinB+C=sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,即tanB+tanC=2tanBtanC.又三角形中的三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,∴tanBtanC=,∴tanAtanBtanC=tanA·,令tanA-2=t,得tanAtanBtanC==t++4≥8,当且仅当t=,即t=2,tanA=4时,取等号.答案C
二、填空题9.2018·广西三市一联在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinB=sinC,cosC=,△ABC的面积为4,则c=________.解析由asinB=sinC,得ab=c,由cosC=,得sinC=,则S△ABC=absinC=c=4,解得c=
6.答案610.2018·皖南八校联考若α∈,cos=2cos2α,则sin2α=________.解析由已知得cosα+sinα=2cosα-sinα·cosα+sinα,所以cosα+sinα=0或cosα-sinα=,由cosα+sinα=0得tanα=-1,因为α∈,所以cosα+sinα=0不满足条件;由cosα-sinα=,两边平方得1-sin2α=,所以sin2α=.答案11.已知△ABC中,AB+AC=6,BC=4,D为BC的中点,则当AD最小时,△ABC的面积为________.解析AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC,且AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,即AC2=AD2+22-4AD·cos∠ADC,且6-AC2=AD2+22-4AD·cos∠ADB,∵∠ADB=π-∠ADC,∴AC2+6-AC2=2AD2+8,∴AD2==,当AC=2时,AD取最小值,此时cos∠ACB==,∴sin∠ACB=,∴△ABC的面积S=AC·BC·sin∠ACB=.答案12.2018·成都模拟已知△ABC中,AC=,BC=,△ABC的面积为.若线段BA的延长线上存在点D,使∠BDC=,则CD=________.解析因为S△ABC=AC·BC·sin∠BCA,即=×××sin∠BCA,所以sin∠BCA=.因为∠BAC∠BDC=,所以∠BCA=,所以cos∠BCA=.在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA=2+6-2×××=2,所以AB=,所以∠ABC=,在△BCD中,=,即=,解得CD=.答案
三、解答题13.2018·武汉调研在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足cos2A-cos2B+2cos·cos=
0.1求角A的值;2若b=且b≤a,求a的取值范围.解析1由cos2A-cos2B+2coscos=0,得2sin2B-2sin2A+2=0,化简得sinA=,又△ABC为锐角三角形,故A=.2∵b=≤a,∴c≥a,∴≤C,B≤,∴sinB≤.由正弦定理=,得=,∴a=,由sinB∈得a∈[,3.14.2018·唐山模拟在△ABC中,AB=2AC=2,AD是BC边上的中线,记∠CAD=α,∠BAD=β.1求sinα∶sinβ;2若tanα=sin∠BAC,求BC.解析1∵AD为BC边上的中线,∴S△ACD=S△ABD,∴AC·ADsinα=AB·ADsinβ,∴sinα∶sinβ=AB∶AC=2∶
1.2∵tanα=sin∠BAC=sinα+β,∴sinα=sinα+βcosα,∴2sinβ=sinα+βcosα,∴2sin[α+β-α]=sinα+βcosα,∴sinα+βcosα=2cosα+βsinα,∴sinα+β=2cosα+βtanα,又tanα=sin∠BAC=sinα+β≠0,∴cosα+β=cos∠BAC=,在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=3,∴BC=.15.2018·广州模拟已知a,b,c是△ABC中角A,B,C的对边,且3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A.1求角A的大小;2若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值.解析1由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A,得3cosB+C+2=2cos2A,即2cos2A+3cosA-2=0,即2cosA-1cosA+2=0,解得cosA=或cosA=-2舍去.因为0Aπ,所以A=.2由S=bcsinA=bc=5,得bc=20,因为b=5,所以c=
4.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=25+16-2×20×=21,故a=.根据正弦定理==,得sinBsinC=sinA×sinA=.16.2018·山西八校联考在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且a+c2=b2+3ac.1求角B的大小;2若b=2,且sinB+sinC-A=2sin2A,求△ABC的面积.解析1由a+c2=b2+3ac,整理得a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cosB===,∵0Bπ,∴B=.2在△ABC中,A+B+C=π,即B=π-A+C,故sinB=sinA+C,由已知sinB+sinC-A=2sin2A可得sinA+C+sinC-A=2sin2A,∴sinAcosC+cosAsinC+sinCcosA-cosCsinA=4sinAcosA,整理得cosAsinC=2sinAcosA.若cosA=0,则A=,由b=2,可得c==,此时△ABC的面积S=bc=.若cosA≠0,则sinC=2sinA,由正弦定理可知,c=2a,代入a2+c2-b2=ac,整理可得3a2=4,解得a=,∴c=,此时△ABC的面积S=acsinB=.综上所述,△ABC的面积为.17.2018·常德市模拟已知函数fx=sinωx+mcosωxω>0,m>0的最小值为-2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.1求ω和m的值;2若f=,θ∈,求f的值.解析1易知fx=sinωx+φφ为辅助角,∴fxmin=-=-2,∴m=.由题意知函数fx的最小正周期为π,∴=π,∴ω=
2.2由1得fx=sin2x+cos2x=2sin,∴f=2sin=,∴sin=.∵θ∈,∴θ+∈,∴cos=-=-,∴sinθ=sin=sincos-cossin=,∴f=2sin=2sin=2cos2θ=21-2sin2θ=2=-.。