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课时跟踪检测
(一)平面向量(小题练)A级——12+4提速练
一、选择题1.2018·贵州模拟已知向量a=12,b=m,-1,若a∥b,则实数m的值为 A. B.-C.3D.-3解析选B 由题意,得1×-1-2m=0,解得m=-,故选B.2.2018·福州模拟已知a=12,b=-11,c=2a-b,则|c|= A.B.3C.D.解析选B 因为c=2a-b=212--11=33,所以|c|==
3.故选B.3.2019届高三·广西五校联考设D是△ABC所在平面内一点,=2,则 A.=-B.=-C.=-D.=-解析选A =+=-=--=-.4.2018·云南调研在▱ABCD中,=8,=6,N为DC的中点,=2,则·= A.48B.36C.24D.12解析选C ·=+·+=eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1+\f23·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f12-\f13=2-2=×82-×62=
24.5.已知点A-11,B12,C-2,-1,D34,则向量在方向上的投影是 A.B.-C.3D.-3解析选C 依题意得,=21,=55,·=21·55=15,||=,因此向量在方向上的投影是eq\f·||==
3.6.2019届高三·湖南五市十校联考△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则向量a,b的夹角为 A.30°B.60°C.120°D.150°解析选C =-=2a+b-2a=b,则向量a,b的夹角即为向量与的夹角,故向量a,b的夹角为120°.7.2018·西工大附中四模已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,点G在△ABC内,且满足++=0,·=0,若a2+b2=λc2λ∈R,则λ= A.-5B.-2C.2D.5解析选D 设BC的中点为D,连接GD图略,则+=
2.又++=0,所以2=,所以A,G,D三点共线,且AG=2GD.故==×+=+.同理可得=+.由·=0,得+·+=0,所以+·-2=0,即||2-2||2-·=0,所以b2-2c2-bc·=0,化简得a2+b2=5c
2.又a2+b2=λc2λ∈R,所以λ=
5.故选D.8.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=1-λ,λ∈R,若·=-,则λ= A.B.C.D.解析选A 以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A00,B20,C1,,∴=20,=1,,又=λ,=1-λ,∴P2λ,0,Q1-λ,1-λ,∴·=-1-λ,1-λ·2λ-1,-=-,化简得4λ2-4λ+1=0,∴λ=.9.2018·西安八十三中二模称da,b=|a-b|为两个向量a,b间的“距离”.若向量a,b满足
①|b|=1;
②a≠b;
③对任意t∈R,恒有da,tb≥da,b,则 A.a⊥bB.a⊥a-bC.b⊥a-bD.a+b⊥a-b解析选C 由da,tb≥da,b,可知|a-tb|≥|a-b|,所以a-tb2≥a-b2,又|b|=1,所以t2-2a·bt+2a·b-1≥
0.因为上式对任意t∈R恒成立,所以Δ=4a·b2-4[2a·b-1]≤0,即a·b-12≤0,所以a·b=
1.于是b·a-b=a·b-|b|2=1-12=0,所以b⊥a-b.故选C.10.2018·河南林州检测已知△ABC的外接圆的圆心为O,满足=m+n4m+3n=2,且||=4,||=6,则·= A.36B.24C.24D.12解析选A ·=m2+n·,因为O为△ABC的外心,所以2=m2+n||·||·cos∠BCA,所以24=48m+24n·cos∠BCA,因为4m+3n=2,所以24=122-3n+24n·cos∠BCA,又n≠0,即cos∠BCA=,所以·=||·||cos∠BCA=4×6×=
36.11.设e1,e2,e3为单位向量,且e3=e1+ke2k0,若以向量e1,e2为两边的三角形的面积为,则k的值为 A.B.C.D.解析选A 设e1,e2的夹角为θ,则由以向量e1,e2为两边的三角形的面积为,得×1×1×sinθ=,得sinθ=1,所以θ=90°,所以e1·e2=
0.从而将e3=e1+ke2两边平方得1=+k2,解得k=或k=-舍去.
12.如图所示,点A,B,C是圆O上的三点,线段OC与线段AB交于圆内一点M,若=m+nm0,n0,m+n=2,则∠AOB的最小值为 A.B.C.D.解析选D 将=m+n平方得1=m2+n2+2mncos∠AOB,cos∠AOB===-+1≤-当且仅当m=n=1时等号成立,∵0∠AOBπ,∴∠AOB的最小值为.
二、填空题13.2018·汕头模拟已知向量a=21,b=3,m.若a+2b∥3b-a,则实数m的值是________.解析a+2b=21+62m=81+2m,3b-a=93m-21=73m-1,由a+2b∥3b-a,得83m-1-71+2m=0,解得m=.答案14.2018·长春模拟已知平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=________.解析由平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等,可得夹角均为,所以|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+9+2×1×1×cos+2×1×3×cos+2×1×3×cos=4,所以|a+b+c|=
2.答案215.2018·河北衡水中学三调如图,已知平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=
2.若=λ+μλ,μ∈R,则λ+μ的值为________.解析法一如图所示,作平行四边形OB1CA1,则=1+1,因为与的夹角为120°,与的夹角为30°,所以∠B1OC=90°.在Rt△B1OC中,∠OCB1=30°,|OC|=2,所以|OB1|=2,|B1C|=4,所以|OA1|=|B1C|=4,所以=4+2,所以λ=4,μ=2,所以λ+μ=
6.法二以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A10,B,C3,.由=λ+μ,得解得所以λ+μ=
6.答案616.2018·渭南一模在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=30°,E为CD的中点,若·=1,则AB的长为________.解析因为四边形ABCD是平行四边形,E为CD的中点,所以=+,=+CE―→=-,所以·=+·=2-2+·=1,又2=1,·=1×||×cos30°=||,所以1-2+||=1,解得||=或||=0舍去.答案B级——难度小题强化练1.2018·全国卷Ⅰ在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= A.-B.-C.+D.+解析选A 法一作出示意图如图所示.=+=+=×++-=-.故选A.法二不妨设△ABC为等腰直角三角形,且∠A=,AB=AC=
1.建立如图所示的平面直角坐标系,则A00,B10,C01,D,E.故=10,=01,=10-=,即=-.2.已知点P是△ABC内一点,且+=6,则= A.B.C.D.解析选C 设点D为AC的中点,在△ABC中,+=2,即2=6,所以=3,即P为BD的三等分点,所以=,又=,所以=.3.2018·嘉兴一模设平面向量=20,=01,点P满足=+,其中m0,n0,O为坐标原点,则点P的轨迹的长度为 A.B.C.D.解析选D 设Px,y,因为=20,=01,=+=,所以x=,y=其中m,n0,所以x2+y2=2其中x,y0,则点P的轨迹的长度为×2π×=.4.2018·重庆模拟已知Rt△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,I是△ABC的内心,P是△IBC内部不含边界的动点,若=λ+μλ,μ∈R,则λ+μ的取值范围是 A.B.C.D.23解析选A 以B为原点,BA,BC所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则B00,A30,C04.设△ABC的内切圆的半径为r,因为I是△ABC的内心,所以5+3+4×r=4×3,解得r=1,所以I11.设Px,y,因为点P在△IBC内部不含边界,所以0x
1.因为=-30,=-34,=x-3,y,且=λ+μ,所以得所以λ+μ=1-x,又0x1,所以λ+μ∈,故选A.5.已知a=,=a-b,=a+b,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB的面积为________.解析因为⊥,所以·=a-b·a+b=0,化简得a2-b2=0,得|a|=|b|,又||=||,所以||2=||2,即a-b2=a+b2,得a⊥b,因为a=,所以|a|==1,所以|a|=|b|=1,可得a,b是相互垂直的单位向量,所以||=||=,所以△OAB的面积S=||·||=
1.答案16.2018·武汉调研在矩形ABCD中,AB=2,AD=
1.边DC上的动点P包含点D,C与CB延长线上的动点Q包含点B满足||=||,则·的最小值为________.解析以点A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设Px,1,Q2,y,由题意知0≤x≤2,-2≤y≤
0.∵||=||,∴|x|=|y|,∴x=-y.∵=-x,-1,=2-x,y-1,∴·=-x2-x-y-1=x2-2x-y+1=x2-x+1=2+,∴当x=时,·取得最小值,为.答案。