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课时跟踪检测
（一）平面向量（小题练）A级——12＋4提速练
一、选择题1．2018·贵州模拟已知向量a＝12，b＝m，－1，若a∥b，则实数m的值为 A. B．－C．3D．－3解析选B 由题意，得1×－1－2m＝0，解得m＝－，故选B.2．2018·福州模拟已知a＝12，b＝－11，c＝2a－b，则|c|＝ A.B．3C.D.解析选B 因为c＝2a－b＝212－－11＝33，所以|c|＝＝
3.故选B.3．2019届高三·广西五校联考设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则 A．＝－B．＝－C．＝－D．＝－解析选A ＝＋＝－＝－－＝－.4．2018·云南调研在▱ABCD中，＝8，＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝ A．48B．36C．24D．12解析选C ·＝＋·＋＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1＋\f23·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f12－\f13＝2－2＝×82－×62＝
24.5．已知点A－11，B12，C－2，－1，D34，则向量在方向上的投影是 A.B．－C．3D．－3解析选C 依题意得，＝21，＝55，·＝21·55＝15，||＝，因此向量在方向上的投影是eq\f·||＝＝
3.6．2019届高三·湖南五市十校联考△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则向量a，b的夹角为 A．30°B．60°C．120°D．150°解析选C ＝－＝2a＋b－2a＝b，则向量a，b的夹角即为向量与的夹角，故向量a，b的夹角为120°.7．2018·西工大附中四模已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点G在△ABC内，且满足＋＋＝0，·＝0，若a2＋b2＝λc2λ∈R，则λ＝ A．－5B．－2C．2D．5解析选D 设BC的中点为D，连接GD图略，则＋＝
2.又＋＋＝0，所以2＝，所以A，G，D三点共线，且AG＝2GD.故＝＝×＋＝＋．同理可得＝＋．由·＝0，得＋·＋＝0，所以＋·－2＝0，即||2－2||2－·＝0，所以b2－2c2－bc·＝0，化简得a2＋b2＝5c
2.又a2＋b2＝λc2λ∈R，所以λ＝
5.故选D.8．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝1－λ，λ∈R，若·＝－，则λ＝ A.B.C.D.解析选A 以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A00，B20，C1，，∴＝20，＝1，，又＝λ，＝1－λ，∴P2λ，0，Q1－λ，1－λ，∴·＝－1－λ，1－λ·2λ－1，－＝－，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝.9．2018·西安八十三中二模称da，b＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足
①|b|＝1；
②a≠b；
③对任意t∈R，恒有da，tb≥da，b，则 A．a⊥bB．a⊥a－bC．b⊥a－bD．a＋b⊥a－b解析选C 由da，tb≥da，b，可知|a－tb|≥|a－b|，所以a－tb2≥a－b2，又|b|＝1，所以t2－2a·bt＋2a·b－1≥
0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4a·b2－4[2a·b－1]≤0，即a·b－12≤0，所以a·b＝
1.于是b·a－b＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥a－b．故选C.10．2018·河南林州检测已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足＝m＋n4m＋3n＝2，且||＝4，||＝6，则·＝ A．36B．24C．24D．12解析选A ·＝m2＋n·，因为O为△ABC的外心，所以2＝m2＋n||·||·cos∠BCA，所以24＝48m＋24n·cos∠BCA，因为4m＋3n＝2，所以24＝122－3n＋24n·cos∠BCA，又n≠0，即cos∠BCA＝，所以·＝||·||cos∠BCA＝4×6×＝
36.11．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2k0，若以向量e1，e2为两边的三角形的面积为，则k的值为 A.B.C.D.解析选A 设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为两边的三角形的面积为，得×1×1×sinθ＝，得sinθ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝
0.从而将e3＝e1＋ke2两边平方得1＝＋k2，解得k＝或k＝－舍去．
12.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m＋nm0，n0，m＋n＝2，则∠AOB的最小值为 A.B.C.D.解析选D 将＝m＋n平方得1＝m2＋n2＋2mncos∠AOB，cos∠AOB＝＝＝－＋1≤－当且仅当m＝n＝1时等号成立，∵0∠AOBπ，∴∠AOB的最小值为.
二、填空题13．2018·汕头模拟已知向量a＝21，b＝3，m．若a＋2b∥3b－a，则实数m的值是________．解析a＋2b＝21＋62m＝81＋2m，3b－a＝93m－21＝73m－1，由a＋2b∥3b－a，得83m－1－71＋2m＝0，解得m＝.答案14．2018·长春模拟已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.解析由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos＋2×1×3×cos＋2×1×3×cos＝4，所以|a＋b＋c|＝
2.答案215．2018·河北衡水中学三调如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝
2.若＝λ＋μλ，μ∈R，则λ＋μ的值为________．解析法一如图所示，作平行四边形OB1CA1，则＝1＋1，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△B1OC中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝
6.法二以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A10，B，C3，．由＝λ＋μ，得解得所以λ＋μ＝
6.答案616．2018·渭南一模在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝30°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．解析因为四边形ABCD是平行四边形，E为CD的中点，所以＝＋，＝＋CE―→＝－，所以·＝＋·＝2－2＋·＝1，又2＝1，·＝1×||×cos30°＝||，所以1－2＋||＝1，解得||＝或||＝0舍去．答案B级——难度小题强化练1．2018·全国卷Ⅰ在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝ A.－B.－C.＋D.＋解析选A 法一作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×＋＋－＝－.故选A.法二不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝
1.建立如图所示的平面直角坐标系，则A00，B10，C01，D，E.故＝10，＝01，＝10－＝，即＝－.2．已知点P是△ABC内一点，且＋＝6，则＝ A.B.C.D.解析选C 设点D为AC的中点，在△ABC中，＋＝2，即2＝6，所以＝3，即P为BD的三等分点，所以＝，又＝，所以＝.3．2018·嘉兴一模设平面向量＝20，＝01，点P满足＝＋，其中m0，n0，O为坐标原点，则点P的轨迹的长度为 A.B.C.D.解析选D 设Px，y，因为＝20，＝01，＝＋＝，所以x＝，y＝其中m，n0，所以x2＋y2＝2其中x，y0，则点P的轨迹的长度为×2π×＝.4．2018·重庆模拟已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部不含边界的动点，若＝λ＋μλ，μ∈R，则λ＋μ的取值范围是 A.B.C.D．23解析选A 以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B00，A30，C04．设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以5＋3＋4×r＝4×3，解得r＝1，所以I11．设Px，y，因为点P在△IBC内部不含边界，所以0x
1.因为＝－30，＝－34，＝x－3，y，且＝λ＋μ，所以得所以λ＋μ＝1－x，又0x1，所以λ＋μ∈，故选A.5．已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．解析因为⊥，所以·＝a－b·a＋b＝0，化简得a2－b2＝0，得|a|＝|b|，又||＝||，所以||2＝||2，即a－b2＝a＋b2，得a⊥b，因为a＝，所以|a|＝＝1，所以|a|＝|b|＝1，可得a，b是相互垂直的单位向量，所以||＝||＝，所以△OAB的面积S＝||·||＝
1.答案16．2018·武汉调研在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝
1.边DC上的动点P包含点D，C与CB延长线上的动点Q包含点B满足||＝||，则·的最小值为________．解析以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设Px，1，Q2，y，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤
0.∵||＝||，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵＝－x，－1，＝2－x，y－1，∴·＝－x2－x－y－1＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，∴当x＝时，·取得最小值，为.答案。
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