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(二十七)坐标系与参数方程1.2018·石家庄模拟在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是t为参数,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρsinθ-3=
0.1求直线l的极坐标方程;2若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.解1由消去t得,y=2x,把代入y=2x,得ρsinθ=2ρcosθ,所以直线l的极坐标方程为sinθ=2cosθ.2因为ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2y-3=0,即x2+y+12=
4.圆C的圆心C0,-1到直线l的距离d=,所以|AB|=2=.2.2018·益阳、湘潭模拟在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为α为参数.以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos=.直线l与曲线C交于A,B两点.1求直线l的直角坐标方程;2设点P10,求|PA|·|PB|的值.解1由ρcos=得ρcosθcos-ρsinθsin=,即ρcosθ-ρsinθ=,又ρcosθ=x,ρsinθ=y,∴直线l的直角坐标方程为x-y-1=
0.2由α为参数得曲线C的普通方程为x2+4y2=4,∵P10在直线l上,故可设直线l的参数方程为t为参数,将其代入x2+4y2=4得7t2+4t-12=0,∴t1·t2=-,故|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=|t1·t2|=.3.2018·南昌模拟在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为α为参数,直线C2的方程为y=x,以O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.1求曲线C1和直线C2的极坐标方程;2若直线C2与曲线C1交于P,Q两点,求|OP|·|OQ|的值.解1曲线C1的普通方程为x-2+y-22=4,即x2+y2-2x-4y+3=0,则曲线C1的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+3=
0.∵直线C2的方程为y=x,∴直线C2的极坐标方程为θ=ρ∈R.2设Pρ1,θ1,Qρ2,θ2,将θ=ρ∈R代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+3=0得,ρ2-5ρ+3=0,∴ρ1ρ2=3,∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=
3.4.2018·福州模拟在平面直角坐标系xOy中,曲线Cα为参数,t0.在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线lρcos=.1若l与曲线C没有公共点,求t的取值范围;2若曲线C上存在点到l的距离的最大值为+,求t的值.解1因为直线l的极坐标方程为ρcos=,即ρcosθ+ρsinθ=2,所以直线l的直角坐标方程为x+y-2=
0.因为α为参数,t0,所以曲线C的普通方程为+y2=1t0,由消去x得,1+t2y2-4y+4-t2=0,所以Δ=16-41+t24-t20,又t0,解得0t,故t的取值范围为0,.2由1知直线l的方程为x+y-2=0,故曲线C上的点tcosα,sinα到l的距离d=,故dmax==+,解得t=±.又t0,∴t=.5.2018·重庆模拟在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为α为参数,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos=
3.1求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;2若点M在曲线C1上,点N在曲线C2上,求|MN|的最小值及此时点M的直角坐标.解1由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为+=1,由ρcos=3,得ρcosθ-ρsinθ=6,∴曲线C2的直角坐标方程为x-y-6=
0.2设点M的坐标为3cosβ,sinβ,点M到直线x-y-6=0的距离d===,当sin=-1时,|MN|有最小值,最小值为3-,此时点M的直角坐标为.6.2018·昆明模拟在直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l过点A21.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,直线l与曲线C分别交于P,Q两点.1写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;2若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直线l的斜率k.解1由题意知直线l的参数方程为t为参数,因为ρ=2sinθ,所以ρ2=2ρsinθ,把y=ρsinθ,x2+y2=ρ2代入得x2+y2=2y,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y.2将直线l的参数方程代入曲线C的方程,得t2+4cosαt+3=0,由Δ=4cosα2-4×30,得cos2α,由根与系数的关系,得t1+t2=-4cosα,t1t2=
3.不妨令|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,所以|PQ|=|t1-t2|,因为|PQ|2=|AP|·|AQ|,所以t1-t22=|t1|·|t2|,则t1+t22=5t1t2,得-4cosα2=5×3,解得cos2α=,满足cos2α,所以sin2α=,tan2α=,所以k=tanα=±.7.2019届高三·湘东五校联考平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l过点M-2,-4,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ.1写出直线l的参数方程α为常数和曲线C的直角坐标方程;2若直线l与C交于A,B两点,且|MA|·|MB|=40,求倾斜角α的值.解1直线l的参数方程为t为参数,ρsin2θ=2cosθ,即ρ2sin2θ=2ρcosθ,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入得曲线C的直角坐标方程为y2=2x.2把直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2α-2cosα+8sinαt+20=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,由一元二次方程根与系数的关系得,t1+t2=,t1t2=,根据直线的参数方程中参数的几何意义,得|MA|·|MB|=|t1t2|==40,得α=或α=.又Δ=2cosα+8sinα2-80sin2α0,所以α=.8.2018·全国卷Ⅲ在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为θ为参数,过点0,-且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.1求α的取值范围;2求AB中点P的轨迹的参数方程.解1⊙O的直角坐标方程为x2+y2=
1.当α=时,l与⊙O交于两点.当α≠时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-.l与⊙O交于两点需满足1,解得k-1或k1,即α∈或α∈.综上,α的取值范围是.2l的参数方程为.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsinα+1=
0.于是tA+tB=2sinα,tP=sinα.又点P的坐标x,y满足所以点P的轨迹的参数方程是.。