2019高考数学二轮复习课时跟踪检测二十七坐标系与参数方程理

课时跟踪检测

（二十七）坐标系与参数方程1．2018·石家庄模拟在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是t为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsinθ－3＝

0.1求直线l的极坐标方程；2若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.解1由消去t得，y＝2x，把代入y＝2x，得ρsinθ＝2ρcosθ，所以直线l的极坐标方程为sinθ＝2cosθ.2因为ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋y＋12＝

4.圆C的圆心C0，－1到直线l的距离d＝，所以|AB|＝2＝.2．2018·益阳、湘潭模拟在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为α为参数．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.直线l与曲线C交于A，B两点．1求直线l的直角坐标方程；2设点P10，求|PA|·|PB|的值．解1由ρcos＝得ρcosθcos－ρsinθsin＝，即ρcosθ－ρsinθ＝，又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴直线l的直角坐标方程为x－y－1＝

0.2由α为参数得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，∵P10在直线l上，故可设直线l的参数方程为t为参数，将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4t－12＝0，∴t1·t2＝－，故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝.3．2018·南昌模拟在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为α为参数，直线C2的方程为y＝x，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．1求曲线C1和直线C2的极坐标方程；2若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．解1曲线C1的普通方程为x－2＋y－22＝4，即x2＋y2－2x－4y＋3＝0，则曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝

0.∵直线C2的方程为y＝x，∴直线C2的极坐标方程为θ＝ρ∈R．2设Pρ1，θ1，Qρ2，θ2，将θ＝ρ∈R代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝

3.4．2018·福州模拟在平面直角坐标系xOy中，曲线Cα为参数，t0．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线lρcos＝.1若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；2若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．解1因为直线l的极坐标方程为ρcos＝，即ρcosθ＋ρsinθ＝2，所以直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝

0.因为α为参数，t0，所以曲线C的普通方程为＋y2＝1t0，由消去x得，1＋t2y2－4y＋4－t2＝0，所以Δ＝16－41＋t24－t20，又t0，解得0t，故t的取值范围为0，．2由1知直线l的方程为x＋y－2＝0，故曲线C上的点tcosα，sinα到l的距离d＝，故dmax＝＝＋，解得t＝±.又t0，∴t＝.5．2018·重庆模拟在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为α为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝

3.1求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；2若点M在曲线C1上，点N在曲线C2上，求|MN|的最小值及此时点M的直角坐标．解1由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为＋＝1，由ρcos＝3，得ρcosθ－ρsinθ＝6，∴曲线C2的直角坐标方程为x－y－6＝

0.2设点M的坐标为3cosβ，sinβ，点M到直线x－y－6＝0的距离d＝＝＝，当sin＝－1时，|MN|有最小值，最小值为3－，此时点M的直角坐标为.6．2018·昆明模拟在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A21．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．1写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；2若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.解1由题意知直线l的参数方程为t为参数，因为ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，把y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.2将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2＋4cosαt＋3＝0，由Δ＝4cosα2－4×30，得cos2α，由根与系数的关系，得t1＋t2＝－4cosα，t1t2＝

3.不妨令|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，所以|PQ|＝|t1－t2|，因为|PQ|2＝|AP|·|AQ|，所以t1－t22＝|t1|·|t2|，则t1＋t22＝5t1t2，得－4cosα2＝5×3，解得cos2α＝，满足cos2α，所以sin2α＝，tan2α＝，所以k＝tanα＝±.7．2019届高三·湘东五校联考平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M－2，－4，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ.1写出直线l的参数方程α为常数和曲线C的直角坐标方程；2若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．解1直线l的参数方程为t为参数，ρsin2θ＝2cosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.2把直线l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2α－2cosα＋8sinαt＋20＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝，t1t2＝，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，得α＝或α＝.又Δ＝2cosα＋8sinα2－80sin2α0，所以α＝.8．2018·全国卷Ⅲ在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为θ为参数，过点0，－且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．1求α的取值范围；2求AB中点P的轨迹的参数方程．解1⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝

1.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点需满足1，解得k－1或k1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.2l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝

0.于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.又点P的坐标x，y满足所以点P的轨迹的参数方程是.。