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(二十二)基本初等函数、函数与方程(小题练)A级——12+4提速练
一、选择题1.2018·河北监测设a=log32,b=ln2,c=5,则 A.abc B.bcaC.cabD.cba解析选C 因为c=5=,a=log32=ln2=b,a=log32log3=,所以cab,故选C.2.2018·郑州质量预测已知函数fx=x-cosx,则fx在[02π]上的零点个数为 A.1B.2C.3D.4解析选C 作出gx=x与hx=cosx的图象图略,可以看到其在[02π]上的交点个数为3,所以函数fx在[02π]上的零点个数为3,故选C.3.若函数fx=x2+1·是奇函数,则m的值是 A.-1B.1C.-2D.2解析选B 设gx=x2+1,hx=,易知gx=x2+1是偶函数,则依题意可得hx=是奇函数,故h-x==-hx=-,化简得2x+m=m·2x+1,解得m=
1.选B.4.若函数fx=m+log2xx≥1存在零点,则实数m的取值范围是 A.-∞,0]B.[0,+∞C.-∞,0D.0,+∞解析选A ∵函数fx=m+log2xx≥1存在零点,∴方程m+log2x=0在x≥1时有解,∴m=-log2x≤-log21=
0.5.已知实数a=log23,b=2,c=log,则它们的大小关系为 A.acbB.cabC.abcD.bca解析选B 由对数函数的性质知1a=log232,c=loglog=32,又b=2=1,从而cab.故选B.6.若函数y=logax2-ax+1有最小值,则a的取值范围是 A.01B.01∪12C.12D.[2,+∞解析选C 当a1时,若y有最小值,则说明x2-ax+1有最小值,故x2-ax+1=0中Δ0,即a2-40,∴2a
1.当1a0时,若y有最小值,则说明x2-ax+1有最大值,与二次函数性质相互矛盾,舍去.综上可知,选C.7.若a=2x,b=logx,则“ab”是“x1”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选B 如图,x=x0时,a=b,∴若ab,则得到xx0,且x01,∴ab不一定得到x1,充分性不成立;若x1,则由图象得到ab,必要性成立.∴“ab”是“x1”的必要不充分条件.故选B.8.2018·广东汕头模拟设函数fx是定义在R上的周期为2的函数,且对任意的实数x,恒有fx-f-x=0,当x∈[-10]时,fx=x2,若gx=fx-logax在x∈0,+∞上有三个零点,则a的取值范围为 A.
[35]B.
[46]C.35D.46解析选C ∵fx-f-x=0,∴fx=f-x,∴fx是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出函数fx的图象如图所示∵gx=fx-logax在0,+∞上有三个零点,∴y=fx和y=logax的图象在0,+∞上有三个交点,作出函数y=logax的图象,如图,∴解得3a
5.故选C.9.2018·郑州模拟设m∈N,若函数fx=2x-m+10存在整数零点,则符合条件的m的个数为 A.2B.3C.4D.5解析选C 由fx=0得m=.又m∈N,因此有解得-5≤x10,x∈Z,∴x=-5,-4,-3,…,123,…,89,将它们分别代入m=,一一验证得,符合条件的m的取值为041128,共4个,故选C.10.2018·唐山模拟奇函数fx,偶函数gx的图象分别如图1,2所示,函数fgx,gfx的零点个数分别为m,n,则m+n= A.3B.7C.10D.14解析选C 由题中函数图象知f±1=0,f0=0,g=0,g0=0,g±2=1,g±1=-1,所以fg±2=f1=0,fg±1=f-1=0,f=f0=0,fg0=f0=0,所以fgx有7个零点,即m=
7.又gf0=g0=0,gf±1=g0=0,所以gfx有3个零点,即n=
3.所以m+n=10,选C.11.2018·成都模拟定义在R上的偶函数fx满足f1-x=f1+x,且当x∈
[12]时,fx=lnx.则直线x-5y+3=0与曲线y=fx的交点个数为参考数据ln2≈
0.69,ln3≈
1.10 A.3B.4C.5D.6解析选B 由f1-x=f1+x知,函数fx的图象关于直线x=1对称,又当x∈
[12]时,fx=lnx,则当x∈
[01]时,fx=ln2-x.由fx是定义在R上的偶函数,得f-x=fx,所以fx+2=f[x+1+1]=f[1-x+1]=f-x=fx,于是fx是周期为2的周期函数,值域为[0,ln2],从而可以画出函数fx的大致图象如图所示,然后画出直线y=gx=x+.当x=-3时,f-3=f3=f1=0,g-3=×-3+=0,此时有一个交点;当x=0时,f0=f2=ln2≈
0.69,g0==
0.6,g0f0;当x=2时,f2=ln2≈
0.69,g2=1,g2f2,于是根据图象,直线x-5y+3=0与曲线y=fx的交点个数为4,故选B.12.2019届高三·福州四校联考已知函数fx=若Fx=f[fx+1]+m有两个零点x1,x2,则x1·x2的取值范围是 A.[4-2ln2,+∞B.,+∞C.-∞,4-2ln2]D.-∞,解析选D 因为函数fx=所以Fx=由Fx=0得,x1=ee-m-1,x2=4-2e-m,由得mln.设t=e-m,则t,所以x1·x2=2et-12-t,设gt=2et-1·2-t,则g′t=2et-11-t,因为t,所以g′t=2et-11-t0,即函数gt=2et-12-t在区间上是减函数,所以gtg=,故选D.
二、填空题13.2018·南宁、柳州模拟已知函数fx=则f+f=________.解析由题可知f=log=2,因为log20,所以f==2log26=6,故f+f=
8.答案814.2018·福建模拟已知函数fx=有两个零点,则实数a的取值范围是________.解析当x1时,令ln1-x=0,解得x=0,故fx在-∞,1上有1个零点,∴fx在[1,+∞上有1个零点.当x≥1时,令-a=0,得a=≥
1.∴实数a的取值范围是[1,+∞.答案[1,+∞15.已知函数fx为偶函数且fx=fx-4,又在区间
[02]上fx=函数gx=|x|+a,若Fx=fx-gx恰有2个零点,则a=________.解析由题意可知fx是周期为4的偶函数,画出函数fx与gx的大致图象,如图,由图可知若Fx=fx-gx恰有2个零点,则有g1=f1,解得a=
2.答案216.2018·贵州模拟20世纪30年代,为了防范地震带来的灾害,里克特C.F.Richter制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅.已知5级地震给人的震感已经比较明显,则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍.解析根据题意有lgA=lgA0+lg10M=lgA0·10M,所以A=A0·10M,则=
100.答案100B级——难度小题强化练1.2018·武汉模拟已知x,y∈R,且xy0,若ab1,则一定有 A.B.sinaxsinbyC.logaxlogbyD.axby解析选D 对于A选项,不妨令x=8,y=3,a=5,b=4,显然==,A选项错误;对于B选项,不妨令x=π,y=,a=2,b=,此时sinax=sin2π=0,sinby=sin=,显然sinaxsinby,B选项错误;对于C选项,不妨令x=5,y=4,a=3,b=2,此时logax=log35,logby=log24=2,显然logaxlogby,C选项错误;对于D选项,∵ab1,∴当x0时,axbx,又xy0,∴当b1时,bxby,∴axby,D选项正确.综上,选D.2.2018·南昌调研已知函数fx=ex-1+4x-4,gx=lnx-,若fx1=gx2=0,则 A.0gx1fx2B.fx2gx10C.fx20gx1D.gx10fx2解析选D 易知fx=ex-1+4x-4,gx=lnx-在各自的定义域内是增函数,而f0=e-1+0-4=-40,f1=e0+4×1-4=10,g1=ln1-=-10,g2=ln2-=lnln1=
0.又fx1=gx2=0,所以0x111x22,所以fx2f10,gx1g10,故gx10fx2.3.已知定义在R上的奇函数fx满足当x≥0时,fx=则关于x的函数fx=fx-a0a1的所有零点之和为 A.2a-1B.2-a-1C.1-2-aD.1-2a解析选D 因为fx为R上的奇函数,所以当x0时,fx=-f-x=画出函数y=fx的图象和直线y=a0a1,如图.由图可知,函数y=fx与直线y=a0a1共有5个交点,设其横坐标从左到右分别为x1,x2,x3,x4,x5,则=-3,=3,而-log-x3+1=a,即log21-x3=a,可得x3=1-2a,所以x1+x2+x3+x4+x5=1-2a,选D.4.2019届高三·湘东五校联考已知y=fx是定义在R上的函数,且满足
①f4=0;
②曲线y=fx+1关于点-10对称;
③当x∈-40时fx=log
2.若y=fx在x∈[-44]上有5个零点,则实数m的取值范围为 A.[-3e-41B.[-3e-41∪{-e-2}C.[01∪{-e-2}D.[01解析选B ∵曲线y=fx+1关于点-10对称,∴曲线y=fx关于点00对称,∴fx在R上是奇函数,则f0=
0.又f4=0,∴f-4=0,而y=fx在x∈[-44]上有5个零点,故当x∈-40时,fx=log2有1个零点,而此时fx=log2=log2=log2xex+ex-m+1,故xex+ex-m+1=1在x∈-4,0上有1个解.令gx=xex+ex-m,则g′x=ex+xex+ex=exx+2,故gx在-4,-2上是减函数,在-20上是增函数.而g-4=-4e-4+e-4-m=-3e-4-m,g0=1-m,g-2=-2e-2+e-2-m=-e-2-m,而g-4g0,故g-2=-e-2-m=0或-3e-4-m≤01-m,故m=-e-2或-3e-4≤m1,∴实数m的取值范围为[-3e-41∪{-e-2}.故选B.5.函数fx=log2·log2x的最小值为________.解析依题意得fx=log2x·2+2log2x=log2x2+log2x=2-≥-,当且仅当log2x=-,即x=时等号成立,因此函数fx的最小值为-.答案-6.已知函数fx=在
[01]上单调递增,则a的取值范围为________.解析令2x=t,t∈
[12],则y=在
[12]上单调递增.当a=0时,y=|t|=t在
[12]上单调递增显然成立;当a0时,函数y=,t∈0,+∞的单调递增区间是[,+∞,此时≤1,即0a≤1时成立;当a0时,函数y==t-,t∈0,+∞的单调递增区间是[,+∞,此时≤1,即-1≤a0时成立.综上可得a的取值范围是[-11].答案[-11]。