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(十)立体几何(大题练)A卷——大题保分练
1.2018·洛阳模拟如图,在四棱锥PABCD中,E,F分别是PC,PD的中点,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PD=2,且平面PAD⊥平面ABCD.1求证平面AEF⊥平面PCD;2求平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值.解1证明由题意知,PA=PD=AD,F为PD的中点,可得AF⊥PD,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD.又AF⊂平面PAD,∴CD⊥AF,又CD∩PD=D,∴AF⊥平面PCD,又AF⊂平面AEF,∴平面AEF⊥平面PCD.2取AD的中点O,BC的中点G,连接OP,OG,∵PA=PD=AD,∴OP⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,OP⊂平面PAD,∴OP⊥平面ABCD.分别以OA,OG,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A100,C-120,E,F,=,=010.设平面AEF的法向量为m=x,y,z,则eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1m·=0,m·=0,即可取m=10,,为平面AEF的一个法向量.同理,可得平面ACE的一个法向量为n=,,1.cos〈m,n〉===.∴平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值为.
2.2018·山西八校联考如图,三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,CC1⊥底面ABC,AC=BC=CC1=2,D,E,F分别是棱AB,BC,B1C1的中点,G是棱BB1上的动点.1当为何值时,平面CDG⊥平面A1DE2求平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值.解1当=,即G为BB1的中点时,平面CDG⊥平面A1DE.证明如下因为点D,E分别是AB,BC的中点,所以DE∥AC且DE=AC,又AC∥A1C1,AC=A1C1,所以DE∥A1C1,DE=A1C1,故D,E,C1,A1四点共面.如图,连接C1E交GC于H.在正方形CBB1C1中,tan∠C1EC=2,tan∠BCG=,故∠CHE=90°,即CG⊥C1E.因为A1C1⊥平面CBB1C1,CG⊂平面CBB1C1,所以DE⊥CG,又C1E∩DE=E,所以CG⊥平面A1DE,故平面CDG⊥平面A1DE.2由1知,当G为BB1的中点时,平面A1DE的一个法向量为.三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,CC1⊥底面ABC,所以以C为原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.因为AC=BC=CC1=2,D,E,F分别是棱AB,BC,B1C1的中点,所以C000,A1202,D110,E010,B020,F012,G021,=-22,-2,=-210,=021.由CD知为平面A1DE的一个法向量.设平面A1BF的法向量为n=x,y,z,则eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1n·=0,n·=0,即令x=1得n=121,为平面A1BF的一个法向量.设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为θ,则cosθ=eq\f|·n|||·|n|==,所以平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值为.3.如图
①,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将△ADE沿AE折起,得到如图
②所示的四棱锥D1ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.1设F为CD1的中点,试在AB上找一点M,使得MF∥平面D1AE;2求直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值.解1如图,取D1E的中点,记为L,连接AL,FL,则FL∥EC,又EC∥AB,∴FL∥AB,且FL=AB,∴M,F,L,A四点共面,且平面D1AE∩平面AMFL=AL,若MF∥平面D1AE,则MF∥AL,∴四边形AMFL为平行四边形,∴AM=FL=AB.2取AE的中点O,过点O作OG⊥AB于G,OH⊥BC于H,连接OD
1.∵AD1=D1E,∴D1O⊥AE,∴D1O⊥平面ABCE,D1O⊥OG,D1O⊥OH,又易得OG⊥OH,故OG,OH,OD1两两垂直,以O为坐标原点,OG,OH,OD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则B130,C-130,E-110,D100,.故=-1,-3,,=1,-3,,=0,-20.设平面CD1E的一个法向量为m=x,y,z,则eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1m·=0,m·=0,即取x=,得m=,0,-1.设直线BD1与平面CD1E所成的角为θ,则sinθ=|cos〈m,〉|=eq\f|m·||m|||==.即直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值为.
4.如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,H是CF的中点.1求证AC⊥平面BDEF;2求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值;3求二面角HBDC的大小.解1证明∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.又∵平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,且AC⊂平面ABCD,∴AC⊥平面BDEF.2设AC∩BD=O,取EF的中点N,连接ON,∵四边形BDEF是矩形,O,N分别为BD,EF的中点,∴ON∥ED.∵ED⊥平面ABCD,∴ON⊥平面ABCD.由AC⊥BD,得OB,OC,ON两两垂直.∴以O为原点,OB,OC,ON所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系.∵底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,BF=3,∴A0,-,0,B100,D-1,00,E-103,F103,C0,,0,H.∵AC⊥平面BDEF,∴平面BDEF的法向量=02,0.设直线DH与平面BDEF所成角为α,∵=,∴sinα=|cos〈,〉|=eq\b\lc\|\rc\|\a\vs4\al\co1\f·||||=,∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为.3由2,得=,=200.设平面BDH的法向量为n=x,y,z,则令z=1,得n=0,-,1.由ED⊥平面ABCD,得平面BCD的法向量为=00,-3,则cos〈n,〉=eq\fn·|n|||=-,由图可知二面角HBDC为锐角,∴二面角HBDC的大小为60°.B卷——深化提能练
1.2019届高三·辽宁五校联考如图,在四棱锥EABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中CD∥AB,BC⊥AB,侧面ABE⊥平面ABCD,且AB=AE=BE=2BC=2CD=2,动点F在棱AE,且EF=λFA.1试探究λ的值,使CE∥平面BDF,并给予证明;2当λ=1时,求直线CE与平面BDF所成角的正弦值.解1当λ=时,CE∥平面BDF.证明如下连接AC交BD于点G,连接GF图略,∵CD∥AB,AB=2CD,∴==,∵EF=FA,∴==,∴GF∥CE,又CE⊄平面BDF,GF⊂平面BDF,∴CE∥平面BDF.2如图,取AB的中点O,连接EO,则EO⊥AB,∵平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,∴EO⊥平面ABCD,连接DO,∵BO∥CD,且BO=CD=1,∴四边形BODC为平行四边形,∴BC∥DO,又BC⊥AB,∴AB⊥OD,则OD,OA,OE两两垂直,以OD,OA,OE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则O000,A010,B0,-10,D100,C1,-1,0,E00,.当λ=1时,有=,∴F,∴=110,=-11,,=.设平面BDF的法向量为n=x,y,z,则有eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1n·=0,n·=0,即令z=,得y=-1,x=1,则n=1,-1,为平面BDF的一个法向量,设直线CE与平面BDF所成的角为θ,则sinθ=|cos〈,n〉|=,故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.
2.2018·山东潍坊模拟如图,在四棱锥PABCD中,底面四边形ABCD内接于圆O,AC是圆O的一条直径,PA⊥平面ABCD,PA=AC=2,E是PC的中点,∠DAC=∠AOB.1求证BE∥平面PAD;2若二面角PCDA的正切值为2,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.解1证明∵∠DAC=∠AOB,∴AD∥OB.∵E为PC的中点,O为圆心,连接OE,∴OE∥PA,又OB∩OE=O,PA∩AD=A,∴平面PAD∥平面EOB,∵BE⊂平面EOB,∴BE∥平面PAD.2∵四边形ABCD内接于圆O且AC为直径,∴AD⊥CD,又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,又PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD,∴∠PDA是二面角PCDA的平面角,∵tan∠PDA=2,PA=2,∴AD=1,如图,以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz.PA=AC=2,AD=1,延长BO交CD于点F,∵BO∥AD,∴BF⊥CD,∴BF=BO+OF,∴BF=1+=,又CD=,∴DF=,∴P102,B,C0,,0,=1,-,2,=0,,0,设平面PCD的法向量n=x,y,z,∵eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1n·=0,n·=
0.即令z=1,则x=-2,y=
0.∴n=-201是平面PCD的一个法向量,又=,∴|cos〈,n〉|=eq\b\lc\|\rc\|\a\vs4\al\co1\f·n|||n|==,∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
3.2018·合肥一模如图,已知平行四边形ABCD与△EMN所在的平面都与矩形BDEF所在的平面垂直,且∠BAD=60°,AB=MN=2AD=2,EM=EN,F为MN的中点.1求证MN∥AD;2若直线AE与平面ABCD所成的角为60°,求二面角MABC的余弦值.解1证明在△ABD中,∠BAD=60°,AB=2,AD=1,由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=22+12-2×2×1×cos60°=3,所以BD=,AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD.又平面ABCD⊥平面BDEF,平面ABCD∩平面BDEF=BD,所以AD⊥平面BDEF.在△EMN中,EM=EN,F为MN的中点,所以MN⊥EF,又平面EMN⊥平面BDEF,平面EMN∩平面BDEF=EF,所以MN⊥平面BDEF.所以MN∥AD.2在矩形BDEF中,ED⊥BD,又平面ABCD⊥平面BDEF,平面ABCD∩平面BDEF=BD,所以ED⊥平面ABCD.所以∠EAD为直线AE与平面ABCD所成的角,故∠EAD=60°.在Rt△EAD中,ED=ADtan∠EAD=1×tan60°=.如图,以D为坐标原点,分别以DA,DB,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则D000,A100,B0,,0,E00,,F0,,,M1,,,=0,-,-,=-1,,0.因为DE⊥平面ABCD,所以=00,为平面ABCD的一个法向量.设平面MAB的法向量为n=x,y,z,所以eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1n⊥,n⊥,即eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1n·=-\r3y-\r3z=0,n·=-x+\r3y=0,整理得令y=1,则x=,z=-1,所以n=,1,-1是平面MAB的一个法向量.所以cos〈,n〉=eq\f·n||×|n|=-=-.设二面角MABC的大小为θ,由图可知θ为钝角,所以cosθ=cos〈,n〉=-.4.已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2,AD=,AB=1,如图
①所示,将△ABD沿BD折起到△PBD的位置得三棱锥PBCD,如图
②所示.1求证BD⊥PC;2当平面PBD⊥平面PBC时,求二面角PDCB的大小.解1证明在图
①中,连接AC,交BD于点G,因为∠CDA=∠DAB=90°,所以tan∠CAD==,tan∠DBA==,所以∠CAD=∠DBA,因为∠CAD+∠BAG=90°,所以∠DBA+∠BAG=90°,所以BD⊥AC.所以将△ABD沿BD折起到△PBD的位置后,仍有BD⊥PG,BD⊥CG,如图
②所示,又PG∩CG=G,所以BD⊥平面PCG,又PC⊂平面PCG,所以BD⊥PC.2因为平面PBD⊥平面PBC,PB⊥PD,平面PBD∩平面PBC=PB,PD⊂平面PBD,所以PD⊥平面PBC,因为PC⊂平面PBC,所以PD⊥PC,又BD⊥PC,BD∩PD=D,所以PC⊥平面PBD,所以BP⊥CP.以P为坐标原点,PC,PB,PD所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图
③所示,则P000,B010,C,00,D00,,=0,-1,,=,-10,易知平面PCD的一个法向量为m=010,设n=x,y,z为平面BCD的法向量,则eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1·n=0,·n=0,即令x=1,则y=,z=1,得n=1,,1是平面BCD的一个法向量.则cos〈m,n〉==,易知二面角PDCB为锐角,所以二面角PDCB的大小为45°.。