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2019届高三数学12月月考试题III一.选择题(共12小题)1.复数z=的虚部为( )A.﹣B.﹣1C.D.2.已知集合A={x|x∈R|x2﹣2x﹣3<0},B={x|x∈R|﹣1<x<m},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数m的取值范围为( )A.(3,+∞)B.(﹣1,3)C.[3,+∞)D.(﹣1,3]3.已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),P5(x5,y5),P6(x6,y6)是抛物线C y2=2px(p>0)上的点,F是抛物线C的焦点,若|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|=36,且x1+x2+x3+x4+x5+x6=24,则抛物线C的方程为( )A.y2=4xB.y2=8xC.y2=12xD.y2=16x4.已知双曲线C的两个焦点F1,F2都在x轴上,对称中心为原点,离心率为.若点M在C上,且MF1⊥MF2,M到原点的距离为,则C的方程为( )A.B.C.D.5.已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,的零点,则g(x0)等于( )A.1B.2C.3D.46.已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示,则此四棱锥的表面积为( )A.B.C.D.7.已知实数x,y满足,则z=2x+y的最大值为( )A.4B.6C.8D.108.已知点及抛物线x2=8y上一动点P(x0,y0),则y0+|PM|的最小值是( )A.1B.2C.3D.49.若α,β均为锐角且cos,cos(α+β)=﹣,则sin()=( )A.B.C.D.10.已知双曲线c=1(a>b>0),以右焦点F为圆心,|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N(异于原点O),若|MN|=2a,则双曲线C的离心率是( )A.B.C.2D.11.已知M是椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的左,右焦点,点I是△MF1F2的内心,延长MI交线段F1F2于N,则的值为( )A.B.C.D.12.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),且2f(x)+2f(x)>3,f
(1)=1,则不等式2f(x)﹣3+>0的解集为( )A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,1)D.(﹣∞,2) 二.填空题(共4小题)13.各项为正数的等比数列{an}中,a2与a9的等比中项为2,则log4a3+log4a4+…+log4a8= .14.在面积为2的等腰直角△ABC中,E,F分别为直角边AB,AC的中点,点P在线段EF上,则的最小值为 .15.在三棱锥A﹣BCD中,,若三棱锥的所有顶点,都在同一球面上,则球的表面积是 .16.已知定义在R上的奇函数f(x)满足,Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n,则f(a5)+f(a6)= .三.解答题(共6小题)17.已知函数f(x)=2cosx(sinx﹣cosx)+1,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的最大值及取得最大值时的x的集合.18.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12=0.
(1)求⊙C的参数方程;
(2)求直线l被⊙C截得的弦长.19.已知数列{an}满足,(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=nan,求|b1|+|b2|+…+|b12|.20.如图,菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直,∠BDA=.(Ⅰ)求证CF∥平面ADE;(Ⅱ)若二面角A﹣EF﹣C为直二面角时,求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值.21.已知椭圆的离心率是,短轴的一个端点到右焦点的距离为,直线y=x+m与椭圆C交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当实数m变化时,求|AB|的最大值;
(3)求△ABO面积的最大值. 22.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到直线l x﹣y﹣2=0的距离为.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设点C是抛物线上的动点,若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4,求证圆C恒过定点. 一.选择题(共12小题)AABCBACABCAA
9.解∵α,β均为锐角,且cos,cos(α+β)=﹣,∴sinα==,sin(α+β)==∴cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=+=,可得sinβ==,∴sin()=﹣cos2β=sin2β﹣cos2β=﹣=.11.解如图,∵I为△MF1F2的内心,∴F1I为∠MF1N的平分线,F2I为∠MF2N的平分线,∴=======.故选A.12.解由题意2f(x)+2f(x)>3,两边同乘ex,然后化简ex[2f(x)﹣3]+2exf(x)>0,故{ex[2f(x)﹣3]}>0,令g(x)=ex[2f(x)﹣3],则函数g(x)是R上的单调递增函数,而,据此可得x>1.故选A.二.填空题(共4小题)13.14.解等腰直角△ABC的面积为2,则AB2=2,则AB=2,以A为坐标原点,AB,AC所在直线为x,y轴建立坐标系.即有B(2,0),C(0,2),E,F分别为直角边AB,AC的中点,则E(1,0),F(0,1),设P(m,n),且m+n=1,则=(2﹣m,﹣n),=(﹣m,2﹣n),•=﹣m(2﹣m)﹣n(2﹣n)=m2+n2﹣2m﹣2n=(m+n)2﹣2mn﹣2(m+n)=1﹣2mn﹣2=﹣1﹣2mn=﹣1﹣2m(1﹣m)=﹣1+2(m﹣)2﹣≥﹣,当且仅当m=时,取得最小值,且为﹣.故答案为﹣.15.解由已知可得,BC⊥AB,BC⊥BD,∴BC⊥平面ABD,设三棱锥外接球的球心为O,正三角形ABD的中心为O1,则OO1⊥平面ABD,连接O1B,OO1,OC,在直角梯形O1BCO中,有,BC=1,OC=OB=R,可得,故所求球的表面积为.故答案为.16.解∵f(x)为奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),又∵,∴.∴.∴f(x)是以3为周期的周期函数.∵数列{an}满足a1=﹣1,且Sn=2an+n,∴当n≥2时,Sn﹣1=2an﹣1+n﹣1,则an=2an﹣2an﹣1+1,即an=2an﹣1﹣1,∴an﹣1=2(an﹣1﹣1)(n≥2),则,∴.上式对n=1也成立.∴a5=﹣31,a6=﹣63.∴f(a5)+f(a6)=f(﹣31)+f(﹣63)=f
(2)+f
(0)=f
(2)=﹣f(﹣2)=3.三.解答题17.解
(1),当即,因此,函数f(x)的单调递增取间为.
(2)由已知,,∴当时,.∴当,g(x)的最大值为.18.解
(1),⊙C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12=0.转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4y﹣12=0,整理得x2+(y﹣2)2=16,转换为参数方程为(θ为参数).
(2)直线l的参数方程为(t为参数).转换为直角坐标方程为2x﹣y﹣3=0.所以圆心(0,2)到直线2x﹣y﹣3=0的距离d=,所以直线被圆所截得弦长为l=2.19解(Ⅰ)由,有n≥2时,,化简得到,而也满足,故;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,由,由,|b1|+|b2|+…+|b12|=﹣(b1+b2+…+b5)+(b6+b7+…+b12)=(b1+b2+…+b12)﹣2(b1+b2+…+b5)=.20.证明(Ⅰ)∵菱形ABCD,∴AD∥BC,∵AD⊂面ADE,BC⊄面ADE,∴BC∥面ADE,同理BF∥面ADE,∵BC∩BF=F,BC⊂面BCF,BF⊂面BCF,∴面ADE∥面BCF,∵CF⊂面BCF,∴CF∥面ADE解(Ⅱ)取EF的中点M,连接AC交BD于点N,∵AE=AF,CE=CF,∴AM⊥EF,CM⊥EF,∴∠AMC就是二面角A﹣EF﹣C的平面角当二面角A﹣EF﹣C为直二面角时,MN=AN=BD,由CM⊥平面AEF,欲求直线BC与平面AEF所成的角,先求BC与MC所成的角.连结BM,设BC=2,则在△MBC中,CM=,MB=2,故直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值为sinθ=|cos∠MCB|==.21.解
(1)由题意得,得,从而b2=1,所以椭圆C的方程为;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,整理得3x2+4mx+2m2﹣2=0,由题意知△=16m2﹣4×3(2m2﹣2)=﹣8m2+24>0,所以m2<3,,所以,所以当且仅当m=0时,|AB|有最大值;
(3)点O到直线AB的距离为,从而△ABO的面积为==≤,(当且仅当m2=3﹣m2,即时,等号成立)所以△ABO面积的最大值为.
22.解
(1)由题意,x2=2py,焦点坐标为,由点到直线的距离公式,解得p=2,所以抛物线的标准方程是x2=4y;
(2)证明设圆心C的坐标为,半径为r,又圆C在x轴上截得的弦长为4,所以,圆C的标准方程,化简得,
①对于任意的x0∈R,方程
①均成立,故有,解得x=0,y=2,所以圆C过一定点为(0,2).。