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2019届高三数学12月联考试题理I
一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={x|3-2x<1},B={x|4x-3x2≥0},则A∩B=A.1,2]B.C.[0,1D.1,+∞2.若复数z满足2+iz=3-i,则z的虚部为A.iB.-iC.1D.-13.已知,,则cos2α=A.B.C.D.4.函数的图象大致是5.已知单位向量e1,e2的夹角为θ,且,若向量m=2e1-3e2,则|m|=A.9B.10C.3D.6.已知函数fx为R上的奇函数,当x<0时,,则xfx≥0的解集为A.[-1,0∪[1,+∞B.-∞,-1]∪[1,+∞C.[-1,0]∪[1,+∞D.-∞,-1]∪{0}∪[1,+∞7.设x,y满足约束条件则z=4x+y的最小值为A.-3B.-5C.-14D.-168.为了得到y=-2cos2x的图象,只需把函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度9.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点,,O为坐标原点,若|PF1|=10,则|OQ|=A.9B.10C.1D.1或910.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sinB+sinC2-sin2B+C=3sinBsinC,且a=2,则△ABC的面积的最大值是A.B.C.D.411.已知命题p若x2+y2>2,则|x|>1或|y|>1;命题q直线mx-2y-m-2=0与圆x2+y2-3x+3y+2=0必有两个不同交点,则下列说法正确的是A.¬p为真命题B.p∧¬q为真命题C.¬p∨q为假命题D.¬p∨¬q为假命题12.已知函数fx=e2x+ex+2-2e4,gx=x2-3aex,集合A={x|fx=0},B={x|gx=0},若存在x1∈A,x2∈B,使得|x1-x2|<1,则实数a的取值范围为A.B.C.D.第Ⅱ卷
二、填空题把答案填在答题卡中的横线上.13.设命题p,tanx>0,则¬p为▲.14.已知函数,则▲.15.已知正数a,b满足3a+2b=1,则的最小值为▲.16.已知F是抛物线y2=-16x的焦点,O为坐标原点,点P是抛物线准线上的一动点,点A在抛物线上,且|AF|=8,则|PA|+|PO|的最小值为▲.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第
22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题17.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,an+1=2Sn+3n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3an,若数列的前n项和为Tn,证明Tn<1.18.已知p x2-3+ax+3a<0,其中a<3;q x2+4x-5>0.
(1)若p是¬q的必要不充分条件,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.19.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.
(1)求角B的大小;
(2)求的取值范围.20.已知椭圆C的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l y=kx+mk>0,m2≠4与椭圆C相交于A,B两点,若|AB|=4,试用m表示k.21.设函数fx=xex+a1-ex+1.
(1)求函数fx的单调区间;
(2)若函数fx在0,+∞上存在零点,证明a>2.
(二)选考题请考生在第
22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).M是曲线C1上的动点,将线段OM绕O点顺时针旋转90°得到线段ON,设点N的轨迹为曲线C2.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;
(2)在
(1)的条件下,若射线与曲线C1,C2分别交于A,B两点(除极点外),且有定点T4,0,求△TAB的面积.23.[选修4-5不等式选讲]已知函数fx=|x+m|-|2x-2m|m>0.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)对于任意的实数x,存在实数t,使得不等式fx+|t-3|<|t+4|成立,求实数m的取值范围.高三数学考试参考答案(理科)1.B2.D3.A4.C5.C6.D7.C8.D9.A10.B11.D12.B13.,tanx0≤014.-115.2416.17.
(1)解因为an+1=2Sn+3,
①an=2Sn-1+3,
②①-
②,an+1-an=2an,即an+1=3ann≥2,所以{an}为从第2项开始的等比数列,且公比q=3.又a1=3,所以a2=9,所以数列{an}的通项公式an=3nn≥2.当n=1时,a1=3满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=3n.
(2)证明由
(1)知bn=log3an=log33n=n,所以,所以得证.18.解
(1)因为x2-3+ax+3a<0,a<3,所以a<x<3,记A=a,3,又因为x2+4x-5>0,所以x<-5或x>1,记B=-∞,-5∪1,+∞,又p是¬q的必要不充分条件,所以有¬q⇒p,且p推不出¬q,所以⫋A,即[-5,1]⫋a,3,所以实数a的取值范围是a∈-∞,-5.
(2)因为p是q的充分不必要条件,则有p⇒q,且q推不出p,所以A⫋B,所以有a,3⫋-∞,-5∪1,+∞,即a≥1,所以实数a的取值范围是a∈[1,3.19.解
(1)由已知,结合正弦定理,得,即.而由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,所以,因为B∈0,π,所以.
(2),由
(1)知,所以.因为,所以,所以,所以的取值范围为0,1].20.解
(1)由题意解得故椭圆C的方程为.
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2,由,得2k2+1x2+4kmx+2m2-8=0,所以,.因为|AB|=4|,所以,所以,整理得k24-m2=m2-2,显然m2≠4,所以.又k>0,故.21.
(1)解函数fx的定义域为-∞,+∞,因为fx=xex+a1-ex+1,所以f′x=x+1-aex.所以当x>a-1时,f′x>0,fx在a-1,+∞上是增函数;当x<a-1时,f′x<0,fx在-∞,a-1上是减函数.所以fx在a-1,+∞上是增函数,在-∞,a-1上是减函数.
(2)证明由题意可得,当x>0时,fx=0有解,即有解.令,则.设函数hx=ex-x-2,h′x=ex-1>0,所以hx在0,+∞上单调递增.又h1=e-3<0,h2=e2-4>0,所以hx在0,+∞上存在唯一的零点.故g′x在0,+∞上存在唯一的零点.设此零点为k,则k∈1,2.当x∈0,k时,g′x<0;当x∈k,+∞时,g′x>0.所以gx在0,+∞的最小值为gk.又由g′k=0,可得ek=k+2,所以,因为a=gx在0,+∞上有解,所以a≥gk>2,即a>2.22.解
(1)由题设,得C1的直角坐标方程为x2+y-52=25,即x2+y2-10y=0,故C1的极坐标方程为ρ2-10ρsinθ=0,即ρ=10sinθ.设点Nρ,θρ≠0,则由已知得,代入C1的极坐标方程得,即ρ=10cosθρ≠0.
(2)将代入C1,C2的极坐标方程得,,又因为T4,0,所以,,所以.23.解因为m>0,所以
(1)当时,所以由,可得或或,解得或,故原不等式的解集为.
(2)因为fx+|t-3|<|t+4|⇔fx<|t+4|-|t-3|,令gt=|t+4|-|t-3|,则由题设可得fxmax<gtmax.由得fxmax=fm=2m.因为-|t+4-t-3|≤|t+4|-|t-3|≤|t+4-t-3|,所以-7≤gt≤7,故gtmax=7,从而2m<7,即,又已知m>0,故实数m的取值范围是.。