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2019届高三数学上学期10月质量检测试题理
18.10一.填空题
1.已知全集,集合,则=.
2.命题“”的否定是.
3.已知虚数满足,则.
4.“”是“”的.条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择填空)
5.已知向量当三点共线时,实数的值为..
6.在中,角所对的边分别为若则_..
7.设函数满足,当时,,则=.
8.已知,,则的值为.
9.已知函数的图象关于直线对称,且当时,若则由大到小的顺序是.
10.若函数的图象关于点对称,且在区间上是单调函数,则的值为.
11.已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数的取值集合为.
12.已知点在所在平面内,且则取得最大值时线段的长度是.
13.在中,若则的最大值为.
14.已知定义在上的函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和,设若方程无实根,则实数的取值范围是.二.解答题
15.已知命题指数函数在上单调递减,命题关于的方程的两个实根均大于
3.若“或”为真“且”为假求实数的取值范围.
16.函数在一个周期内的图象如图所示为图象的最高点、为图象与轴的交点且为正三角形.Ⅰ求的值及函数的值域;Ⅱ若且求的值.
17.已知向量角为的内角,其所对的边分别为
(1)当取得最大值时,求角的大小;
(2)在
(1)成立的条件下,当时,求的取值范围.
18.为丰富农村业余文化生活,决定在ABN三个村子的中间地带建造文化中心.通过测量,发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点AB和以边AB的中心M为圆心,以MC长为半径的圆弧的中心N处,且AB=8km,BC=km.经协商,文化服务中心拟建在与AB等距离的O处,并建造三条道路AOBONO与各村通达.若道路建设成本AOBO段为每公里万元,NO段为每公里a万元,建设总费用为万元.
(1)若三条道路建设的费用相同,求该文化中心离N村的距离;
(2)若建设总费用最少,求该文化中心离N村的距离.
19.设、.
(1)若在上不单调,求的取值范围;
(2)若对一切恒成立,求证;
(3)若对一切,有,且的最大值为1,求、满足的条件
20.已知函数.
(1)若函数的图象在处的切线经过点,求的值;
(2)是否存在负整数,使函数的极大值为正值?若存在,求出所有负整数的值;若不存在,请说明理由;
(3)设,求证函数既有极大值,又有极小值.
1.已知矩阵A=,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=,属于特征值1的一个特征向量为α2=.求矩阵A,并写出A的逆矩阵.
2.在长方体中,是棱的中点,点在棱上,且求直线与平面所成角的正弦值的大小;
3.某商场举办“迎新年摸球”活动,主办方准备了甲、乙两个箱子,其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同),每一个箱子中只有一个红球,其余都是黑球.若摸中甲箱中的红球,则可获奖金元;若摸中乙箱中的红球,则可获奖金元.活动规定
①参与者每个箱子只能摸一次,一次摸一个球;
②可选择先摸甲箱,也可先摸乙箱;
③如果在第一个箱子中摸到红球,则可继续在第二个箱子中摸球,否则活动终止.
(1)如果参与者先在乙箱中摸球,求其恰好获得奖金元的概率;
(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大,请你帮他设计摸箱子的顺序,并说明理由.
4.已知(),是关于的次多项式;
(1)若恒成立,求和的值;并写出一个满足条件的的表达式,无需证明.
(2)求证对于任意给定的正整数,都存在与无关的常数,,,…,,使得.扬州中学高三年级10月份阶段检测数学试卷答案
18.10一.填空题
1.{1};
2.;
3.;
4.必要不充分;
5.—2或11;
6.
7.;
8.1;
9.bac;
10.或
11.;
12.;
13.;
14.二.解答题
15.解当为真时,,;当为真时,,解得由题意知、一真一假
(1)当真假时,解得
(2)当假真时,解得
16.解Ⅰ由已知可得:=3cosωx+又由于正三角形ABC的高为2则BC=4所以函数所以,函数Ⅱ因为Ⅰ有,由x0所以,故.
17.解
(1),令,原式,当,即,时,取得最大值.
(2)当时,,.由正弦定理得(为的外接圆半径)于是.由,得,于是,,所以的范围是.
18.解
(1)不妨设依题意,,且由若三条道路建设的费用相同,则所以所以由二倍角的正切公式得,,即答该文化中心离N村的距离为
(2)总费用即,令当所以当有最小值,这时,答该文化中心离N村的距离为
19.解
(1)由题意,;
(2)须与同时成立,即,;
(3)因为,依题意,对一切满足的实数,有.
①当有实根时,的实根在区间内,设,所以,即,又,于是,的最大值为,即,从而.故,即,解得.
②当无实根时,,由二次函数性质知,在上的最大值只能在区间的端点处取得,所以,当时,无最大值.于是,存在最大值的充要条件是,即,所以,.又的最大值为,即,从而.由,得,即.所以、满足的条件为且.综上且
20.解
(1)∵∴∴函数在处的切线方程为,又直线过点∴,解得………2分
(2)若,,当时,恒成立,函数在上无极值;当时,恒成立,函数在上无极值;方法
(一)在上,若在处取得符合条件的极大值,则,5分则,由
(3)得,代入
(2)得,结合
(1)可解得,再由得,设,则,当时,,即是增函数,所以,又,故当极大值为正数时,,从而不存在负整数满足条件.………8分方法
(二)在时,令,则∵∴∵为负整数∴∴∴∴∴在上单调减又,∴,使得…5分且时,,即;时,,即;∴在处取得极大值(*)又∴代入(*)得∴不存在负整数满足条件.………8分
(3)设,则,因为,所以,当时,,单调递增;当时,,单调递减;故至多两个零点.又,,所以存在,使再由在上单调递增知,当时,,故,单调递减;当时,,故,单调递增;所以函数在处取得极小值.………12分当时,,且,所以,函数是关于的二次函数,必存在负实数,使,又,故在上存在,使,再由在上单调递减知,当时,,故,单调递增;当时,,故,单调递减;所以函数在处取得极大值.综上,函数既有极大值,又有极小值.………16分理科加试答案
1.解由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=可得,=6,即c+d=6;由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=,可得=,即3c-2d=-2.解得即A=,A的逆矩阵是eq\b\bc\[\a\al\vs4--.
2.解分别以为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以.,设平面的一个法向量为,由解得取,则,因为,,,所以因为,所以是锐角,是直线与平面所成角的余角,所以直线与平面所成角的正弦值为.
3.解
(1)设参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金元为事件.则即参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金元的概率为.…………4分
(2)参与者摸球的顺序有两种,分别讨论如下
①先在甲箱中摸球,参与者获奖金可取则…………6分
②先在乙箱中摸球,参与者获奖金可取则……8分当时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获奖金期望值较大;当时,两种顺序参与者获奖金期望值相等;当时,先在乙箱中摸球,再在甲箱中摸球,参与者获奖金期望值较大.答当时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获奖金期望值较大;当
4.解
(1)令,则,即,因为,所以;令,则,即,因为,因为,所以;例如.
(2)当时,,故存在常数,,使得.假设当()时,都存在与无关的常数,,,…,,使得,即.则当时,;令,,(),;故存在与无关的常数,,,…,,;使得.综上所述,对于任意给定的正整数,都存在与无关的常数,,,…,,使得.。