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2019届高三数学上学期11月联考试题理
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的将正确答案填写在答题卷相应位置上.)
1.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|4x≥2},则A∪B=( )A.B.C.(-∞,3]D.[-1,+∞)
2.已知i是虚数单位,复数z满足z(3+4i)=1+i,则复平面内表示z的共轭复数的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.若,,,则a,b,c大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c
4.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1),第一步应验证不等式( )A.B.C.D.5.两曲线,在x∈[0,1]内围成的图形面积是( )A.B.C.1D.26若cos(-α)=,则cos(+2α)的值为( )A.B.C.D.7.已知等差数列{an}的前n项为Sn,且a1+a5=-14,S9=-27,则使得Sn取最小值时的n为( )A.1B.6C.7D.6或
78.已知函数f(x)=lnx+2x-6的零点位于区间(m-1,m)(m∈Z)内,则=( )A.1B.2C.3D.
49.已知命题P若△ABC为钝角三角形,则sinA<cosB;命题q∀x,y∈R,若x+y≠2,则x≠-1或y≠3,则下列命题为真命题的是( )A.p∨(¬q)B.(¬p)∧qC.p∧qD.(¬p)∧(¬q)
10.已知A,B是圆O x2+y2=4上的两个动点,||=2,=,若若M是线段AB的中点,则的值为( )A.3B.2C.2D.-
311.下面四个推理中,属于演绎推理的是( )A.观察下列各式72=49,73=343,74=2401,…,则7xx的末两位数字为43B.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,可得偶函数的导函数为奇函数C.在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14,类似的,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积之比为18D.已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应
12.定义在(0,+∞)的函数f(x)的导函数满足,且f
(2)=2,则不等式的解集为( )A.(-∞,2)B.(-∞,ln2)C.(0,2)D.(0,ln2)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将正确答案填写在答题卷相应位置.)13.在等比数列中,,且,则的值为______.
14.曲线f(x)=xlnx在点P(1,0)处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是______.
15.已知O为坐标原点,点A(5,-4),点M(x,y)为平面区域内的一个动点,则的取值范围是______.16设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A、B、C三点共线,则的最小值为______.
三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=81,a3+a5=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,若{bn}的前n项和为,证明.
18.(本题满分12分)已知向量,,函数
(1)求函数f(x)的最大值及最小正周期;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域.
19.(本题满分12分)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
(1)判断△ABC的形状;
(2)若B=,点D为AB边的中点,CD=,求△ABC的面积.
20.(本题满分12分)近年来,雾霾日趋严重,我们的工作、生活受到了严重的影响,如何改善空气质量已成为当今的热点问题.某空气净化器制造厂,决定投入生产某型号的空气净化器,根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律每生产该型号空气净化器x(百台),其总成本为P(x)(万元),其中固定成本为12万元,并且每生产1百台的生产成本为10万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入Q(x)(万元)满足Q(x)=,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据以述统计规律,请完成下列问题
(1)求利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本);
(2)工厂生产多少百台产品时,可使利润最多?21(本题满分12分)已知函数.(Ⅰ)若函数的最小值为0,求a的值;(Ⅱ)设,求函数h(x)的单调区间;(Ⅲ)设函数y=f(x)与函数的图象的一个公共点为P,若过点P有且仅有一条公切线,求点P的坐标及实数a的值.
22.(本题满分10分)从甲乙试题中任选一题做答,多答按所答第一题评分(甲)(选修4-4极坐标与参数方程)在平面直角坐标系中,椭圆C的参数方程为(α为参数),已知以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.(Ⅰ)把椭圆C的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆C上的两点,且OA⊥OB,求的值.(乙)(选修4-5不等式选讲)设函数f(x)=|2x+3|+|x-1|.(Ⅰ)解不等式f(x)>4;(Ⅱ)若存在使不等式a+1>f(x)成立,求实数a的取值范围.xx周宁一中与政和一中第三次月考理科数学
1.D
2.A
3.D
4.D
5.A
6.A
7.B
8.D
9.B
10.A
11.D
12.B
13.
514.
15.[-8,1)
16.
817.解
(1)∵{an}等差数列,由S9=9a5=81,得a5=9.又由a3+a5=14,得a3=5.由上可得等差数列{an}的公差d=2.∴an=a3+(n-3)d=2n-1.
(2)证明由得…
18.解
(1)=所以f(x)的最大值为1,最小正周期为π.
(2)由
(1)得.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到的图象.因此,故g(x)在上的值域为[,1].
19.解
(1)△ABC中,∵∴由正弦定理可得(sinAcosB+sinBcosA)•cosC=sinA•(2-1),即sin(A+B)•cosC=sinA•cosC,即sinC•cosC=sinA•cosC,即cosC•(sinC-sinA)=0,∴cosC=0或sinC=sinA,∴C=,或C=A,故△ABC为直角三角形或等腰三角形.
(2)若B=,则△ABC为等腰三角形,则A=C=,BC=2BD=a,如图所示∵点D为AB边的中点,CD=,△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC•BD•cosB,即,∴a2=4,∴△ABC的面积S=•a•a•sin=
20.解
(1)由题意得P(x)=12+10x,…(1分)则f(x)=Q(x)-P(x)=即为f(x)=…(6分)
(2)当x>16时,函数f(x)递减,即有f(x)<f
(16)=212-160=52万元…8分当0≤x≤16时,函数f(x)=-
0.5x2+12x-12=-
0.5(x-12)2+60,当x=12时,f(x)有最大值60万元.…10分所以当工厂生产12百台时,可使利润最大为60万元.…12分
21.解(Ⅰ),(x>0),g′(x)=+2,a≥0时,g′(x)>0,函数在(0,+∞)递增,无最小值,a<0时,g′(x)=,令g′(x)>0,解得,令g′(x)<0,解得,∴函数g(x)=f(x)+2x在(0,-)递减,在(-,+∞)递增,故函数在x=-处取得最小值,∴aln(-)-a=0,解得;(Ⅱ)=,∴h′(x)=,
(1)当a=0时,h(x)=2x,在定义域(0,+∞)内递增;当a≠0时,令h′(x)=0,∴或,
(2)当a>0时,h′(x)>0,h(x)定义域(0,+∞)内递增;
(3)当a0时
①当--a0时,函数的增区间为(,)函数的减区间为(0,),(,+∞);
②当a<-时,函数的增区间为(,),函数的减区间为(0,),(,+∞);
③当a=-时,定义域内递增.(Ⅲ)a=符合题意,理由如下此时P(1,0)设函数f(x)与u(x)上公共点P(m,n),依题意有f(m)=u(m),f′(m)=u′(m),即,⇒得到lnm-m+1=0,构造函数ω(x)=lnm-m+1,(x>0)ω′(x)=,可得函数ω(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,而ω
(1)=0∴方程lnm-m+1=0有唯一解,即m=1,a=
22.解(Ⅰ)∵椭圆C的参数方程为(α为参数),∴椭圆C普通方程为=1,∴=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得=,设A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),则==+=+==.∴的值是.
23.解(Ⅰ)∵f(x)=|2x+3|+|x-1|,∴…(2分)∴f(x)>4⇔或或…(4分)⇔x<-2或0<x≤1或x>1…(5分)综上所述,不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞)…(6分)(Ⅱ)若存在使不等式a+1>f(x)成立⇔a+1>(f(x))min…(7分)由(Ⅰ)知,时,f(x)=x+4,∴x=-时,(f(x))min=…(8分)a+1>⇔a>…(9分)∴实数a的取值范围为(,+∞)…(10分).。