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2019届高三数学上学期12月月考试题理II
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合,,则=()A.B.C.D.2.计算等于()A.B.C.D.3.已知命题,,则是()A.,B.,C.,D.,A.(2,4)B.C.D.5.执行如下的程序框图,最后输出结果为k=10,那么判断框应该填入的判断可以是()A.B.C.D.6.已知函数的最小正周期为,则函数的图像()A.可由函数的图像向左平移个单位而得B.可由函数的图像向右平移个单位而得C.可由函数的图像向左平移个单位而得D.可由函数的图像向右平移个单位而得7.我国古代数学名著《九章算术》记载“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无丈.刍,草也;甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图,为一刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形.则它的体积为A.B.C.D.
8.已知为正方形,其内切圆与各边分别切于,,,,连接,,,.现向正方形内随机抛掷一枚豆子,记事件豆子落在圆内,事件豆子落在四边形外,则()A.B.C.D.9.已知非零向量与满足,且,则为)A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形10.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,{Sn+nan}为常数列,则an= A.B.C.D.11.已知,是椭圆的左右焦点,A是椭圆上的点,(为椭圆的半焦距),则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.12.已知定义在上的函数对任意的都满足,当时,,若函数至少有6个零点,则的取值范围是A.B.C.D.二填空题本题共4小题,每小题5分,共20分13.的展开式中,的系数为_________.14.变量、满足条件,则的最小值为_________.15.已知圆锥的顶点为,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的侧面积为__________.
16.已知函数m∈Re为自然对数的底数若对任意正数当x1x2时都有fx1-fx2x1-x2成立则实数m的取值范围是 . 三解答题
17.(10分)在中,内角、、的对边分别为、、,且.
(1)求角的大小;
(2)若,的面积为,求的值.
18.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a7=-9,S9=-.1求数列{an}的通项公式;2设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证Tn>-.
19.(12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖规则如下1.抽奖方案有以下两种方案a,从装有2个红球、3个白球仅颜色不同的甲袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金30元,否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回甲袋中;方案b,从装有3个红球、2个白球仅颜色不同的乙袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金15元,否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回乙袋中.2.抽奖条件是,顾客购买商品的金额满100元,可根据方案a抽奖一次;满150元,可根据方案b抽奖一次例如某顾客购买商品的金额为260元,则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a,b各抽奖一次.已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元.1若顾客A只选择根据方案a进行抽奖,求其所获奖金的期望值;2要使所获奖金的期望值最大,顾客A应如何抽奖?
20.(12分)已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成,如图1所示,AB⊥BC,且AB=BC=2CD.将梯形ABCD沿着BC折起,如图2所示,且AB⊥平面BEC.1求证平面ABE⊥平面ADE;2求二面角ADEB的余弦值.21(12分)已知点,直线,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作直线与轨迹交于,两点,为直线上一点,且满足,若的面积为,求直线的方程.
22.(12分)若函数恰有两个不同零点
(1)求实数的取值范围;
(2)求证.高三月考(理科数学)1A2A3D4B5D6D7A8C9D10B11B12A13.4014.515.16 [0+∞
17.解1由已知及正弦定理得,,2又18.解1设数列{an}的公差为d,则由已知条件可得,解得4分于是可求得an=-.6分2证明由1知,Sn=-,故bn=-=-,8分故Tn=-=-,10分又因为--<,所以Tn>-.12分19.解1由题意知顾客A只选择根据方案a进行抽奖,此时可抽奖3次,且选择方案a抽奖1次,获得奖金30元的概率为=
0.
1.1分设顾客A所获奖金为随机变量X,则X的所有可能取值为0306090,则PX=0=
0.729,PX=30=
0.243,PX=60=
0.027,PX=90=
0.001,∴EX=0×
0.729+30×
0.243+60×
0.027+90×
0.001=
9.2由题意得选择根据方案b抽奖1次,获得奖金15元的概率为=
0.
3.设顾客A只选择根据方案b抽奖,此时可抽奖2次,所获奖金为随机变量Y,则Y的所有可能取值为01530,则PY=0=
0.49,PY=15=
0.42,PY=30=
0.09,∴EY=0×
0.49+15×
0.42+30×
0.09=
9.设顾客A选择根据方案a抽奖2次、方案b抽奖1次时所获奖金为随机变量Z,则Z的所有可能取值为01530456075,则PZ=0=
0.567,PZ=15=
0.243,PZ=30=
0.126,PZ=45=
0.054,PZ=60=
0.007,PZ=75=
0.003,∴EZ=0×
0.567+15×
0.243+30×
0.126+45×
0.054+60×
0.007+75×
0.003=
10.
5.∴EZ>EX=EY,顾客A应选择根据方案a抽奖2次、方案b抽奖1次,可使所获奖金的期望值最大.20.解1证明取BE的中点F,AE的中点G,连接FG、GD、CF,则GF=AB.∵DC=AB,∴CD=GF,∴四边形CFGD为平行四边形,∴CF∥DG.∵AB⊥平面BEC,∴AB⊥CF.∵CF⊥BE,AB∩BE=B,∴CF⊥平面ABE.∵CF∥DG.∴DG⊥平面ABE.∵DG⊂平面ADE,∴平面ABE⊥平面ADE.2解过E作EO⊥BC于O.∵AB⊥平面BEC,∴AB⊥EO.∵AB∩BC=B,∴EO⊥平面ABCD以O为坐标原点,OE、BC所在的直线分别为x轴、y轴,过O且平行于AB的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=BC=4,则A0,-24,B0,-20,D022,E2,00,∴=-2,22,=-2,-24,=-2,-20.设平面EAD的法向量为n=x1,y1,z1,则有取z1=2得x1=,y1=1,则n=,12,设平面BDE的法向量为m=x2,y2,z2,则取x2=1,得y2=-,z2=2,则m=1,-,2.∴cos〈n,m〉=.又由图可知,二面角ADEB的平面角为锐角,∴其余弦值为.
21.解
(1)设,则,,,,,即轨迹的方程为.(II)显然直线的斜率存在,设的方程为,由,消去可得,设,,,,,即,,即,,即,,到直线的距离,,解得,直线的方程为或.22
(1)
(2)开始k=1s=0s=s+kk=k+1输出k结束否是。