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2019届高三数学上学期9月月考试题理
一、选择题(12小题,每题5分,共60分)
1.已知全集,集合,,则()A.B.C.D.
2.已知为虚数单位,复数,则下列命题正确的是()A.的共轭复数为B.的虚部为C.在复平面内对应的点在第一象限D.
3.设则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知a=3,b=4,c=12,则a,b,c的大小关系为 A.bacB.abcC.cbaD.cab
5.设为等差数列的前项和,,则()A.2B.C.D.
6.已知平面向量满足,且则向量与夹角的正弦值是()A.B.C.D.
7.函数的图象如图所示,为了得到函数的图象,只需将的图象 A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位
8.已知数列{an}满足a1=1,an=lognn+1n≥2,n∈N*.定义使乘积a1·a2·a3……ak为正整数的kk∈N*叫做“和谐数”,则在区间[1,xx]内所有的“和谐数”的和为 A.2036B.2048C.4083D.
40969.定义在上的函数满足
①;
②;
③在上的表达式为,则函数与函数的图象在区间上的交点个数为A.5B.6C.7D.
810.已知函数,且,则的值()A.恒为负B.恒为0C.恒为正D.无法确定
11.已知是锐角三角形的外接圆的圆心,且,若,则()A.B.C.D.不能确定
12.已知定义在上的可导函数的导函数为,若对于任意实数有,则下列不等式一定成立的是()A.B.C.D.
二、填空题(4小题,每题5分,共20分)
13.已知函数.若,则
14.已知,则__________.
15.如图,在边长为(为自然对数的底数)的正方形中,阴影部分的面积是_______.
16.已知函数,若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是_________.
三、解答题(5小题,每题14分,共70分)
17.在中,角的对边分别是,且
(1)求角的大小;
(2)若,求面积的最大值.
18.已知数列的前项和为,().
(1)求的通项公式;
(2)设,求的前项和.
19.在四棱锥中,为等边三角形,底面为等腰梯形,满足,=,且平面⊥平面.
(1)证明⊥平面;
(2)求二面角的余弦值.
20.设函数.1若曲线在点处的切线与轴平行,求;2若在处取得极小值,求的取值范围.
21.已知函数.
(1)设,.若对于任意,不等式恒成立,求实数的最大值;
(2)若,,函数有且只有1个零点,求的值.1~12CDACDDCABCAA13~16-71,
17.解
(1)由正弦定理可得从而可得由知,所以又是三角形内角,所以所以又是三角形内角,所以
(2)由余弦定理得所以当且仅当时取等号所以面积的最大值为
18.解
(1)即即又故数列是以1为首项,以为公比的等比数列,所以
(2).∴,,∴,整理得,所以.
19.解
(1)在梯形中,取中点,连结,则,且.故,即点在以为直径的圆上,所以.因为平面⊥平面,平面平面,平面,所以⊥平面.
(2)取中点,连接,则⊥,连接,则,∴.以为原点,分别以为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得,则,,,,,.取平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,由·,·得令,得,所以,因为二面角的平面角为钝角,所以二面角的余弦值为.20.解1因为,所以=..由题设知,即,解得.此时.所以的值为1.2由1得.若,则当时,;当时,.所以在处取得极小值.若,则当时,,,所以.所以2不是的极小值点.综上可知,的取值范围是.
21.【解析】
(1)由条件知.因为对于恒成立,且,所以对于恒成立.而,且,所以,故实数的最大值为
4.
(2)因为函数只有1个零点,而,所以0是函数的唯一零点.因为,又由知,所以有唯一解.令,则,从而对任意,,所以是上的单调增函数,于是当,;当时,.因而函数在上是单调减函数,在上是单调增函数.下证.若,则,又,且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和之间存在的零点,记为.因为,所以,又,所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.若,同理可得,在和之间存在的非0的零点,矛盾.因此,.于是,故,所以.。