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2019届高三数学上学期开学考试试题理IV考试说明
(1)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分满分150分.考试时间为120分钟.
(2)第I卷、第II卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.下列复数是纯虚数的是A.B.C.D.2.某校共有500名高二学生,在一次考试中全校高二学生的语文成绩服从正态分布,若,则该校高二学生语文成绩在120分以上的人数大约为A.70B.80C.90D.1003.已知集合,,则A.B.C.或D.或4.已知命题,使得,则为A.,总有B.,使得C.,总有D.,使得
5.若,满足约束条件,则的最小值是A.B.C.D.
6.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个,蓝球4个,绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件为“取出的两个球颜色不同”,事件为“取出一个黄球,一个绿球”,则A.B.C.D.7.方程至少有一个负根的充要条件是A.B.C.D.或8.设,则的大小关系是A.B.C.D.9.底面是边长为1的正方形,侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A.B.C.D.10.在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为A.B.C.D.11.若,,则的最小值为A.B.C.D.12.已知函数,若函数的图象上存在点,使得在点处的切线与的图象也相切,则的取值范围是A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题共90分.)
2、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上.13.二项式的展开式中含项的系数为.14.《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著,书中有如下问题“今有圆堡壔,周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何?答曰二千一百一十二.术曰周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡壔就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说圆堡壔圆柱体的体积V=×底面的圆周长的平方×高,则该问题中圆周率的取值为________.注一丈=10尺15.已知fx=logx2-ax+3a在区间[2,+∞上为减函数,则实数a的取值范围是______________.16.已知F是椭圆C的右焦点,P是椭圆上一点,,当△APF周长最大时,该三角形的面积为__________________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本题满分12分)如图,△ABC是等边三角形,D是BC边上的动点含端点,记∠BAD=α,∠ADC=β.(I)求的最大值;(II)若BD=1,,求△ABD的面积.18.(本小题满分12分)哈三中xx级高二期中考试中,某班共50名学生,数学成绩的优秀率为20%,物理成绩大于90分的为优秀,物理成绩的频率分布直方图如图.(I)这50名学生在本次考试中,数学、物理优秀的人数分别为多少?(II)如果数学、物理都优秀的有6人,补全下列列联表,并根据列联表,判断是否有以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关?物理优秀物理非优秀总计数学优秀6数学非优秀总计附,其中.19.(本题满分12分)如图,是边长为的等边三角形,,分别为,靠近,的三等分点,点为边的中点,线段交线段于点,将沿翻折,使平面⊥平面,连接,,形成如图所示的几何体.Ⅰ求证⊥平面;Ⅱ求二面角的余弦值.20.(本题满分12分)已知动点到定点和定直线的距离之比为,设动点的轨迹为曲线.(I)求曲线的方程;(II)设,过点作斜率不为的直线与曲线交于两点,设直线的斜率分别是,求的值.21.(本题满分12分)设函数,,其中.(I)当时求函数的极值;(II)求证存在,使得在内恒成立,且方程在内有唯一解.请考生在
22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.
22.本小题10分已知直线(为参数),曲线(为参数).(I)求直线与曲线的普通方程;(II)已知点,若直线与曲线相交于两点(点在点的上方),求的值.
23.(本小题10分)已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a其中a>0.(I)当a=4时,求不等式的解集;(II)若不等式有解,求实数a的取值范围.四川省棠湖中学xx高三上学期开学考试数学(理)答案
1.C
2.D
3.C
4.C
5.B
6.D
7.C
8.A
9.D
10.A
11.D
12.B
13.14.
315.
16.17.解1由△ABC是等边三角形,得β=α+,0≤α≤,故2cos-cos=2cos-cos=sin,故当α=,即D为BC中点时,原式取最大值.2由cosβ=,得sinβ=,故sinα=sin=sinβcos-cosβsin=,由正弦定理=,故AB=BD=×1=,故S△ABD=AB·BD·sinB=××1×=.
18.
(1)1012
(2)有
19.解(Ⅰ)证明在图1中,由△ABC是等边三角形,E,D分别为AB,AC的三等分点,点G为BC边的中点,则DE⊥AF,DE⊥GF,DE∥BC.在图2中,因为DE⊥AF,DE⊥GF,AF∩FG=F,所以DE⊥平面AFG.又DE∥BC,所以BC⊥平面AFG.Ⅱ解因为平面AED⊥平面BCDE,平面AED∩平面BCDE=DE,AF⊥DE,所以,平面又因为DE⊥GF,所以FA,FD,FG两两垂直.以点F为坐标原点,分别以FG,FD,FA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.则A0,0,2,B,-3,0,E0,-2,0,所以=,-3,-2,=-,1,0.设平面ABE的法向量为n=x,y,z,则即取x=1,则y=,z=-1,则n=1,,-1.显然m=1,0,0为平面ADE的一个法向量,所以cos〈m,n〉==.由图形可知二面角B-AE-D为钝角,所以,二面角B-AE-D的余弦值为-.
20.解(I)设则依题意有,整理得即为曲线的方程.(Ⅱ)设直线则由联立得∴;即
21.解(I)当时令得当变化时的变化如下表:极大值极小值由表可知;;(II)设,,,若要有解,需有单减区间,则要有解,由,,记为函数的导数则,当时单增,令,由,得,需考察与区间的关系
①当时,,,在上,单增,故单增,,无解;
②当,时,,,因为单增,在上,在上当时,(i)若,即时,,单增,,无解;(ii)若,即,,在上,,单减;,,在区间上有唯一解,记为;在上,单增,,当时,故在区间上有唯一解,记为,则在上,在上,在上,当时,取得最小值,此时若要恒成立且有唯一解,当且仅当,即,由有联立两式解得.综上,当时,
22.解
(1)由直线已知直线(为参数),消去参数得曲线(为参数)消去参数得.
(2)设将直线的参数方程代入得由韦达定理可得结合图像可知,由椭圆的定义知;.
23.解1当a=4时,log2a=2,
①当x<-时,-x-2≤2,得-4≤x<-;
②当-≤x≤1时,3x≤2,得-≤x≤;
③当x>1时,此时x不存在.所以不等式的解集为{x|-4≤x≤}.2设fx=|2x+1|-|x-1|=由fx的图象知fx≥-,∴fxmin=-.∴log2a≥-,∴a≥.所以实数a的取值范围是[,+∞.物理成绩/分60708090100O0.0300.0260.0240.020频率/组距。