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2019届高三数学上学期月考试题一文含解析本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,共8页时量120分钟满分150分
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数fx=的定义域是AA.B.∪C.D.∪【解析】解不等式6-x-x20得x-2x+30x∈.选A.2.已知复数z=,给出下列四个结论
①|z|=2;
②z2=2i;
③z的共轭复数=-1+i;
④z的虚部为i.其中正确结论的个数是BA.0B.1C.2D.3【解析】由已知z=1+i,则|z|=,z2=2i,=1-i,z的虚部为
1.所以仅结论
②正确,选B.3.已知命题p若a,则a2b2;命题q若x2=4,则x=
2.下列说法正确的是AA.“p∨q”为真命题B.“p∧q”为真命题C.“綈p”为真命题D.“綈q”为假命题【解析】由条件可知命题p为真命题,q为假命题,所以“p∨q”为真命题,故选择A.4.如图,已知=a,=b,=4,=3,则=DA.b-aB.a-b,C.a-bD.b-a,【解析】=+=+=--=b-a.选D.5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则得到的这个新三角形的形状为AA.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为x,原三边长为a、b、c,且c2=a2+b2,a+bc.新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x,知c+x为最大边,其对应角最大.而a+x2+b+x2-c+x2=x2+2a+b-cx0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则为锐角,那么它为锐角三角形.故选A.6.与直线2x-y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是DA.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0【解析】设Px0,y0为切点,则切点的斜率为y′|x=x0=2x0=2,∴x0=
1.由此得到切点1,1.故切线方程为y-1=2x-1,即2x-y-1=0,故选D.7.右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩成绩为整数,其中一个数字被污损,则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为DA.B.C.D.【解析】记其中被污损的数字为x.依题意得甲的5次综合测评的平均成绩为90,乙的5次综合测评的平均成绩为442+x,令442+x≥90,由此解得x≥8,即x的可能取值为8和9,由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为=,故选D.8.将函数y=3sin的图象向右平移个单位,所得图象对应的函数AA.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减【解析】将函数y=3sin的图象向右平移个单位,所得函数变为y=3sin,令2kπ-≤2x-≤2kπ+k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+k∈Z,令k=0,≤x≤.故函数在区间上单调递增,故选A.9.设fx=则不等式fx2的解集为CA.1,2∪3,+∞B.,+∞C.1,2∪,+∞D.1,2【解析】令2ex-12,解得1x
2.令log32,解得x为,不等式fx2的解集为1,2∪,+∞,故选C.
10.执行如图所示的程序框图,若输入a,b,c分别为1,2,
0.3,则输出的结果为DA.
1.125B.
1.25C.
1.3125D.
1.375【解析】模拟程序的运行,可得a=1,b=2,c=
0.3执行循环体,m=,不满足条件fm=0,满足条件fafm<0,b=
1.5,不满足条件|a-b|<c,m=
1.25,不满足条件fm=0,不满足条件fafm<0,a=
1.25,满足条件|a-b|<c,退出循环,输出的值为
1.
375.故选D.11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a8-13+2018a8-1=1,a2011-13+2018a2011-1=-1,则下列结论正确的是AA.S2018=2018,a2011a8B.S2018=2018,a2011a8C.S2018=-2018,a2011≤a8D.S2018=-2018,a2011≥a8【解析】设fx=x3+2018x,则由f-x=-fx知函数fx是奇函数.由f′x=3x2+20180知函数fx=x3+2018x在R上单调递增.因为a8-13+2018a8-1=1,a2011-13+2018a2011-1=-1,所以fa8-1=1,fa2011-1=-1,得a8-1=-a2011-1,即a8+a2011=2,且a2011a8,所以在等差数列{an}中,S2018=2018·=2018·=
2018.故选A.12.设函数f′x是奇函数fxx∈R的导函数,f-1=0,当x0时,xf′x-fx<0,则使得fx0成立的x的取值范围是A.-∞,-1∪0,1B.-1,0∪1,+∞C.-∞,-1∪-1,0D.0,1∪1,+∞【解析】设gx=x≠0,则g′x=.当x0时,xf′x-fx0,∴g′x0,∴gx在0,+∞上为减函数,且g1=f1=-f-1=
0.∵fx为奇函数,∴gx为偶函数,∴gx的图象的示意图如右图所示.当x0时,由fx0,得gx0,由图知x1,当x0时,由fx0,得gx0,由图知-1x0,∴使得fx0成立的x的取值范围是-1,0∪1,+∞.故答案选B.选择题答题卡题 号123456789101112答 案ABADADDACDAB第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题本题共4小题,每小题5分.13.已知α为锐角,a=,b,且a∥b,则α为__15°或75°__.【解析】因为a∥b,×-cosα×sinα=0sin2α=,故α为15°或75°.14.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A、B满足||=||=·=2,由点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ、μ∈R}所表示的区域的面积是__4__.【解析】由||=||=·=2知,〈,〉=.设=2,0,=1,,=x,y,则解得由|λ|+|μ|≤1,得|x-y|+|2y|≤
2.作出可行域,如右图阴影部分所示.则所求面积S=2××4×=
4.15.在平面直角坐标系xOy中,以点A1,0为圆心且与直线mx-y-2m-1=0m∈R相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__x-12+y2=2__.【解析】直线mx-y-2m-1=0恒过定点P2,-1,当AP与直线mx-y-2m-1=0垂直,即点P2,-1为切点时,圆的半径最大,∴半径最大的圆的半径r==.故所求圆的标准方程为x-12+y2=
2.16.在平面几何里,已知直角△SAB的两边SA,SB互相垂直,且SA=a,SB=b则AB边上的高h=;拓展到空间,如图,三棱锥S-ABC的三条侧棱SB、SB、SC两两相互垂直,且SA=a,SB=b,SC=c,则点S到面ABC的距离h′=____.【解析】把结论类比到空间三棱锥S-ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两相互垂直,SH⊥平面ABC,且SA=a,SB=b,SC=c,则点S到平面ABC的距离h′=.
三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.本小题满分12分在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a+b=cm0.1当m=3时,若B=,求sinA-C的值;2当m=2时,若c=2,求△ABC面积最大值.【解析】1∵a+b=c,∴sinA+sinB=sinC,∴sinA+=sin=,4分化简得sinA+cosA=,∴sin=,∴A+=,即A=,∴C=,∴sinA-C=sin=.6分2∵c=2,∴a+b=2,∴b=2-a,∴S△ABC=absinC≤ab,8分∴S△ABC≤ab=a2-a=-a2+a,10分∴当a=时,-a2+a取最大值1,此时a=b=,c=2满足C=,∴△ABC面积最大值为
1.12分
18.本题满分12分如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E、F分别为线段AD、PC的中点.1求证AP∥平面BEF;2设∠PDA=30°,∠BAD=60°,求直线BF与平面PAC所成的角的大小.【解析】1证明设AC∩BE=O,连接OF、EC.∵E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC,∴AE∥BC,AE=AB=BC,∴四边形ABCE为菱形.2分∴O为AC的中点.3分又F为PC的中点,在△PAC中,可得AP∥OF.4分又OF平面BEF,AP平面BEF.5分∴AP∥平面BEF.6分2由题意知ED∥BC,ED=BC.∴四边形BCDE为平行四边形,∴BE∥CD.又AP⊥平面PCD,∴AP⊥CD,∴AP⊥BE.∵四边形ABCE为菱形,∴BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP、AC平面PAC,∴BE⊥平面PAC.∴直线BF与平面PAC所成的角为∠BFO.8分不妨设AP=2,∵∠PDA=30°,∴AE=AD=2,又∵四边形ABCE为菱形,∠BAD=60°,∴OB=1,∵Rt△BOF中,OF=AP=1,OB=1,∴∠BFO=45°.11分故直线BF与平面PAC所成的角的大小为45°.12分19.本小题满分12分已知数列{an}中,Sn为其前n项和,且a1≠a2,当n∈N+时,恒有Sn=pnanp为常数.1求常数p的值;2当a2=2时,求数列{an}的通项公式;3在2的条件下,设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证Tn.【解析】1当n=1时,a1=S1,∴a1=pa1,p=1或a1=0,当p=1时,Sn=nan则有S2=2a2a1+a2=2a2a1=a2与已知矛盾,∴p≠1,只有a1=
0.2分当n=2时,由S2=2pa2a1+a2=2pa2,∵a1=0又a1≠a2,∴a2≠0,∴p=.4分2∵a2=2,Sn=nan,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,6分n-2an=n-1an-1=,∴=an=2n-
2.8分当n=1时,a1=2×1-2=0也适合,∴an=2n-
2.9分3bn===-.10分当n=1,2时,显然成立,当n≥3时有∴Tn1+++…+=-.12分20.本题满分12分已知椭圆C+=1ab0的左、右焦点分别为F
1、F2,设点F
1、F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形.1求椭圆C的标准方程;2设A、B、P为椭圆C上三点,满足=+,记线段AB中点Q的轨迹为E,若直线l y=x+1与轨迹E交于M、N两点,求|MN|.【解析】1由已知得2c=4,b=2,故c=2,a=
2.∴椭圆C的标准方程为+=
1.4分2设Ax1,y1,Bx2,y2,∵=+,∴=,∴点P坐标为.5分∵点P在椭圆C上,∴+=1,∴eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fx8+\fy4+eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fx8+\fy4+=1,即++=1,即+=
0.6分令线段AB的中点坐标为Qx,y,则7分∵A、B在椭圆C上,∴eq\b\lc\{\a\vs4\al\co1\fx8+\fy4=1,\fx8+\fy4=1,8分eq\fx+x8+eq\fy+y4=2,∴+=
2.∵+=0,∴+=2,即Q点的轨迹E的方程为+=
1.9分联立得3x2+4x-2=
0.设Mx3,y
3、Nx4,y4,则x3+x4=-,x3·x4=-.10分故|MN|=|x3-x4|==.12分第2问也可以用椭圆的参数方程解决,且可参考上述解答酌情给分.21.本题满分12分已知函数fx=ex+e-x,gx=2x+ax3,a为实常数.1求gx的单调区间;2当a=-1时,证明x0∈0,1,使得y=fx和y=gx的图象在x=x0处的切线互相平行.【解析】1g′x=3ax2+2,1分当a≥0时,g′x0故gx的单调增区间为-∞,+∞.3分当a0时,令g′x≥0得-≤x≤,gx的单调增区间为,gx的单调减区间为,.5分2当a=-1时,f′x=ex-e-x,g′x=2-3x2,x0∈0,1,使得y=fx和y=gx的图象在x=x0处的切线互相平行.即x0∈0,1使得f′x0=g′x0,且fx0≠gx0,6分令hx=f′x-g′x=ex-e-x-2+3x2,h0=-20,h1=e--2+30,∴x0∈0,1使得f′x0=g′x
0.7分∵当x∈时g′x0,当x∈,1时g′x0,∴所以gx在区间0,1的最大值为g,g=
2.9分而fx=ex+e-x≥2=2,10分∴x∈0,1时fxgx恒成立,∴fx0≠gx0.从而当a=-1时,x0∈0,1,使得y=fx和y=gx的图象在x=x0处的切线互相平行.12分请考生在第
22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.本小题满分10分选修4-4极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为α为参数,若以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴位极轴建立极坐标系,曲线N的极坐标方程ρsin=tt为参数.1求曲线M和N的直角坐标方程;2若曲线N和曲线M有公共点,求t的取值范围.【解析】1由x=cosα+sinα=2sin得x∈[-2,2],又∵x2=cosα+sinα2=2cos2α+2sinαcosα+1,所以曲线M的普通方程为y=x2-1,x∈[-2,2].由ρsin=t得ρsinθ+ρcosθ=t,即ρsinθ+ρcosθ=t,所以曲线N的直角坐标方程为x+y=t.4分2若曲线M、N有公共点,则当曲线N过点2,3时满足要求,此时t=5,并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点,联立得x2+x-t-1=0,Δ=1+41+t=0t=-.综上所述,t的取值范围是.10分23.本小题满分10分选修4-5不等式选讲已知函数fx=.1解不等式fx4-;2已知m+n=1m,n0,若-fx≤+a0恒成立,求实数a的取值范围.【解析】1不等式fx4-即为4-.当x-时,即-3x-2-x+14-x-;当-≤x≤1时,即3x+2-x+14-≤x;当x1时,即3x+2+x-14无解.综上所述,原不等式的解集为.5分2+=m+n=1+1++≥4,令gx=-fx=-=所以当x=-时,gxmax=+a,要使不等式恒成立,只需gxmax=+a≤40a≤.10分。