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2019届高三数学上学期期末考试试题文含解析II
一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出N中x的范围确定出N,找出M与N的交集即可.【详解】∵M=,N={x|1≤ex≤e}={x|0≤x≤1},∴M∩N=,故选C.【点睛】本题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.已知为虚数单位,若复数是纯虚数,则实数等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析因为,由题意得,解得a=2,故选A考点点评解决本题的关键是掌握纯虚数的定义
3.方程的根的个数是()A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析方程的根转化为函数的交点个数,通过函数图像可知有两个交点,即方程有两个根考点函数性质及函数与方程的转化
4.等差数列的前项和为,若,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知结合等差数列的前n项和求得,再由等差数列的性质得答案.【详解】在等差数列{an}中,由,得,即=4.又=2,∴,∴=2,故选A.【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n项和,是基础题.
5.已知向量,,若,则( )A.B.C.D.【答案】B【解析】∵,∴.∴,即,∴.故选B.【考点定位】向量的坐标运算【此处有视频,请去附件查看】
6.将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图像,则函数的图像的一个对称中心是()A.B.C.D.【答案】D【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象,则,由题可得当时,.即函数的图象的一个对称中心是故选D
7.若如图的程序框图输出的是,则
①应为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由于所以退出循环体时,n的值为7因而应填条件为.
8.已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为的等腰直角三角形,该几何体的顶点都在同一球面上,则此球的表面积为()A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析有三视图可知,几何体是以直角边为的等腰直角三角形为底面、高为的三棱锥,它的外接球与棱长为的正方体的外接球相同,外接球直径表面积为,故选B.考点
1、几何体的三视图;
2、球的表面积公式.
9.设为抛物线的焦点,曲线与交于点,轴,则A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析由抛物线的性质可得,故选D.考点
1、直线与抛物线;
2、抛物线的几何性质;
3、反比例函数.【此处有视频,请去附件查看】
10.设函数,若,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析当时;当时.综上实数的范围为.故选B.考点对数的性质;分类讨论思想.【易错点睛】本题主要考查了对数的性质;分类讨论思想;分段函数等知识.比较对数的大小的方法
(1)若底数相同,真数不同,则可构造相关的对数函数,利用其单调性比较大小.
(2)若真数相同,底数不同,则可借助函数在直线右侧“底大图低”的特点比较大小或利用换底公式统一底数.
(3)若底数、真数均不同,则经常借助中间量“”、“”或“”比较大小.
11.若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有性质.下列函数中具有性质的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析选项A中,令具有性质,故选A.考点导数及其性质.【此处有视频,请去附件查看】
12.已知函数,则函数满足()A.最小正周期为B.图像关于点对称C.在区间上为减函数D.图像关于直线对称【答案】D【解析】∵函数f(x)=cos(x+)sinx=(cosx﹣sinx)•sinx=sin2x﹣•=(sin2x+cos2x)﹣=sin(2x+)+,故它的最小正周期为,故A不正确;令x=,求得f(x)=+=,为函数f(x)的最大值,故函数f(x)的图象关于直线x=对称,且f(x)的图象不关于点(,)对称,故B不正确、D正确;在区间(0,)上,2x+∈(,),f(x)=sin(2x+)+为增函数,故C不正确,故选D.
二、填空题.
13.已知实数满足约束条件,则的最小值是().【答案】【解析】试题分析如图所示当在时取最小值此时.考点简单的线性规划.
14.设是等差数列的前项和,若,,则公差().【答案】【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件,解得结果.【详解】由题意可知,,即,又,两式相减得,.【点睛】本题考查等差数列和项的性质,考查基本分析求解能力,属基础题.
15.在中,若,,,则__________.【答案】【解析】在中,若,,∴A为锐角,,,则根据正弦定理=
16.已知函数是定义在上的周期为的奇函数,当时,,则().【答案】【解析】【分析】根据f(x)是周期为4的奇函数即可得到f()=f(﹣8)=f()=﹣f(),利用当0<x<2时,f(x)=4x,求出f(),再求出f
(2),即可求得答案.【详解】∵f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,∴f()=f(﹣8)=f()=﹣f()∵x∈(0,2)时,f(x)=4x,∴f()=﹣2,∵f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,∴f(-2)=f(﹣2+4)=f
(2),同时f(﹣2)=﹣f
(2),∴f
(2)=0,∴f()+f
(2)=﹣2.故答案为﹣2【点睛】考查周期函数的定义,奇函数的定义,关键是将自变量的值转化到函数解析式f(x)所在区间上,属于中档题.三解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知正项等比数列,其前n项和为满足,,
(1)求;
(2)令,数列的前n项和为,求.【答案】
(1)
(2)【解析】【分析】
(1)设公比为q(q0),由已知可得解得q=3,,可得.2,再在每一段中求和,可得结果.【详解】
(1)设公比为q(q0)由已知可得解得q=3,q=-1(舍),解得,2,所以当时,;当时,综上可知.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前n项和的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
18.某中学对高三年级的学生进行体质测试,已知高
三、一班共有学生30人,测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下(单位) 男 女 71657899981718452935618027541241901185202122男生成绩不低于的定义为“合格”,成绩低于的定义为“不合格”;女生成绩不低于的定义为“合格”,成绩低于的定义为“不合格”.1求女生立定跳远成绩的中位数;2若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样,抽取6个人,求抽取成绩“合格”的男生人数;3若从2问所抽取的6人中任选2人,求这2人中恰有1人成绩“合格”的概率.【答案】
(1)
166.5cm
(2)4人
(3)【解析】【分析】
(1)由茎叶图能求出女生立定跳远成绩的中位数.
(2)男生成绩“合格”的有8人,“不合格”的有4人,用分层抽样的方法,能求出其中成绩“合格”的学生应抽取的人数.
(3)由
(2)可知6人中,4人合格,2人不合格,设合格学生为A,B,C,D,不合格学生为利用列举法能求出这2人中恰有1人成绩“合格”的概率.【详解】1女生立定跳远成绩的中位数cm.2男生中成绩“合格”和“不合格”人数比为,用分层抽样的方法抽取6个人,则抽取成绩“合格”人数为4人;
(3)由2设成绩“合格”的4人为A,B,C,D,成绩“不合格”的2人为从中选出2人有(AB),(AC),(AD),(A),(A),(BC),(BD),(B),(B),(CD),(C),(C),(D),(D),(),共15种,其中恰有1人成绩“合格”的有(A),(A),(B),(B),(C),(C),(D),(D),共8种,故所求事件概率为.【点睛】本题考查中位数、概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意茎叶图、分层抽样、等可能事件概率计算公式的合理运用.
19.已知椭圆C的右焦点F2和上顶点B在直线上,过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求面积的最小值.【答案】
(1)
(2)【解析】【分析】
(1)由已知可得椭圆的右焦点为F2(1,0),上顶点为B,故c=1,b=,可求椭圆标准方程.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线的方程为,与椭圆方程联立得,利用韦达定理得到,又,求得的最小值,即可得的最小值.【详解】
(1)椭圆C的右焦点F2和上顶点B在直线上,椭圆的右焦点为F2(1,0),上顶点为B,故c=1,b=,a2=b2+c2=4,∴所求椭圆标准方程为.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线的方程为联立得,,=,,令,函数在上为增函数,故当即时,,此时三角形的面积取得最小值为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的表示方法及最值的求法,解题时要认真运算,属于中档题.
20.四棱锥中,平面,底面为直角梯形,,,,M为PA上一点,且,
(1)证明PC//平面MBD;
(2)若,四棱锥的体积为,求直线AB与平面MBD所成角的正弦值.【答案】1见证明;2【解析】【分析】
(1)连结AC交BD于N点,连结MN,可证,从而可证得.
(2)不妨设,根据四棱锥的体积为,解得;利用等体积法,设点到平面的距离为,解得,可得结果.【详解】
(1)连结AC交BD于N点,连结MN,则∽又,,,,
(2)不妨设,因为PA=AD=3,四棱锥的体积为,所以,解得;设点到平面的距离为,利用体积相等,在中,利用余弦定理可求得所以,代入中得,解得,又因为所以直线AB与平面MBD所成角的正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明,考查直线与平面所成角的求法及三棱锥体积的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
21.已知函数的图象与直线相切,
(1)求b的值;
(2)当时,恒成立,求实数a的取值范围.【答案】
(1)b=1
(2)【解析】【分析】
(1)先求出函数的导函数,利用,得到切点坐标,代入求b的值;
(2)由,设(x>0),利用导函数求出g(x)在x∈[,e]上的最大值即可求实数a的取值范围.【详解】
(1),在上为增函数,且切点的坐标为,将代入得1+b=2,b=12由,令,,时,gx为减函数,时,gx为增函数,,显然.【点睛】本题主要研究利用导数求切线方程以及函数恒成立问题.当a≥g(x)恒成立时,只需要求g(x)的最大值;当a≤h(x)恒成立时,只需要求g(x)的最小值,这种转化是解题的关键.
22.[选修4-4坐标系与参数方程]在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数);以原点极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.⑴求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;⑵试判断曲线与是否存在两个交点,若存在求出两交点间的距离;若不存在,说明理由.【答案】1曲线,曲线;
2.【解析】试题分析1根据参数方程与普通方程的关系,对于曲线消去参数可得,再根据极坐标方程与直角坐标方程的关系,对于曲线可转化为;2根据题意显然曲线为直线,则其参数方程可写为(为参数)与曲线联立,可知,所以与存在两个交点,由,,得.试题解析1对于曲线有,对于曲线有.5分2显然曲线为直线,则其参数方程可写为(为参数)与曲线联立,可知,所以与存在两个交点,由,,得.10分考点
1.极坐标方程与平面直角坐标方程的互化;
2.利用直线的参数方程的几何意义求解
23.[选修4-5不等式选讲]设函数,.⑴当时,求不等式的解集;⑵对任意恒有,求实数的取值范围.【答案】1;2【解析】试题分析(Ⅰ)根据找零点法去绝对值将函数改写为分段函数根据函数的单调性结合数形结合可求得不等式的解集.(Ⅱ)根据公式可求得函数的最小值使其最小值大于等于3即可求得的取值范围.试题解析(Ⅰ)当时,所以的解集为或2由恒成立,有,解得.所以的取值范围是.考点绝对值不等式.。