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2019届高三数学上学期第一次调研考试试题文
一、单选题(每小题5分,共60分)
1.设全集为,集合,,则(C)A.B.C.D.
2.若复数满足,则复数为(D)A.B.C.D.
3.函数的单调递减区间是(A)A.B.C.D.
4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为(B)A.15B.37C.83D.
1775.已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是(B)A.B.C.D.
6.已知、是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且,若的面积为9,则的值为(C)A.1B.2C.3D.
47.在公比为的正项等比数列中,,则当取得最小值时,(A)A.B.C.D.
8.某几何体的三视图如图所示(单位),则该几何体的体积(单位)是(C)A.2B.4C.6D.
89.已知,,,则(B)A.B.C.D.
10.若函数在处有极大值,则常数为(C)A.2或6B.2C.6D.-2或-
611.在中,,,则角(D)A.B.C.或D.
12.设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是(D)A.B.C.D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知函数,若,则.
114.已知函数,,是函数图象上相邻的最高点和最低点,若,则.
115.已知实数mn满足,则直线必过定点
16.如图,在平面四边形中,,,,.若点为边上的动点,则的最小值为.
三、解答题(17-21题每小题12分,22题10分,共70分)
17.设为数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
17.【解】
(1)由,可知,两式相减得,即,∵,∴,∵,∴(舍)或,则是首项为3,公差的等差数列,∴的通项公式;
(2)∵,∴,∴数列的前项和.
18.如图,四棱锥中,底面为菱形,,,点为的中点.
(1)证明;
(2)若点为线段的中点,平面平面,求点到平面的距离.(文科做)
(3)若点为线段的中点,求二面角M-CN-D的余弦值(理科做)
18.【解】
(1)连接,因为,,所以为正三角形,又点为的中点,所以.又因为,为的中点,所以.又,所以平面,又平面,所以.
(2)由
(1)知.又平面平面,交线为,所以平面,由.,,,由等体积法知得.
(3)
19.十九大报告提出坚决打赢脱贫攻坚战,做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚,并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售,现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,其质量分布在区间内(单位克),统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示
(1)按分层抽样的方法从质量落在,的蜜柚中随机抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽2个,求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率;
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售,某电商提出两种收购方案.所有蜜柚均以40元/千克收购;.低于2250克的蜜柚以60元/个收购,高于或等于2250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
19.【解】
(1)由题得蜜柚质量在和的比例为,∴分别抽取2个和3个.记抽取质量在的蜜柚为,,质量在的蜜柚为,,,则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下10种,,,,,,,,,,其中质量小于2000克的仅有这1种情况,故所求概率为.
(2)方案好,理由如下由频率分布直方图可知,蜜柚质量在的频率为,同理,蜜柚质量在,,,,的频率依次为
0.1,
0.15,
0.4,
0.2,
0.05,若按方案收购根据题意各段蜜柚个数依次为500,500,750,xx,1000,250,于是总收益为(元),若按方案收购∵蜜柚质量低于2250克的个数为,蜜柚质量低于2250克的个数为,∴收益为元,∴方案的收益比方案的收益高,应该选择方案.
20.已知椭圆离心率为为椭圆上一点.
(1)求的方程;
(2)已知斜率为,不过点的动直线交椭圆于两点.证明直线的斜率和为定值.解:
(1)由题知解得.即所求的方程为
(2).联立方程组得.所以所以.即因为故.
21.已知函数(为常数).
(1)当时,求的单调区间;
(2)若函数,的图象与轴无交点,求实数的最小值.
21.【解】
(1)时,,,由得;得.故的减区间为,增区间为.
(2)因为时,,同时,因此时,,故要使函数图象与轴在上无交点,只有对任意的,成立,即时,.令,,则,再令,,,于是在上为减函数,故,∴在上恒成立,∴在上为增函数,∴在上恒成立,又,故要使恒成立,只要,所以实数的最小值为.请考生在
22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4坐标系与参数方程直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点,,若点的坐标为,求的最小值.
22.【解】
(1)由,得,化为直角坐标方程为,即.
(2)将的参数方程带入圆的直角坐标方程,得,因为,可设,是上述方程的两根,所以,,又因为为直线所过定点,∴.所以的最小值为.
23.选修4-5不等式选讲已知函数.I求的最小值;II若均为正实数,且满足求证:.【答案】
1.2证明见解析.【解析】试题分析
(1)利用零点分段法去绝对值,将写成分段函数的形式,由此求得最小值.
(2)由
(1)得,原不等式左边加上,然后分成三组,对这三组分别利用基本不等式求得最小值,相加后可证得原不等式成立.试题解析
(1)因为函数,所以当时,;当时,;当时,,综上,的最小值.
(2)据1求解知,所以,又因为,所以,即,当且仅当时,取“=”所以,即.
23.已知函数.文科做)
(1)求不等式的解集;
(2)若关于的不等式的解集不是空集,求实数的取值范围.【答案】1;
2.【解析】试题分析
(1)由已知得,分成三段解不等式即可;
(2)不等式的解集非空等价于,利用绝对值三角不等式易得,即可求得的取值范围.试题解析
(1),
①当时,;
②当时,,;综上
①②,不等式解集为.
(2)因为,所以若关于的不等式的解集非空,则,即的取值范围是.。