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2019届高三数学上学期第七次阶段检测试题理
一、选择题(共12小题;共60分)
1.已知是实数集,,,则等于 A.B.C.D.
2.已知复数满足(为虚数单位),则A.B.C.D.
3.设,是实数,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知,,则A.B.C.D.
5.若向量,满足,则在方向上投影的最大值是A.B.C.D.
6.已知函数数列满足,且是单调递增数列,则实数的取值范围是A.B.C.D.
7.设为所在平面内一点,,则 A.B.C.D.
8.设数列满足,,且,则的值是A.B.C.D.
9.若函数满足在定义域内存在实数,使得成立,则称函数为“的饱和函数”.给出下列四个函数
①;
②;
③;
④.其中是“的饱和函数”的所有函数的序号为A.
①③B.
②④C.
①②D.
③④
10.已知函数,下列结论中错误的是 A.的图象关于点中心对称B.的图象关于对称C.的最大值为D.既是奇函数,又是周期函数
11.已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称,且当时,成立(是函数的导函数),若,,,则,,的大小关系是A.B.C.D.
12.已知函数(,,为常数),当时取得极大值,当时取得极小值,则的取值范围是A.B.C.D.
二、填空题(共4小题;共20分)
13.设曲线在点处的切线方程为,则 .
14.在中,已知,给出下列结论
①由已知条件,这个三角形被唯一确定;
②一定是钝角三角形;
③;
④若,则的面积是.其中正确结论的序号是 .
15.设数列的前项和为,令,称为数列,,,的理想数,已知数列,,,的理想数为,那么数列,,,…,的理想数为
16.已知,若函数有三个不同的零点,,,则的取值范围是 .
三、解答题(共6小题;共70分)
17.数列满足,,.
(1)设,证明是等差数列;
(2)求数列的通项公式.
18.如图所示,在四边形中,,且,,.
(1)求的面积;
(2)若,求的长.
19.已知二次函数满足条件,,且方程有相等的实数根.
(1)求函数的解析式;
(2)是否存实数,,使得的定义域和值域分别为和如果存在,求出,的值;如果不存在,请说明理由.
20.的内角,,所对的边分别为,,,且,.
(1)求的面积;
(2)若,求边上的中线的长.
21.若数列满足,,,为数列的前项和.
(1)当,时,求,,的值;
(2)是否存在实数,,使得数列为等比数列若存在,求出,满足的条件;若不存在,说明理由.
22.已知函数,.
(1)求证;
(2)设,若时,,求实数的取值范围.第一部分
1.B【解析】,,故.
2.A【解析】由题意可得,故.
3.D【解析】,是实数,如果,则“”,则“”不成立.如果,,,但是不成立,所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
4.A【解析】;,两式相加得,已知,代入上式可得,则可知,所以,所以.
5.B
6.A
7.A【解析】,,因为,所以,整理得.
8.D【解析】令,则由,得,所以数列构成以为首项,以为公差的等差数列,则,即,所以,则.
9.B【解析】对于
①,若存在实数,满足,则,所以,(,且),该方程无实根,因此
①不是“的饱和函数”;对于
②,若存在实数,满足,则,解得,因此
②是“的饱和函数”;对于
③,若存在实数,满足,则,化简得,该方程无实根,因此
③不是“的饱和函数”;对于
④,注意到,,即,因此是“的饱和函数”;综上可知,其中是“的饱和函数”的所有函数的序号是
②④.
10.C【解析】A项,因为所以的图象关于点中心对称,故正确.B项,因为所以的图象关于直线对称,故正确.C项,令,则,的最大值问题转化为求在上的最大值.令,得或,经计算比较得最大值为,故错误.D项,由知其为奇函数;对于任意的,都有,所以是以为周期的周期函数,故正确.
11.D【解析】定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称,可知函数是偶函数,所以是奇函数,又因为当时,成立(是函数的导函数),所以函数在上既是奇函数又是减函数;,,.所以.
12.D第二部分
13.
14.
②③【解析】由,可设,,(),即边长不确定,
①不正确.,
②正确.,
③正确.,,若,不妨设,,,则.
④不正确.
15.【解析】根据题意得,所以.所以,,,,的理想数为
16.【解析】函数,图象如图,函数有三个不同的零点,,,且,即方程有三个不同的实数根,,,且,当时,,因为,所以,当且仅当时取得最大值.当时,,,此时,由,可得,所以,,所以,所以,因为,所以的取值范围是.第三部分
17.
(1)由得即又所以是首项为,公差为的等差数列.
(2)由
(1)得即于是所以的通项公式为
18.
(1)因为,,所以.因为,所以.因为,,所以的面积.
(2)在中,.所以.因为,,所以.所以.
19.
(1)设,因为,所以,即.因为,所以函数的对称轴方程为,即.又方程有相等的实数根,所以在方程,即中,,解得.所以,所以.
(2)假设存在实数,,使得的定义域和值域分别为和.因为,所以,解得,故在上为增函数,所以又,所以所以存在实数,,满足题意.
20.
(1)已知等式,利用正弦定理化简得,整理得,因为,所以,则.又因为,所以,所以解得,所以.
(2)因为由,可得,解得,又因为由()可得,所以解得,,又因为所以所以,即边上的中线的长为.
21.
(1)因为,,当,时,,所以
(2)因为,所以,所以即所以,若数列为等比数列,则公比,所以,又故.所以当,时,数列为等比数列.
22.
(1)令,则,所以时,时,所以,即.
(2),.因为,所以在上递增.
①当时,,又,则存在,使得.所以在上递减,在上递增,又,所以不恒成立,不合题意.
②当时,因为,所以在上恒成立,即在上为增函数,所以恒成立,符合题意.综合
①②可知,所求实数的取值范围是.。