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2019届高三数学上学期第三次月考试题文含解析I
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,,则A.B.C.D.【答案】A【解析】故选A
2.若向量、满足,,,则与的夹角为A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知故选C
3.已知,幂函数在上单调递减,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】等价于,∵幂函数在上单调递减,且,解得,∴是的的必要不充分条件,故选B
4.已知等差数列的前项和为,若,则A.6B.11C.33D.48【答案】B【解析】由,得,即,故选B.
6.已知函数的图像与轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列,把函数的图像沿轴向右平移个单位,得到函数的图像,则下列叙述不正确的是A.的图像关于点对称B.的图像关于直线对称C.在上是增函数D.是奇函数【答案】C【解析】由已知由题意可知,,则的图象关于点对称,故A正确;的图象关于直线对称,故B正确;由得可知在上是减函数,故C错误;由,可得是奇函数,故D正确.故选C.
7.函数的大致图像是A.B.C.D.【答案】B【解析】函数的定义域为,又函数有两个零点,排除选项A,又,可知函数由两个极值点,排除C,D;故选B.
8.在中,为边上一点,是的平分线,且,,则A.B.1C.D.2【答案】C【解析】如图所示,中,由平面向量的基本定理得,解得又是的平分线,故选C.
9.已知,角的对边分别为,,,,则的面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】由,化简可得,得,即由正弦定理可得的面积故选D.
10.在中,分别为角对边的长,若,则A.B.C.D.【答案】A【解析】解:,
11.奇函数定义域为,其导函数是,当时,有,则关于的不等式的解集为A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意,可构造函数其导数当时,有,其导数在上为增函数,又由为奇函数,即,则,即函数为偶函数,当时,,不等式又由函数为偶函数且在上激增,则解得此时的取值范围为;当时,,不等式同理解得此时的取值范围为;综合可得不等式的解集为故选D.【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系,解题的关键是根据题意构造新函数,并利用导数分析的单调性.
12.已知数列的前项和为,定义为数列前项的叠加和,若xx项数列的叠加和为xx,则xx项数列的叠加和为A.xxB.xxC.D.【答案】A【解析】由则.则xx项数列的叠加和故选A.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.函数的定义域是__________.【答案】【解析】由知,,又因为,所以解得,函数的定义域为即答案为
14.已知奇函数对于任意实数满足条件,若,则__________.【答案】3【解析】根据题意,函数满足条件,则,即函数为周期为4的函数,又由函数为奇函数,则,则;故答案为3.【点睛】本题考查抽象函数的求值,涉及函数的周期性与奇偶性,解题的关键是根据条件求出函数的周期.
15.__________.【答案】【解析】故答案为
16.在中,,,与的交点为,过作动直线分别交线段、于两点,若,,,则的最小值为__________.【答案】【解析】由三点共线可得存在实数,使得同理由三点共线可得存在实数,使得,解得,设,可得
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列的前项和为,且.Ⅰ求数列的通项公式;Ⅱ设,求数列的前项和.【答案】Ⅰ;Ⅱ.【解析】试题分析
(1)首先当时,,然后当时,,在验证当代入仍然适合;
(2),再由列相消法求得.试题解析
(1)当时,,当时,将代入上式验证显然然适合,
(2)
18.已知向量,,记函数.Ⅰ求函数的最大值及取得最大值时的取值集合;Ⅱ求函数在区间上的单调递减区间.【答案】Ⅰ最大值为,取得最大值时的集合为.Ⅱ和.【解析】试题分析Ⅰ由题意,化简得,即可求解函数的最值,及其相应的的值.Ⅱ由题意:根据三角函数的图象与性质,即可求解在的单调递减区间.试题解析1由,,当,即时,取得最大值.此时,最大值.且取得最大值时的集合为.2由题意:,即,.于是,在的单调递减区间是和.
19.已知函数.Ⅰ若函数的图像在处的切线方程为,求的值;Ⅱ若函数在上是增函数,求实数的最小值.【答案】Ⅰ,;Ⅱ.【解析】试题分析
(1),,.根据函数f(x)的图象在处的切线方程为,可得,,.联立解.
(2)由函数在上是增函数,可得在上恒成立,,令,利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.试题解析Ⅰ∵,∴,当时,,,解得Ⅱ由题意知恒成立,∴,设,,当,;当,∴,∴,所以的最小值是.
20.已知中,角所对的边分别为,.Ⅰ若,求角的大小;Ⅱ若为三个相邻的正偶数,且,求的面积.【答案】Ⅰ;Ⅱ.【解析】试题分析
(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出C的值.
(2)利用正弦定理和余弦定理求出边长,进一步求出三角形的面积试题解析Ⅰ∵,∴由正弦定理有,又,即,于是,在中,,于是,.Ⅱ∵,故,且为三个连续相邻的正偶数,故可设,其中为偶数,由,得,∴.由余弦定理得:,代入可得,解得,∴故,故,故的面积为.
21.设正项数列的前项和为,且满足,,,各项均为正数的等比数列满足.Ⅰ求数列和的通项公式;Ⅱ若,数列的前项和为.若对任意,,均有恒成立,求实数的取值范围.【答案】Ⅰ,;Ⅱ.【解析】试题分析
(1),可得时,,两式相减得,根据数列的各项均为正数,可得,根据,解得.利用等差数列的通项公式即可得出.进而利用等比数列的通项公式可得.
(2)由
(1)可知.利用错位相减法可得.可知若对任意均有恒成立,等价于恒成立,即恒成立,利用数列单调性即可得出.试题解析Ⅰ,,∴,∴且各项为正,∴又,所以,再由得,所以∴是首项为1,公差为3的等差数列,∴∴.Ⅱ∴恒成立∴,即恒成立.设,当时,;时,∴,∴.【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、等价转化方法、不等式的性质,对学生推理能力与计算能力有较高要求.
22.设函数.Ⅰ讨论的单调性;Ⅱ当时,恒成立,求实数的取值范围.【答案】Ⅰ答案见解析;Ⅱ.【解析】试题分析Ⅰ由定义域为,求得,分,两种情况讨论,即可得出函数的单调性;Ⅱ由Ⅰ可知得到,则恒成立,转化为函数,得出,令令,利用导数得出的单调性和最值,即可求解实数的取值范围.试题解析1由定义域为,,当时,,在单调增.当时,,;在单调增,在单调减.综上所述:当时,在单调增;当时,在单调增,在单调减.2由Ⅰ可知,,则恒成立.令,显然,再令,,当,当.在单调减,单调增.,,∴,在单调增,,∴.。