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2019届高三数学上学期第二次月试题理
一、选择题(共8小题;共40分)
1.已知全集,集合,,图中阴影部分所表示的集合为A.B.C.D.
2.设变量,满足约束条件则的最小值是A.B.C.D.
3.若按右图算法流程图运行后,输出的结果是,则输入的的值可以是A.B.C.D.
4.设,则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知,,,是奇函数,直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则()A.在上单调递减B.在上单调递减C.在上单调递增D.在上单调递增
6.已知为定义在上的函数,若对任意两个不相等的正数,,都有,记,,,则A.B.C.D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为,,为坐标原点,是双曲线在第一象限上的点,,直线交双曲线于另一点,若,且,则双曲线的离心率为A.B.C.D.
8.已知函数,若方程有四个不同的解,,,,且,则的取值范围是A.B.C.D.
二、填空题(共6小题;共30分)
9.若复数满足,其中为虚数单位,为复数的共轭复数,则复数的模为 .
10.一个四棱锥的底面是平行四边形,三视图如图,则体积为
11.曲线与直线,所围成的区域的面积为 .
12.设等差数列,的前项和分别为,若对任意自然数都有,则的值为 .
13.如图,在中,若,,,则的值为 .
14.已知函数,其中.若存在实数,使得关于的方程有三个不同的根,则的取值范围是 .
三、解答题(共6小题;共80分)
15.已知函数的周期为,且过点.
(1)求函数的表达式;
(2)求函数在区间上的值域.
16.如图四棱锥底面为一直角梯形,,,,,是中点.
(1)求证平面;
(2)求证.
17.设数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
18.如图,正方形的中心为,四边形为矩形,,点为的中点,.
(1)求证;
(2)求二面角的正弦值;
(3)设为线段上的点,且,求直线和平面所成角的正弦值.
19.设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为.已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(2)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于),直线与轴相交于点.若的面积为,求直线的方程.
20.已知函数,.(Ⅰ)求函数在区间
[12]上的最大值;(Ⅱ)设在02内恰有两个极值点,求实数m的取值范围;(Ⅲ)设,方程在区间[1e]有解,求实数m的取值范围.答案第一部分
1.A
2.B
3.B【解析】,;,;,;,;,此时需终止循环.故.
4.A
5.A【解析】由,可知,因为且,可得,,即,所以,;,代入.所以或,,所以.
6.C【解析】因为是定义在上的函数,对任意两个不相等的正数,,都有,所以函数是上的减函数,因为,,,所以,所以.
7.B【解析】由题意,,由双曲线的定义可得,,可得,,由四边形为平行四边形,又,可得,在三角形中,由余弦定理可得,即有,即,可得,即.
8.D【解析】提示由已知可得,,,为关于的函数在上为增函数,第二部分
9.
10.该四棱锥的高为,底面边长为,高为的平行四边形,所以四棱锥的体积为.
11.
12.【解析】由等差数列的性质和求和公式可得
13.【解析】方法一由余弦定理得,,所以,所以,所以.方法二如图,以所在直线为轴、线段的中垂线为轴,建立平面直角坐标系,由方法一知,,,,所以,,所以.
14.【解析】由题意方程有三个不同的根,即直线与函数的图象有三个不同的交点.作出函数的图象,如图所示.若存在实数,使方程有三个不同的根,则,即.又因为,所以,即的取值范围为.第三部分
15.
(1)因为,所以,又过点,所以,解得,因为,,所以函数的表达式为.
(2)因为,所以,所以,所以,因此函数在区间上的值域为.
16.
(1)因为,所以,又因为,,,,所以,因为,所以平面.
(2)取的中点为,连接,因为为的中点,所以为的中位线,所以,,又因为,,所以,并且,所以四边形为平行四边形,所以,因为,所以.
17.
(1)由已知,当时,因为,即关系式也成立,所以数列的通项公式.
(2)由,得,而,两式相减,可得,,所以.
18.
(1)取中点,连接,,因为矩形,所以且,因为,是中点,所以是的中位线,所以且.因为是正方形中心,所以,所以且,所以四边形是平行四边形,所以.因为,,所以.
(2)如图所示建立空间直角坐标系,,,,,设面的法向量,得所以.因为面,所以面的法向量,,,二面角的正弦值为.
(3)因为,所以,因为,所以.设直线和平面所成角为,.所以直线和平面所成角的正弦值为.
19.
(1)设的坐标为,依题意可得解得,,,于是.所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为.
(2)直线的方程为,设直线的方程为,联立方程组解得点,故.联立方程组消去,整理得,解得,或.所以,所以直线的方程为,令,解得,故,所以,又因为的面积为,所以,整理得,解得,所以,所以直线的方程为,或.
20.(Ⅰ),由,可知在内单调递增,…………2分,故单调递增.…………3分在上的最大值为.…………4分(Ⅱ),,由题意知在有两个变号零点,即在有两个变号零点..…………6分令,,令,且时,,单调递增;时,,单调递减,..…………10分又,..…………8分(Ⅲ)(ⅰ)时不成立;(ⅱ)时,设,,在在上为单调递减;当时,时…………12分。