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2019届高三数学上学期第四次月考试题理I
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1、已知函数的定义域为集合,集合,则为()A.B.C.D.
2、,当复数Z=的模长最小时,的虚部为A.B.C.D.
3、已知则等于()A.B.C.D.
4、小正方形按照下图中的规律排列,每个图形中的小正方形的个数构成数列,有以下结论:
①;
②是一个等差数列;
③数列是一个等比数列;
④数列的递推公式其中正确的是()A.
①②④B.
①③④C.
①②D.
①④
5、已知函数若要得到一个奇函数的图象,则可以将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
6、已知满足不等式组则的最小值为()
7、已知,猜想的表达式为().A.B.C.D.
8、如果函数的图像与轴交与点,过点的直线交的图像于两点,则()
9、如图,与都是等腰直角三角形,且.平面,如果以平面为水平平面,正视图的观察方向与垂直,则三棱锥的三视图的面积和为()A.4+ B.4+2 C.4+2 D.4+
10、若且则的最小值为A.-1B.+1C.2+2D.2-
211、若数列,的通项公式分别为,,且,对任意恒成立,则实数的取值范围是A.B.C.D.
12、把函数的图象向右平移一个单位,所得图象与函数的图象关于直线对称;已知偶函数满足,当时,;若函数有五个零点,则的取值范围是()A.B.C.D.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卷上
13、由曲线及直线围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得几何体体积为.
14、已知命题“,使”是假命题,则实数的取值范围是.
15、长方形中,将沿折起,使二面角大小为,则四面体的外接球的表面积为________
16、已知中,角所对的边分别是且,有以下四个命题
①的面积的最大值为40;
②满足条件的不可能是直角三角形;
③当时,的周长为15;
④当时,若为的内心,则的面积为.其中正确命题有__________(填写出所有正确命题的序号).
三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤
17、(本小题满分10分)已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
18、(本小题满分12分)已知的内角的对边分别为,若向量,且.
(1)求角的值;
(2)已知的外接圆半径为,求周长的取值范围.
19、(本小题满分12分)如图,在三棱柱中,已知侧面,,,,点在棱上.(Ⅰ)求证平面;(Ⅱ)试确定点的位置,使得二面角的余弦值为.
20、(本小题满分12分)已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)若函数的图像与直线没有交点,求的取值范围;
(3)若函数,,是否存在实数,使得最小值为0,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
21、(本小题满分12分)已知是椭圆C上两点,点的坐标为.⑴当两点关于轴对称,且为等边三角形时,求的长;⑵当两点不关于轴对称时,证明不可能为等边三角形.
22、(本小题满分12分)已知函数,.(Ⅰ)当时,比较与的大小(注);(Ⅱ)设,若函数在上的最小值为,求的值.数学(理科)答案
一、选择题题号123456789101112答案BAADCBBDADCC
二、填空题13;14;15;16
③④
16、
③④【解析】
①由题,,由余弦定理得当且仅当即取等号,此时.的面积的最大值为24;不正确
②由题,假设是直角三角形,则解得故可能是直角三角形;
②不正确
③当时,有正弦定理,结合由余弦定理可得,的周长为15;正确;
④当时,若为的内心,则设的内接圆半径为由可得故则即的面积为.正确故答案为
③④.
三、解答题
17、
(1)当时,,得当时,有,所以即,满足时,,所以是公比为2,首项为1的等比数列,故通项公式为.
(2),.
18、解
(1)由,得.由正弦定理,得,即.在中,由,得.又,所以.
(2)根据题意,得.由余弦定理,得,即,整理得,当且仅当时,取等号,所以的最大值为
4.又,所以,所以.所以的周长的取值范围为.
19、(Ⅰ)证明∵BC=,CC1=BB1=2,∠BCC1=,在△BCC1中,由余弦定理,可求得C1B=,∴C1B2+BC2=,即C1B⊥BC.又AB⊥侧面BCC1B1,故AB⊥BC1,又CB∩AB=B,所以C1B⊥平面ABC;(Ⅱ)解由(Ⅰ)知,BC、BA、BC1两两垂直,以B为空间坐标系的原点,建立如图所示的坐标系,则B(0,0,0),A(0,2,0),C(,0,0),C1(0,0,),B1(﹣,0,),∴=(0,2,﹣),设,则=+λ=(0,0,﹣)+λ(﹣,0,)=(﹣λ,0,﹣+λ)设平面AC1E的一个法向量为=(x,y,z),由,得,令z=,取=(,1,),又平面C1EC的一个法向量为=(0,1,0)所以cos<,>===,解得λ=.所以当λ=时,二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为.
20、解
(1)∵,即对于任意恒成立.∴∴∴
(2)由题意知方程即方程无解.令,则函数的图象与直线无交点.∵任取,且,则,∴∴,∴在上是单调减函数.∵,∴∴的取值范围是
(3)由题意,令,∵开口向上,对称轴,当,即,当,即,(舍去)当,即,(舍去)∴存在得最小值为
0.21.解⑴设A(x0,y0),B(x0,-y0),因为△MAB为等边三角形,所以|y0|=|x0-1|,又点A(x0,y0)在椭圆上,所以,消去y0,得3x-2x0-8=0,解得x0=2或x0=-,当x0=2时,|AB|=;当x0=-时,|AB|=.⑵根据题意可知,直线AB斜率存在.设直线AB y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为N(x0,y0),联立,消去y得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-9=0,由△>0得2m2-9k2-6<0,
①所以x1+x2=-y1+y2=k(x1+x2)+2m=所以N(-,),又M(1,0),假设△MAB为等边三角形,则有MN⊥AB,所以kMN×k=-1,即×k=-1,化简得3k2+2+km=0,
②由
②得m=-,代入
①得2-3(3k2+2)<0,化简得3k2+4<0,矛盾,所以原假设不成立,故△MAB不可能为等边三角形.
22、解
(1),构造函数,,当时,,∴在上单调递减.∴,故当时,,即,即.
(2)由题可得,则,由得到,设,.当时,;当时,.从而在上递减,在上递增.∴.当时,,即(或,设,证明亦可得到).在上,,,递减;在上,,,递增.∴,∴,解得.。