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单元检测五 平面向量与复数提升卷考生注意1.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,共4页.2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.3.本次考试时间100分钟,满分130分.4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.第Ⅰ卷选择题 共60分
一、选择题本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.若复数z满足iz=3+4i,则|z|等于 A.1B.2C.D.5答案 D解析 因为z==-3+4ii=4-3i,所以|z|==
5.2.若z1=1+i2,z2=1-i,则等于 A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i答案 B解析 ∵z1=1+i2=2i,z2=1-i,∴====-1+i.3.设平面向量m=-1,2,n=2,b,若m∥n,则|m+n|等于 A.B.C.D.3答案 A解析 由m∥n,m=-1,2,n=2,b,得b=-4,故n=2,-4,所以m+n=1,-2,故|m+n|=,故选A.
4.如图所示,向量=a,=b,=c,点A,B,C在一条直线上,且=-4,则 A.c=a+bB.c=a-bC.c=-a+2bD.c=-a+b答案 D解析 c=+=+=+-=-=b-a.故选D.5.设向量a=x,1,b=1,-,且a⊥b,则向量a-b与b的夹角为 A.B.C.D.答案 D解析 因为a⊥b,所以x-=0,解得x=,所以a=,1,a-b=0,4,则cos〈a-b,b〉===-,所以向量a-b与b的夹角为,故选D.
6.如图,在正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ,则λ-μ等于 A.1B.3C.-1D.-3答案 D解析 E为DC的中点,故=+,所以=-+2,所以λ=-1,μ=2,所以λ-μ=-3,故选D.7.已知向量a=1,x,b=x,4则“x=-2”是“向量a与b反向”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 若a∥b,则x2=4,解得x=±2,当且仅当x=-2时,向量a与b反向,所以“x=-2”是“向量a与b反向”的充要条件,故选C.8.在△ABC中,边BC的垂直平分线交BC于点Q,交AC于点P,若|A|=1,||=2,则·的值为 A.3B.C.D.答案 B解析 由题知QP⊥BC,所以·=0,则·=+·=·+·=+·-=A2-2=,故选B.9.已知a=2,cosx,b=sinx,-1,当x=θ时,函数fx=a·b取得最大值,则sin等于 A.B.C.-D.-答案 D解析 fx=a·b=2sinx-cosx=sinx-φ,其中sinφ=,cosφ=,θ-φ=2kπ+,k∈Z,解得θ=2kπ++φ,k∈Z,所以sinθ=cosφ=,cosθ=-sinφ=-,所以sin2θ=2sinθcosθ=-,cos2θ=1-2sin2θ=-,所以sin=sin2θ+cos2θ=-,故选D.
10.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=2,·=-1,则·等于 A.5B.6C.7D.8答案 C解析 ·=2-2=42-2=2,·=2-2=-1,所以2=1,2=2,因此·=2-2=92-2=7,故选C.11.2018·西宁检测定义|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于 A.6B.-8或8C.-8D.8答案 D解析 cosθ===-,且θ∈[0,π],则sinθ=,则|a×b|=|a|·|b|sinθ=10×=8,故选D.12.在△ABC中,=2,过点M的直线分别交射线AB,AC于不同的两点P,Q,若=m,=n,则mn+m的最小值为 A.6B.2C.6D.2答案 D解析 由已知易得,=+,∴=+.又M,P,Q三点共线,∴+=1,∴m=,易知3n-
10.mn+m=mn+1=·n+1=≥2,当且仅当m=n=1时取等号.∴mn+m的最小值为
2.第Ⅱ卷非选择题 共70分
二、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上13.若复数a+i2在复平面内对应的点在y轴负半轴上,则实数a的值是________.答案 -1解析 因为复数a+i2=a2-1+2ai,所以其在复平面内对应的点的坐标是a2-1,2a.又因为该点在y轴负半轴上,所以有解得a=-
1.14.在△ABC中,AB=5,AC=
7.若O为△ABC的外接圆的圆心,则·=________.答案 12解析 取BC的中点D,由O为△ABC的外接圆的圆心得OD⊥BC,则·=+·=·+·=·=+·-=2-2=
12.15.欧拉在1748年给出了著名公式eiθ=cosθ+isinθ欧拉公式是数学中最卓越的公式之一,其中,底数e=
2.71828…,根据欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,任何一个复数z=rcosθ+isinθ,都可以表示成z=reiθ的形式,我们把这种形式叫做复数的指数形式,若复数z1=2,z2=,则复数z=在复平面内对应的点在第________象限.答案 四解析 因为z1=2=2=1+i,z2==cos+isin=i,所以z====-i.复数z在复平面内对应的点为Z,-1,点Z在第四象限.16.已知点O为△ABC内一点,且满足++4=
0.设△OBC与△ABC的面积分别为S1,S2,则=______.答案 解析 设E为AB的中点,连接OE,延长OC到D,使OD=4OC,因为点O为△ABC内一点,且满足++4=0,所以++=0,则点O是△ABD的重心,则E,O,C,D共线,OD∶OE=2∶1,所以OC∶OE=1∶2,则CE∶OE=3∶2,则S1=S△BCE=S△ABC,所以=.
三、解答题本题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.12分已知向量a=-3,1,b=1,-2,c=1,1.1求向量a与b的夹角的大小;2若c∥a+kb,求实数k的值.解 1设向量a与b的夹角为α,则cosα===-,又α∈[0,π],所以α=,即向量a与b的夹角的大小为.2a+kb=-3+k,1-2k,因为c∥a+kb,所以1-2k+3-k=0,解得k=,即实数k的值为.18.12分已知a=3,-2,b=2,1,O为坐标原点.1若ma+b与a-2b的夹角为钝角,求实数m的取值范围;2设=a,=b,求△OAB的面积.解 1∵a=3,-2,b=2,1,∴ma+b=3m+2,-2m+1,a-2b=-1,-4,令ma+b·a-2b0,即-3m-2+8m-40,解得m,∵当m=-时,ma+b=-a+b,a-2b与ma+b方向相反,夹角为平角,不合题意.∴m≠-,∴若ma+b与a-2b的夹角为钝角,m的取值范围为∪.2设∠AOB=θ,△OAB面积为S,则S=|a|·|b|sinθ,∵sin2θ=1-cos2θ=1-2,∴4S2=|a|2|b|2·sin2θ=|a|2|b|2-a·b2=65-16=
49.∴S=.19.13分如图,在△OAB中,点P为线段AB上的一个动点不包含端点,且满足=λ.1若λ=,用向量,表示;2若||=4,||=3,且∠AOB=60°,求·取值范围.解 1∵=,∴-=-,∴=+,即=+.2∵·=||·||·cos60°=6,=λλ0,∴-=λ-,1+λ=+λ,∴=+.∵=-,∴·=·-=-2+2+·===3-.∵λ0,∴3-∈-10,3.∴·的取值范围是-10,3.20.13分已知向量m=,n=,记fx=m·n.1若fx=1,求cos的值;2在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2a-ccosB=bcosC,求f2A的取值范围.解 1fx=m·n=sincos+cos2=sin+cos+=sin+.由fx=1,得sin=,所以cos=1-2sin2=.2因为2a-ccosB=bcosC,由正弦定理得2sinA-sinCcosB=sinBcosC,所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sinB+C.因为A+B+C=π,所以sinB+C=sinA,且sinA≠0,所以cosB=.又0B,所以B=,则A+C=π,A=π-C.又0C,则A,得A+,所以sin≤
1.又因为f2A=sin+,故函数f2A的取值范围是.。