2020届高考数学一轮复习单元检测五平面向量与复数（提升卷）单元检测文（含解析）新人教A版

单元检测五　平面向量与复数提升卷考生注意1．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷选择题　共60分

一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若复数z满足iz＝3＋4i，则|z|等于　　A．1B．2C.D．5答案　D解析　因为z＝＝－3＋4ii＝4－3i，所以|z|＝＝

5.2．若z1＝1＋i2，z2＝1－i，则等于　　A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i答案　B解析　∵z1＝1＋i2＝2i，z2＝1－i，∴＝＝＝＝－1＋i.3．设平面向量m＝－1，2，n＝2，b，若m∥n，则|m＋n|等于　　A.B.C.D．3答案　A解析　由m∥n，m＝－1，2，n＝2，b，得b＝－4，故n＝2，－4，所以m＋n＝1，－2，故|m＋n|＝，故选A.

4.如图所示，向量＝a，＝b，＝c，点A，B，C在一条直线上，且＝－4，则　　A．c＝a＋bB．c＝a－bC．c＝－a＋2bD．c＝－a＋b答案　D解析　c＝＋＝＋＝＋－＝－＝b－a.故选D.5．设向量a＝x，1，b＝1，－，且a⊥b，则向量a－b与b的夹角为　　A.B.C.D.答案　D解析　因为a⊥b，所以x－＝0，解得x＝，所以a＝，1，a－b＝0，4，则cos〈a－b，b〉＝＝＝－，所以向量a－b与b的夹角为，故选D.

6.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ－μ等于　　A．1B．3C．－1D．－3答案　D解析　E为DC的中点，故＝＋，所以＝－＋2，所以λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3，故选D.7．已知向量a＝1，x，b＝x，4则“x＝－2”是“向量a与b反向”的　　A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　若a∥b，则x2＝4，解得x＝±2，当且仅当x＝－2时，向量a与b反向，所以“x＝－2”是“向量a与b反向”的充要条件，故选C.8．在△ABC中，边BC的垂直平分线交BC于点Q，交AC于点P，若|A|＝1，||＝2，则·的值为　　A．3B.C.D.答案　B解析　由题知QP⊥BC，所以·＝0，则·＝＋·＝·＋·＝＋·－＝A2－2＝，故选B.9．已知a＝2，cosx，b＝sinx，－1，当x＝θ时，函数fx＝a·b取得最大值，则sin等于　　A.B.C．－D．－答案　D解析　fx＝a·b＝2sinx－cosx＝sinx－φ，其中sinφ＝，cosφ＝，θ－φ＝2kπ＋，k∈Z，解得θ＝2kπ＋＋φ，k∈Z，所以sinθ＝cosφ＝，cosθ＝－sinφ＝－，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－，cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin＝sin2θ＋cos2θ＝－，故选D.

10.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝2，·＝－1，则·等于　　A．5B．6C．7D．8答案　C解析　·＝2－2＝42－2＝2，·＝2－2＝－1，所以2＝1，2＝2，因此·＝2－2＝92－2＝7，故选C.11．2018·西宁检测定义|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于　　A．6B．－8或8C．－8D．8答案　D解析　cosθ＝＝＝－，且θ∈[0，π]，则sinθ＝，则|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝10×＝8，故选D.12．在△ABC中，＝2，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若＝m，＝n，则mn＋m的最小值为　　A．6B．2C．6D．2答案　D解析　由已知易得，＝＋，∴＝＋.又M，P，Q三点共线，∴＋＝1，∴m＝，易知3n－

10.mn＋m＝mn＋1＝·n＋1＝≥2，当且仅当m＝n＝1时取等号．∴mn＋m的最小值为

2.第Ⅱ卷非选择题　共70分

二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上13．若复数a＋i2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是________．答案　－1解析　因为复数a＋i2＝a2－1＋2ai，所以其在复平面内对应的点的坐标是a2－1，2a．又因为该点在y轴负半轴上，所以有解得a＝－

1.14．在△ABC中，AB＝5，AC＝

7.若O为△ABC的外接圆的圆心，则·＝________.答案　12解析　取BC的中点D，由O为△ABC的外接圆的圆心得OD⊥BC，则·＝＋·＝·＋·＝·＝＋·－＝2－2＝

12.15．欧拉在1748年给出了著名公式eiθ＝cosθ＋isinθ欧拉公式是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e＝

2.71828…，根据欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ，任何一个复数z＝rcosθ＋isinθ，都可以表示成z＝reiθ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z1＝2，z2＝，则复数z＝在复平面内对应的点在第________象限．答案　四解析　因为z1＝2＝2＝1＋i，z2＝＝cos＋isin＝i，所以z＝＝＝＝－i.复数z在复平面内对应的点为Z，－1，点Z在第四象限．16．已知点O为△ABC内一点，且满足＋＋4＝

0.设△OBC与△ABC的面积分别为S1，S2，则＝______.答案　解析　设E为AB的中点，连接OE，延长OC到D，使OD＝4OC，因为点O为△ABC内一点，且满足＋＋4＝0，所以＋＋＝0，则点O是△ABD的重心，则E，O，C，D共线，OD∶OE＝2∶1，所以OC∶OE＝1∶2，则CE∶OE＝3∶2，则S1＝S△BCE＝S△ABC，所以＝.

三、解答题本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．12分已知向量a＝－3，1，b＝1，－2，c＝1，1．1求向量a与b的夹角的大小；2若c∥a＋kb，求实数k的值．解　1设向量a与b的夹角为α，则cosα＝＝＝－，又α∈[0，π]，所以α＝，即向量a与b的夹角的大小为.2a＋kb＝－3＋k，1－2k，因为c∥a＋kb，所以1－2k＋3－k＝0，解得k＝，即实数k的值为.18．12分已知a＝3，－2，b＝2，1，O为坐标原点．1若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，求实数m的取值范围；2设＝a，＝b，求△OAB的面积．解　1∵a＝3，－2，b＝2，1，∴ma＋b＝3m＋2，－2m＋1，a－2b＝－1，－4，令ma＋b·a－2b0，即－3m－2＋8m－40，解得m，∵当m＝－时，ma＋b＝－a＋b，a－2b与ma＋b方向相反，夹角为平角，不合题意．∴m≠－，∴若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，m的取值范围为∪.2设∠AOB＝θ，△OAB面积为S，则S＝|a|·|b|sinθ，∵sin2θ＝1－cos2θ＝1－2，∴4S2＝|a|2|b|2·sin2θ＝|a|2|b|2－a·b2＝65－16＝

49.∴S＝.19．13分如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点不包含端点，且满足＝λ.1若λ＝，用向量，表示；2若||＝4，||＝3，且∠AOB＝60°，求·取值范围．解　1∵＝，∴－＝－，∴＝＋，即＝＋.2∵·＝||·||·cos60°＝6，＝λλ0，∴－＝λ－，1＋λ＝＋λ，∴＝＋.∵＝－，∴·＝·－＝－2＋2＋·＝＝＝3－.∵λ0，∴3－∈－10，3．∴·的取值范围是－10，3．20．13分已知向量m＝，n＝，记fx＝m·n.1若fx＝1，求cos的值；2在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2a－ccosB＝bcosC，求f2A的取值范围．解　1fx＝m·n＝sincos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin＋.由fx＝1，得sin＝，所以cos＝1－2sin2＝.2因为2a－ccosB＝bcosC，由正弦定理得2sinA－sinCcosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB＝sinB＋C．因为A＋B＋C＝π，所以sinB＋C＝sinA，且sinA≠0，所以cosB＝.又0B，所以B＝，则A＋C＝π，A＝π－C.又0C，则A，得A＋，所以sin≤

1.又因为f2A＝sin＋，故函数f2A的取值范围是.。