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2019届高三数学下学期第一次模拟考试四月试题理
一、选择题本题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意1.已知集合A={x|y=},B={x||x|≤2},则A∪B= A.[-22]B.[-24]C.
[02]D.
[04]2.“a=1”是“复数z=a2-1+2a+1ia∈R为纯虚数”的 A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.设直线y=kx与椭圆+=1相交于A,B两点,分别过A,B向x轴作垂线,若垂足恰好为椭圆的两个焦点,则k等于 A.B.±C.±D.4.如果圆x2+y2=n2至少覆盖曲线fx=sinx∈R的一个最高点和一个最低点,则正整数n的最小值为 A.1B.2C.3D.45.运行如图所示的程序框图,则输出的S值为 A.B.C.D.6.函数gx=2ex+x-3t2dt的零点所在的区间是 A.-3,-1B.-11C.12D.237.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|= A.2B.4C.3D.68.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A.24+6πB.12πC.24+12πD.16π9.已知四面体P-ABC中,PA=4,AC=2,PB=BC=2,PA⊥平面PBC,则四面体P-ABC的外接球半径为 A.2B.2C.4D.410.已知x+22x-15=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则2a2+3a3+4a4+5a5= A.10B.5C.1D.011.已知抛物线y2=4x的准线与x轴相交于点P,过点P且斜率为kk0的直线l与抛物线交于A,B两点,F为抛物线的焦点,若|FB|=2|FA|,则AB的长度为 A.B.2C.D.12.已知曲线fx=ke-2x在点x=0处的切线与直线x-y-1=0垂直,若x1,x2是函数gx=fx-|lnx|的两个零点,则 A.1x1x2B.x1x21C.2x1x22D.x1x22第Ⅱ卷非选择题 满分90分
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.[xx·安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气,使用这些阀门必须遵守以下操作规则ⅰ如果开启1号阀门,那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门;ⅱ如果开启2号阀门或者5号阀门,那么要关闭4号阀门;ⅲ不能同时关闭3号阀门和4号阀门,现在要开启1号阀门,则同时开启的2个阀门是________.14.若函数fx=4sin5ax-4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,则实数a的值为________.15.已知双曲线C-=1a0,b0的左、右焦点分别为F
1、F2,焦距为2c,直线y=x+c与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2,则双曲线的离心率e为________.15.[xx·太原质检]已知向量与的夹角为120°,|-|=2,|-|=3,若向量=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.16.在中,是内一动点,,则的最小值为.
三、解答题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.[xx·湖北联考]本小题满分12分在等比数列{an}中,an0n∈N*,a1a3=4,且a3+1是a2和a4的等差中项,若bn=log2an+
1.1求数列{bn}的通项公式;2若数列{cn}满足cn=an+1+,求数列{cn}的前n项和.18.本小题满分12分共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务,是共享经济的一种新形态,一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本(单位元)与租用单车的数量(单位车辆)之间的关系”进行调查研究,在调查过程中进行了统计,得出相关数据见下表租用单车数量(千辆)23458每天一辆车平均成本(元)
3.
22.
421.
91.7根据以上数据,研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到两个回归方程,方程甲,方程乙.(I)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务
①完成下表(计算结果精确到
0.1)(备注,称为相应于点的残差(也叫随机误差));租用单车数量(千辆)23458每天一辆车平均成本(元)
3.
22.
421.
91.7模型甲估计值
2.
42.
11.6残差0-
0.
10.1模型乙估计值
2.
321.9残差
0.100
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及,并通过比较,的大小,判断哪个模型拟合效果更好.(II)这个公司在该城市投放共享单车后,受到广大市民的热烈欢迎,共享单车常常供不应求,于是该公司研究是否增加投放,根据市场调查,这个城市投放8千辆时,该公司平均一辆单车一天能收入10元,6元收入的概率分别为
0.
60.4;投放1万辆时,该公司平均一辆单车一天能收入10元,6元收入的概率分别为
0.
40.6,问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润?(按(I)中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本,利润=收入-成本).19.本小题满分12分已知长方形ABCD中,AB=1,AD=.现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一个四面体A-BCD,如图所示.1试问在折叠的过程中,异面直线AB与CD,AD与BC能否垂直?若能垂直,求出相应的a值;若不垂直,请说明理由.2当四面体A-BCD体积最大时,求二面角A-CD-B的余弦值.20.本小题满分12分已知抛物线C y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.1若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;2若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.21.本小题满分12分已知函数fx=ax-lnx-4a∈R.1讨论fx的单调性;2当a=2时,若存在区间[m,n]⊆,使fx在[m,n]上的值域是,求k的取值范围.请考生在
22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.本小题满分10分选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1的方程为x2+y2=1,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为ρ2cosθ-sinθ=
6.1将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2,试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程;2设P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的最大距离.23.本小题满分10分选修4-5不等式选讲设函数fx=+的最大值为M.1求实数M的值;2求关于x的不等式|x-|+|x+2|≤M的解集.参考答案
四一、选择题本题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意1.[xx·成都诊断考试]已知集合A={x|y=},B={x||x|≤2},则A∪B= A.[-22]B.[-24]C.
[02]D.
[04]答案 B解析 A={x|0≤x≤4},B={x|-2≤x≤2},故A∪B={x|-2≤x≤4},故选B.2.[xx·茂名市二模]“a=1”是“复数z=a2-1+2a+1ia∈R为纯虚数”的 A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 a2-1+2a+1i为纯虚数,则a2-1=0,a+1≠0,所以a=1,反之也成立.故选A.3.[xx·呼和浩特调研]设直线y=kx与椭圆+=1相交于A,B两点,分别过A,B向x轴作垂线,若垂足恰好为椭圆的两个焦点,则k等于 A.B.±C.±D.答案 B解析 由题意可得c=1,a=2,b=,不妨取A点坐标为,则直线的斜率k=±.4.[xx·洛阳第一次联考]如果圆x2+y2=n2至少覆盖曲线fx=sinx∈R的一个最高点和一个最低点,则正整数n的最小值为 A.1B.2C.3D.4答案 B解析 最小范围内的至高点坐标为,原点到至高点距离为半径,即n2=+3⇒n=2,故选B.5.[xx·长春质量检测]运行如图所示的程序框图,则输出的S值为 A.B.C.D.答案 A解析 由程序框图可知,输出的结果是首项为,公比也为的等比数列的前9项和,即,故选A.6.[xx·贵阳一中质检]函数gx=2ex+x-3t2dt的零点所在的区间是 A.-3,-1B.-11C.12D.23答案 C解析 因为3t2dt=t3=8-1=7,∴gx=2ex+x-7,g′x=2ex+10,gx在R上单调递增,g-3=2e-3-100,g-1=2e-1-80,g1=2e-60,g2=2e2-50,g3=2e3-40,故选C.7.[xx·浙江高考]在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|= A.2B.4C.3D.6答案 C解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,过点C,D分别作直线x+y-2=0的垂线,垂足分别为A,B,则四边形ABDC为矩形,又C2,-2,D-11,所以|AB|=|CD|==
3.故选C.8.[xx·广西质检]某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A.24+6πB.12πC.24+12πD.16π答案 A解析 由三视图可知,该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体,该组合体的表面由6个半球的表面除去半球底面圆、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成,所以6个半球的表面除去半球底面圆的面积之和S1等于3个球的表面积,即S1=3×4π×12=12π;正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2=622-π×12=24-6π.所以该组合体的表面积为S=S1+S2=12π+24-6π=24+6π.9.[xx·南京模拟]已知四面体P-ABC中,PA=4,AC=2,PB=BC=2,PA⊥平面PBC,则四面体P-ABC的外接球半径为 A.2B.2C.4D.4答案 A解析 PA⊥平面PBC,AC=2,PA=4,∴PC=2,∴△PBC为等边三角形,设其外接圆半径为r,则r=2,∴外接球半径为
2.故选A.10.[xx·四川高考]在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是 A.B.C.D.答案 B解析 由||=||=||知,D为△ABC的外心.由·=·=·知,D为△ABC的内心,所以△ABC为正三角形,易知其边长为
2.取AC的中点E,因为M是PC的中点,所以EM=AP=,所以||max=|BE|+=,则||=,选B.11.[xx·山西质检]记Sn为正项等比数列{an}的前n项和,若-7·-8=0,且正整数m,n满足a1ama2n=2a,则+的最小值是 A.B.C.D.答案 C解析 ∵{an}是正项等比数列,设{an}的公比为qq0,∴=q6,=q3,∴q6-7q3-8=0,解得q=2,又a1ama2n=2a,∴a·2m+2n-2=2a1243=a213,∴m+2n=15,∴+=m+2n=≥=,当且仅当=,n=2m,即m=3,n=6时等号成立,∴+的最小值是,故选C.12.[xx·海口调研]已知曲线fx=ke-2x在点x=0处的切线与直线x-y-1=0垂直,若x1,x2是函数gx=fx-|lnx|的两个零点,则 A.1x1x2B.x1x21C.2x1x22D.x1x22答案 B解析 依题意得f′x=-2ke-2x,f′0=-2k=-1,k=.在同一坐标系下画出函数y=fx=e-2x与y=|lnx|的大致图象,结合图象不难看出,这两条曲线的两个交点中,其中一个交点横坐标属于区间01,另一个交点横坐标属于区间1,+∞,不妨设x1∈01,x2∈1,+∞,则有e-2x1=|lnx1|=-lnx1∈,e-2x2=|lnx2|=lnx2∈,e-2x2-e-2x1=lnx2+lnx1=lnx1x2∈,于是有eeq\s\up15-x1x2e0,即x1x21,选B.第Ⅱ卷 非选择题,共90分
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.[xx·安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气,使用这些阀门必须遵守以下操作规则ⅰ如果开启1号阀门,那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门;ⅱ如果开启2号阀门或者5号阀门,那么要关闭4号阀门;ⅲ不能同时关闭3号阀门和4号阀门,现在要开启1号阀门,则同时开启的2个阀门是________.答案 2或3解析 若要开启1号阀门,由ⅰ知,必须开启2号阀门,关闭5号阀门,由ⅱ知,关闭4号阀门,由ⅲ知,开启3号阀门,所以同时开启2号阀门和3号阀门.14.[xx·云南检测]若函数fx=4sin5ax-4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,则实数a的值为________.答案 ±解析 因为fx=8sin,依题意有,=,所以T=,又因为T=,所以=,解得a=±.15.[xx·山西怀仁期末]已知双曲线C-=1a0,b0的左、右焦点分别为F
1、F2,焦距为2c,直线y=x+c与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2,则双曲线的离心率e为________.答案 +1解析 ∵直线y=x+c过左焦点F1,且其倾斜角为30°,∴∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,∴∠F2PF1=90°,即F1P⊥F2P.∴|PF2|=|F1F2|=c,|PF1|=|F1F2|·sin60°=c,由双曲线的定义得2a=|PF1|-|PF2|=c-c,∴双曲线C的离心率e===+
1.16.[xx·广州综合测试]已知函数fx=则函数gx=2|x|fx-2的零点个数为________个.答案 2解析 由gx=2|x|fx-2=0,得fx=21-|x|,画出y=与y=21-|x|的图象,可知,它们有2个交点,所以零点个数为
2.
三、解答题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.[xx·湖北联考]本小题满分12分在等比数列{an}中,an0n∈N*,a1a3=4,且a3+1是a2和a4的等差中项,若bn=log2an+
1.1求数列{bn}的通项公式;2若数列{cn}满足cn=an+1+,求数列{cn}的前n项和.解 1设等比数列{an}的公比为q,且q0,在等比数列{an}中,由an0,a1a3=4,得a2=2,
①2分又a3+1是a2和a4的等差中项,所以2a3+1=a2+a4,
②把
①代入
②,得22q+1=2+2q2,解得q=2或q=0舍去,4分所以an=a2qn-2=2n-1,则bn=log2an+1=log22n=n.6分2由1得,cn=an+1+=2n+=2n+,8分所以数列{cn}的前n项和Sn=2+22+…+2n+1-++…+=+=2n+1-2+.12分18.[xx·重庆市一模]本小题满分12分某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.方案一每满200元减50元;方案二每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱,装有2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表注所有小球仅颜色有区别红球个数3210实际付款半价7折8折原价1若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率;2若某顾客购物金额为320元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算?解 1记顾客获得半价优惠为事件A,则PA==,2分两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P=1-PP=1-2=.4分2若选择方案一,则付款金额为320-50=270元.6分若选择方案二,记付款金额为X元,则X可取
160224256320.PX=160=,PX=224==,PX=256==,PX=320==,9分则EX=160×+224×+256×+320×=
240.∵270240,∴第二种方案比较划算.12分19.[xx·贵州四校联考]本小题满分12分已知长方形ABCD中,AB=1,AD=.现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一个四面体A-BCD,如图所示.1试问在折叠的过程中,异面直线AB与CD,AD与BC能否垂直?若能垂直,求出相应的a值;若不垂直,请说明理由.2当四面体A-BCD体积最大时,求二面角A-CD-B的余弦值.解 1若AB⊥CD,因为AB⊥AD,AD∩CD=D,所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.即AB2+a2=BC2⇒12+a2=2⇒a=
1.2分若AD⊥BC,因为AD⊥AB,AB∩BC=B,所以AD⊥面ABC⇒AD⊥AC,即AD2+a2=CD2⇒2+a2=12⇒a2=-1,无解,故AD⊥BC不成立.4分2要使四面体A-BCD体积最大,因为△BCD面积为定值,所以只需三棱锥A-BCD的高最大即可,此时面ABD⊥面BCD.6分过A作AO⊥BD于O,则AO⊥面BCD,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz如图,则易知A,C,D显然,面BCD的法向量为=.8分设面ACD的法向量为n=x,y,z.因为=,=,所以令y=,得n=1,,2,10分故二面角A-CD-B的余弦值即为|cos〈,n〉|==.12分20.[xx·全国卷Ⅲ]本小题满分12分已知抛物线C y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.1若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;2若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解 由题知F.设l1y=a,l2y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R,.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-a+by+ab=
0.3分1证明由于F在线段AB上,故1+ab=
0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=====-b=k2,所以AR∥FQ.5分2设l与x轴的交点为Dx10,则S△ABF=|b-a|·|FD|=|b-a|,S△PQF=.则题设可得|b-a|=,所以x1=0舍去或x1=
1.设满足条件的AB的中点为Ex,y.当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=x≠1,而=y,所以y2=x-1x≠1.当AB与x轴垂直时,E与D重合,此时E点坐标为10,满足方程y2=x-
1.所以,所求轨迹方程为y2=x-
1.12分21.[xx·湖北八校联考]本小题满分12分已知函数fx=ax-lnx-4a∈R.1讨论fx的单调性;2当a=2时,若存在区间[m,n]⊆,使fx在[m,n]上的值域是,求k的取值范围.解 1函数fx的定义域是0,+∞,f′x=,当a≤0时,f′x≤0,所以fx在0,+∞上为减函数,当a0时,令f′x=0,则x=,当x∈时,f′x0,fx为减函数,当x∈时,f′x0,fx为增函数,3分∴当a≤0时,fx在0,+∞上为减函数;当a0时,fx在上为减函数,在上为增函数.4分2当a=2时,fx=2x-lnx-4,由1知fx在上为增函数,而[m,n]⊆,∴fx在[m,n]上为增函数,结合fx在[m,n]上的值域是知fm=,fn=,其中≤mn,则fx=在上至少有两个不同的实数根,6分由fx=,得k=2x2-2x-x+1lnx-4,记φx=2x2-2x-x+1lnx-4,x∈,则φ′x=4x--lnx-3,记Fx=φ′x=4x--lnx-3,则F′x==0,∴Fx在上为增函数,即φ′x在上为增函数,而φ′1=0,∴当x∈时,φ′x0,当x∈1,+∞时,φ′x0,∴φx在上为减函数,在1,+∞上为增函数,10分而φ=,φ1=-4,当x→+∞时,φx→+∞,故结合图象得φ1k≤φ⇒-4k≤,∴k的取值范围是.12分请考生在
22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.[xx·陕西八校联考]本小题满分10分选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1的方程为x2+y2=1,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为ρ2cosθ-sinθ=
6.1将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2,试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程;2设P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的最大距离.解 1由题意知,直线l的直角坐标方程为2x-y-6=
0.2分∵曲线C2的直角坐标方程为2+2=1,即+=1,4分∴曲线C2的参数方程为θ为参数.5分2设点P的坐标cosθ,2sinθ,则点P到直线l的距离为d==,∴当cos=-1时,dmax==
2.10分23.[xx·南昌一模]本小题满分10分选修4-5不等式选讲设函数fx=+的最大值为M.1求实数M的值;2求关于x的不等式|x-|+|x+2|≤M的解集.解 1fx=+≤2=3,当且仅当x=时等号成立.故函数fx的最大值M=
3.5分2由1知M=
3.由绝对值三角不等式可得|x-|+|x+2|≥|x--x+2|=
3.所以不等式|x-|+|x+2|≤3的解集就是方程|x-|+|x+2|=3的解.7分由绝对值的几何意义,得当且仅当-2≤x≤时,|x-|+|x+2|=3,所以不等式|x-|+|x+2|≤M的解集为{x|-2≤x≤}.10分。