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2019届高三数学下学期第一次模拟考试试题理注意事项1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2.选择题的作答每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3.非选择题的作答用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交
一、选择题共12小题每小题5分共60分
1.设集合,,则()A.B.C.D.
2.已知,是虚数单位,若,,则为()A.或B.C.D.不存在的实数
3.“”是“”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
4.记数列的前项和为.已知,,则()A.B.C.D.
5.执行如图所示的程序框图,若输出的,则判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.
6.已知双曲线四点,中恰有三点在双曲线上则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.
7.2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段月食的初亏发生在19时48分20时51分食既食甚时刻为21时31分22时08分生光直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始生光时刻结東一市民准备在19:55至2156之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是()A.B.C.D.
8.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为()A.4B.C.D.
29.设实数满足约束条件,则的最小值为()A.B.C.D.
10.函数(其中为自然对数的底数)的图象大致为()A.B.C.D.
11.已知向量,满足,,,则()A.B.C.D.
12.定义如果函数的导函数为,在区间上存在,使得,,则称为区间上的双中值函数.已知函数是上的双中值函数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.第II卷(非选择题90分)
二、填空题共4小题每小题5分共20分
13.已知则__________.
14.若随机变量,则,.已知随机变量,则__________.
15.在中,是边上一点,的面积为,为锐角,则__________.
16.已知椭圆的离心率为,过椭圆上一点作直线交椭圆于两点,且斜率分别为,若点关于原点对称,则的值为______.
三、解答题共6小题共70分
17.(本小题满分12分)在锐角中(I)求角;Ⅱ若求的取值范围.
18.(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+(c>0,n∈N*),(Ⅰ)证明an+1>an≥1;(Ⅱ)若对任意n∈N*,都有证明(ⅰ)对于任意m∈N*,当n≥m时,(ⅱ)
19.(本小题满分12分)如图,在多面体中,底面是梯形,,平面平面,四边形是菱形,.
(1)求证;
(2)求二面角的平面角的正切值.
20.(本小题满分12分)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人,调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下年龄支持“延迟退休”的人数155152817
(1)由以上统计数据填列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过
0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异;45岁以下45岁以上总计支持不支持总计
(2)若以45岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人
①抽到1人是45岁以下时,求抽到的另一人是45岁以上的概率.
②记抽到45岁以上的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.
21.(本小题满分12分)已知函数.
(1)令,讨论的单调区间;
(2)若,正实数满足,证明.
22.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式的解集非空,求的取值范围.参考答案123456789101112BACAACCBBDAD
13.
2414.
0.
818515..
16.
17.Ⅰ(Ⅱ)分析(Ⅰ)由题根据余弦定理化简所给条件可得,所以,根据角的范围可得角A;(Ⅱ)由题根据所给条件可得,根据正弦定理可得,所以,然后根据可得bc的范围.解析
(1)由且4分
(2)又8分12分
18.分析(Ⅰ)由题意,可采用数学归纳法,以及放缩法对不等式进行证明,从而问题可得解;(Ⅱ)在第(i)中,根据(Ⅰ)的结论,采用放缩法对数列的通项进行放大,再用累加法进行求解即可;在第(ii)中,对参数进行分段讨论,结合(i)中的结论,从而问题可得解.解析(Ⅰ)因为c>0,所以an+1=an+>an(n∈N*),下面用数学归纳法证明an≥1.
①当n=1时,a1=1≥1;
②假设当n=k时,ak≥1,则当n=k+1时,ak+1=ak+>ak≥1.所以,当n∈N*时,an≥1.所以an+1>an≥1.(Ⅱ)(ⅰ)当n≥m时,an≥am,所以an+1=an+≤an+,所以an+1-an≤,累加得an-am≤n-m,所以.(ⅱ)若,当时,,所以.所以当时,.所以当时,,矛盾.所以.因为,所以.
19.分析1依题意,在等腰梯形中,,,利用勾股定理可证,又平面平面,故,即得,由四边形ACEF是菱形,,可证即可证明;2取的中点,可证,以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,求得平面BEF和平面DEF的一个法向量,由向量夹角公式得到二面角的平面角的余弦值,进而得到二面角的平面角的正切值.详解1题意,在等腰梯形中,∵,,,连接,∵四边形ACEF是菱形,,2取的中点,连接,因为四边形是菱形,且.所以由平面几何易知,∵,∴.故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,各点的坐标依次为设平面BEF和平面DEF的法向量分别为∵同理,故二面角的平面角的正切值为
20.分析
(1)根据频率分布直方图得到45岁以下与45岁以上的人数,由此可得列联表,求得后在结合临界值表可得结论.
(2)
①结合条件概率的计算方法求解;
②由题意可得的可能取值为012,分别求出对应的概率后可得分布列和期望.详解
(1)由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人,故可得列联表如下45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100由列联表可得,所以在犯错误的概率不超过
0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.
(2)
①设“抽到1人是45岁以下”为事件A,“抽到的另一人是45岁以上”为事件B,则∴即抽到1人是45岁以下时,求抽到的另一人是45岁以上的概率为.
②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人,则45岁以下的应抽6人,45岁以上的应抽2人.由题意得的可能取值为
012.,,.故随机变量的分布列为012所以.
21.
(1)当时,函数单调递增区间为,无递减区间,当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为;
(2)证明见解析.分析
(1)化简,,对分成和两类讨论的单调区间;
(2)当时,,转化为,令,利用导数求得,又,故,由可知.解析
(1),所以,当时,因为,所以,即在单调递增,当时,,令,得,所以当时,,单调递增,当时,单调递减,综上,当时,函数单调递增区间为,无递减区间;当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为;
(2)当时,,由可得,即,令,则,则在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,所以,又,故,由可知.
22.
(1)
(2)分析
(1)求出的分段函数的形式,解不等式可分与,三类讨论即可解得不等式的解集;
(2)原式等价于存在,使成立,即,设,求出的最大值即可得到的取值范围.详解
(1)当时,,无解当时,∴当时,综上所述的解集为.
(2)原式等价于存在,使成立,即设由
(1)知当时,,其开口向下,对称轴为x=-1所以gx≤g-1=-8当-1x5开口向下,对称轴x=所以gx≤g=-当x≥5时,开口向下,对称轴x=5,所以gx≤g5=-14,综上所述,t的取值范围为(-∞,-].。