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【课时训练】双曲线
一、选择题1.2018广州联考已知双曲线C-=1a0,b0的焦距为10,点P21在C的一条渐近线上,则C的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【答案】A【解析】依题意解得∴双曲线C的方程为-=
1.2.2018福州质检若双曲线E-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 A.11B.9C.5D.3【答案】B【解析】由题意,知a=3,b=4,∴c=
5.由双曲线的定义||PF1|-|PF2||=|3-|PF2||=2a=6,∴|PF2|=
9.故选B.3.2018庐江第二中学1月月考已知椭圆+=1a1b10的长轴长、短轴长、焦距成等比数列,离心率为e1;双曲线-=1a20,b20的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列,离心率为e2,则e1e2等于 A.B.1C.D.2【答案】B【解析】由b=a1c1,得a-c=a1c1,∴e1==.由b=a2c2,得c-a=a2c2,∴e2==.∴e1e2=×=
1.4.2018辽宁凌源联考已知圆E x-32+y+m-42=1m∈R,当m变化时,圆E上的点与原点O的最短距离是双曲线C-=1a>0,b>0的离心率,则双曲线C的渐近线方程为 A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【答案】C【解析】圆E的圆心到原点的距离d=,所以当m=4时,圆E上的点与原点O的距离最短,为3-1=2,即双曲线C的离心率e==
2.所以==,则双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选C.5.2018南昌联考已知F1,F2分别是双曲线-=1a0,b0的左,右焦点,若在双曲线的右支上存在一点M,使得+·=0其中O为坐标原点,且||=||,则双曲线的离心率为 A.-1B.C.D.+1【答案】D【解析】∵=-,∴+·=+·-=0,即2-2=
0.∴||=||=c.在△MF1F2中,边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半,可得⊥.∵||=||,∴可设||=λλ0,||=λ,得λ2+λ2=4c2,解得λ=c.∴||=c,||=c.∴根据双曲线定义,得2a=||-||=-1c.∴双曲线的离心率e==+
1.6.2018河南中原名校联考已知点F是双曲线-=1a0,b0的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 A.1,+∞B.12C.11+D.21+【答案】B【解析】由题意易知点F的坐标为-c0,A,B,Ea0, ∵△ABE是锐角三角形,∴·
0.即·=·0,整理,得3e2+2ee4,∴ee3-3e-3+
10.∴ee+12e-20,解得e∈02.又e1,∴e∈12.故选B.
二、填空题7.2018辽宁沈阳月考已知方程mx2+2-my2=1表示双曲线,则实数m的取值范围是__________.【答案】-∞,0∪2,+∞【解析】∵mx2+2-my2=1表示双曲线,∴m2-m<
0.解得m<0或m>
2.8.2018天津河西区质检已知双曲线-=1a0,b0的左,右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为________.【答案】【解析】由定义,知|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a.在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==-e
2.要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,∴当cos∠F1PF2=-1时,得e=,即e的最大值为.
三、解答题9.2018石家庄模拟中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比为3∶
7.1求这两个曲线的方程;2若P为这两个曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.【解】1由已知c=,设椭圆长半轴长,短半轴长分别为a,b,双曲线实半轴长,虚半轴长分别为m,n,则解得∴b=6,n=
2.∴椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=
1.2不妨设F1,F2分别为左,右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=10,|PF2|=
4.又|F1F2|=2,∴cos∠F1PF2===.10.2018河南安阳一模如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1y=x与直线l2y=-x之间的阴影部分为W.区域W中动点Px,y到l1,l2的距离之积为
1.1求点P的轨迹C的方程.2动直线l穿过区域W,分别交直线l1,l2于A,B两点.若直线l与轨迹C有且只有一个公共点,求证△OAB的面积恒为定值.1【解】由题意得·=1,所以|x+yx-y|=
2.因为点P在区域W内,所以x+y与x-y同号,所以x+yx-y=x2-y2=2,所以点P的轨迹C的方程为-=
1.2【证明】设直线l与x轴相交于点D.当直线l的斜率不存在时,|OD|=,|AB|=2,S△OAB=|AB|·|OD|=
2.当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,显然k≠0,m≠0,则D.把直线l的方程与C x2-y2=2联立得k2-1x2+2kmx+m2+2=
0.由直线l与轨迹C有且只有一个公共点,知Δ=4k2m2-4k2-1·m2+2=0,得m2=2k2-1>0,所以k>1或k<-
1.设Ax1,y1,Bx2,y2,由得y1=,同理得y2=.所以S△OAB=|OD||y1-y2|===
2.综上,△OAB的面积恒为定值
2.11.2018湖北部分重点中学第一次联考在面积为9的△ABC中,tan∠BAC=-,且=2,现建立以A点为坐标原点,以∠BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系,如图所示.1求AB,AC所在直线的方程;2求以AB,AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程;3过点D分别作AB,AC所在直线的垂线DF,DE点E,F为垂足,求·的值.【解】1设∠CAx=α,则由tan∠BAC=tan2α==-及α为锐角,得tanα=2,∴AC所在直线方程为y=2x,AB所在直线方程为y=-2x.2设所求双曲线的方程为4x2-y2=λλ≠0,Cx1,y1,Bx2,y2x10,x20.由=2,得D.∵点D在双曲线上,∴42-2=λ.∴x1x2=λ.
①由tan∠BAC=-,得sin∠BAC=.∵|AB|==x2,|AC|==x1,∴S△ABC=|AB|·|AC|·sin∠BAC=×5x1x2×=2x1x2=9,代入
①,得λ=16,∴双曲线的方程为-=
1.3由题意,知〈,〉=π-∠BAC,∴cos〈,〉=-cos∠BAC=.设Dx0,y0,则-=
1.又∵点D到AB,AC所在直线距离分别为||=,||=,∴·=||||·cos〈,〉=·×=.。