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【课时训练】函数的奇偶性与周期性
一、选择题1.2018河南洛阳统考下列函数为奇函数的是 A.fx=B.fx=exC.fx=cosxD.fx=ex-e-x【答案】D【解析】对于A,定义域不关于原点对称,故不是;对于Bf-x=e-x=≠-fx,故不是;对于C,f-x=cos-x=cosx≠-fx,故不是;对于D,f-x=e-x-ex=-ex-e-x=-fx,是奇函数,故选D.2.2018江南十校联考设函数fx=x+sinxx∈R,则下列说法错误的是 A.fx是奇函数B.fx在R上单调递增C.fx的值域为RD.fx是周期函数【答案】D【解析】因为f-x=-x+sin-x=-x+sinx=-fx,所以fx为奇函数,故A正确;因为f′x=1+cosx≥0,所以函数fx在R上单调递增,故B正确;fx的值域为R,故C正确;fx不是周期函数,故D错误.3.2018兰州模拟已知函数fx=ax2+bx是定义在[a-12a]上的偶函数,那么a+b的值是 A.- B.C.- D.【答案】B【解析】∵fx是偶函数,∴f-x=fx,∴b=
0.又a-1=-2a,∴a=,∴a+b=.故选B.4.2018四川遂宁一模已知函数fx在R上是奇函数,且满足fx+4=fx,当x∈-20时,fx=2x2,则f2019= A.-2B.2C.-98D.98【答案】B【解析】由fx+4=fx知,函数fx的周期为4,则f2019=f504×4+3=f3,又f3=f-1,且f-1=2,∴f2019=
2.5.2018湖南师范大学附属中学月考已知函数y=fx满足y=f-x和y=fx+2都是偶函数,且f1=1,则f-1+f7= A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】∵y=f-x为偶函数,∴f--x=f-x,∴f-x=fx,∴y=fx为偶函数,∴当x=1时,有f-1=f1=
1.又y=fx+2是偶函数,∴f-x+2=fx+2,∴fx-2=fx+2.则fx=fx+4,∴函数y=fx为周期函数,且周期为
4.∴f7=f8-1=f-1=
1.故f-1+f7=
2.故选C.6.2019吉林东北师大附中第一次摸底已知定义在R上的奇函数fx满足fx-4=-fx,且在区间
[02]上是增函数,则 A.f-25f11f80B.f80f11f-25C.f11f80f-25D.f-25f80f11【答案】D【解析】因为奇函数fx在区间
[02]上是增函数,所以fx在区间[-20]上是增函数.又因为函数fx满足fx-4=-fx,所以fx-8=-fx-4=fx,所以函数fx为周期函数,且周期为8,因此f-25=f-1f0=f80f11=f3=-f-1=f1.故选D.7.2018安徽十大名校年联考设e是自然对数的底数,函数fx是周期为4的奇函数,且当0x2时,fx=-lnx,则ef的值为 A.B.C.D.【答案】D【解析】因为函数以4为周期,所以f=f=f=-f=ln,所以ef=eln=.故选D.8.2018江西九江七校联考已知函数fx对任意x∈R,都有fx+6+fx=0,y=fx-1的图象关于点10对称,且f2=4,则f2014= A.0 B.-4 C.-8D.-16【答案】B【解析】由题意可知,函数fx对任意x∈R,都有fx+6=-fx,∴fx+12=f[x+6+6]=-fx+6=fx,∴函数fx的周期T=
12.把y=fx-1的图象向左平移1个单位得y=fx-1+1=fx的图象,关于点00对称,因此函数fx为奇函数,∴f2014=f167×12+10=f10=f10-12=f-2=-f2=-
4.故选B.
二、填空题9.2018山东菏泽模拟已知函数fx是定义在R上的周期为2的奇函数,且当0x1时,fx=9x,则f+f2=________.【答案】-3【解析】∵函数fx是定义在R上的周期为2的奇函数,∴f=f=f=-f.又当0x1时,fx=9x,∴f=-9=-
3.又f2=f0=0,∴f+f2=-
3.10.2018广东珠海二中、斗门一中联考若函数fx=ax2+bx+1是定义在[-1-a2a]上的偶函数,则f2a-b=________.【答案】5【解析】∵函数fx=ax2+bx+1是定义在[-1-a2a]上的偶函数,∴-1-a+2a=0,即a=
1.∵fx=f-x,∴ax2+bx+1=ax2-bx+1,∴b=0,即fx=x2+
1.则f2a-b=f2=
5.11.2018山东泰安模拟已知函数fx在R上为奇函数,且x0时,fx=+1,则当x0时,fx=________.【答案】--1【解析】∵fx为奇函数,且x0时,fx=+1,∴当x0时,即-x0,有fx=-f-x=-+1,即x0时,fx=-+1=--
1.12.2018山东烟台模拟已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x≥0时,fx=x2+2x.若f2-a2>fa,则实数a的取值范围是________.【答案】-21【解析】∵fx是奇函数,∴当x<0时,fx=-x2+2x.做出函数fx的大致图象如图所示,结合图象可知fx是R上的增函数.由f2-a2>fa,得2-a2>a,解得-2<a<
1.
三、解答题13.2018云南民族中学月考已知函数fx=是奇函数.1求实数m的值;2若函数fx在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.【解】1设x0,则-x0,所以f-x=--x2+2-x=-x2-2x.又fx为奇函数,所以f-x=-fx,于是x0时,fx=x2+2x=x2+mx,所以m=
2.2要使fx在[-1,a-2]上单调递增,结合fx的图象如图所示知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是13].14.2018天津六校期中联考已知函数fx的定义域为D={x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,有fx1·x2=fx1+fx2.1求f1的值;2判断fx的奇偶性并证明你的结论;3如果f4=1,fx-12且fx在0,+∞上是增函数,求x的取值范围.【解】1∵对于任意x1,x2∈D,有fx1·x2=fx1+fx2,∴令x1=x2=1,得f1=2f1,∴f1=
0.2fx为偶函数.证明令x1=x2=-1,有f1=f-1+f-1,∴f-1=f1=
0.令x1=-1,x2=x,有f-x=f-1+fx,∴f-x=fx,∴fx为偶函数.3依题意有f4×4=f4+f4=2,又由2知,fx是偶函数,∴fx-12⇔f|x-1|f16.∵fx在0,+∞上是增函数,∴0|x-1|16,解得-15x17且x≠
1.∴x的取值范围是-151∪117.。