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2019届高三数学下学期第三次质量检测试题高新部理
一、单选题(60分)1.已知集合,则()A.B.C.D.2.若复数则复数在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.命题“”的否定为A.B.C.D.4.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率等于A.B.C.D.
5.某商场举行有奖促销活动抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的个红球、个蓝球的箱子中任意取出两球若取出的两球颜色相同则中奖否则不中奖.则中奖的概率为()A.B.C.D.
6.中国古代数学名著《九章算术》中将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示则该“堑堵”的左视图的面积为`()A.B.C.D.
7.记不等式组的解集为若不等式恒成立则的取值范围是()A.B.C.D.
8.如图半径为的圆中为直径的两个端点点在圆上运动设将动点到两点的距离之和表示为的函数则在上的图象大致为()A.B.C.D.9.在等差数列中,,且则使的前项和成立的中最大的自然数为A.11B.10C.19D.2010.在中,内角所对的边分别为,若依次成等差数列,则()A.依次成等差数列B.依次成等差数列C.依次成等差数列D.依次成等差数列11.数列满足,且对任意的都有,则等于()A.B.C.D.12.如图,在中,,等边三个顶点分别在的三边上运动,则面积的最小值为()A.B.C.D.
二、填空题13.已知复数满足(为虚数单位),则__________.14.已知点,点满足,则在方向上的投影的最大值是__________.15.已知双曲线,其左右焦点分别为,,若是该双曲线右支上一点,满足,则离心率的取值范围是__________.16.已知,若关于的方程有两个不同的实数解,则实数的取值范围为__________.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(一)必考题17.(12分)在中、、分别为角、、所对的边,已知.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的面积.18.如图,四边形中,,,,,,分别在,上,,现将四边形沿折起,使平面平面.
(1)若,在折叠后的线段上是否存在一点,且,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(2)当三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.19.已知数列的奇数项依次成公比为2的等比数列,偶数项依次成公差为4的等差数列,数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.20.已知函数,若函数有两个零点,.
(1)求实数的取值范围;
(2)求证当时,;
(3)求证.
21.已知函数的最大值为.
(1)若关于的方程的两个实数根为,求证;
(2)当时,证明函数在函数的最小零点处取得极小值.
(二)选考题共10分.请考生在第
22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆的普通方程;
(2)直线的极坐标方程是,射线与圆的交点为,与直线的交点为,求线段的长.
23.选修4-5不等式选讲已知函数的最小值为.
(1)若,求证;
(2)若,,求的最小值.1-
4.BCCB5-
8.CCCA9-
12.CCC13【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
(1);
(2).【解析】
(1)由及,得,,又在中,,,,.
(2)在中,由余弦定理得,即,,解得,∴的面积.
18.【答案】
(1)在存在一点,且,使平面;
(2).【解析】
(1)在折叠后的图中过作,交于,过作交于,连结,在四边形中,,,所以.折起后,,又平面平面,平面平面,所以平面.又平面,所以,所以,,,因为,,所以平面平面,因为平面,所以平面.所以在存在一点,且,使平面.
(2)设,所以,,故,所以当时,取得最大值.由
(1)可以为原点,以,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,,,设平面的法向量,则,即,令,则,,则,设平面的法向量,则,即,令,则,,则,所以.所以二面角的余弦值为.19.
(1)设数列的奇数项的公比为,偶数项的公差为由已知,得∵,∴,解得为奇数时,为偶数时,∴
(2)由
(1)知即为偶数时,为奇数时,.
20.解
(1),定义域为,当时,,∴在递增,不可能有两个零点,当时,时,,时,所以是函数的极大值点,也是最大值点又因为时,,时,,要使有两个零点,只需,∴
(2)在是减函数,∵,∴存在唯一的,使,即,所以,即当时,,当时,,∴是函数的极大值点,也是最大值点∴在上,∵,∴∴,即成立
(3)证明由题意得是两根,∴
①,
②,
①②得,,得,要证明,只需证,即证所以只需证,即令,所以只需证在成立即可设,所以在是增函数,∴即成立.
21.解
(1),由,得;由,得;所以,的增区间为,减区间为,所以,不妨设,∴,∴,∴,∴,∴,设,则,所以,在上单调递增,,则,因,故,所以;
(2)由
(1)可知,在区间单调递增,又时,,易知,在递增,,∴,且时,;时,,当时,,于是时,,所以,若证明,则证明,记,则,∵,∴,∴在内单调递增,∴,∵,∴在内单调递增,∴,于是时,
22.解
(1)圆的参数方程为,(为参数),∴圆的普通方程为;
(2)化圆的普通方程为极坐标方程,设,则由解得,设,则由,解得,∴.
23.【答案】
(1)见解析;
(2)4【解析】试题分析
(1)由绝对值三角不等式得,从而,要证明,只需证明,作差即可证得;
(2)由题意,,展开用基本不等式最值即可.试题解析
(1).要证明,只需证明,∵,∵,∴,∴,∴,可得.
(2)由题意,,故,当且仅当,时,等号成立.。