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2019届高三数学下学期第二次模拟考试试题理文化班
一、选择题共12小题每小题5分共60分
1.设,若是的必要而不充分条件,则实数的取值范围是A.B.C.D.
2.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游,朝天门、解放碑、瓷器口三个景点,每个人只去一个景点,每个景点至少有一个人去,则甲不到瓷器口的方案有A.60种B.54种C.48种D.24种
3.已知向量与的夹角为,且,,若,且,则实数的值为A.B.C.D.
4.已知点是抛物线上的一点,是其焦点,定点,则的外接圆的面积为A.B.C.D.
5.设是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列命题
①若,则;
②若,则;
③若,则.其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.
36.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为A.B.C.D.
7.已知,则A.B.C.D.
8.习总书记在十九大报告中指出坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣兴盛.如图,“大衍数列”0,2,4,8,12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前n项和的程序框图,执行该程序框图,输入,则输出的S=A.26B.44C.68D.
1009.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按31天算,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为,则的值为A.B.C.D.
10.函数的部分图象大致是
11.已知函数的导数为,不是常数函数,且对恒成立,则下列不等式一定成立的是A.B.C.D.
12.已知函数的图像经过点和,当时,方程有两个不等的实根,则实数的取值范围是A.B.C.D.第II卷(非选择题90分)
二、填空题共4小题每小题5分共20分
13.二项式的展开式中常数项为_____________(用数字表达)
14.已知变量满足约束条件,则的取值范围是______________.
15.已知函数,,过点作函数图像的切线,切点坐标为,,,,则__________.
16.设,分别是双曲线(,)的左、右焦点,过的直线与双曲线分别交于,,且在第一象限,若为等边三角形,则双曲线的实轴长为__________.
三、解答题共7小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答第
22、23题为选考题,考生根据要求作答
17.(本小题满分12分)在锐角中,.
(1)若的面积等于,求;
(2)求的面积的取值范围.
18.(本小题满分12分)北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示全市名高中女生的身高(单位)服从正态分布.现从某高中女生中随机抽取名测量身高,测量发现被测学生身高全部在和之间,现将测量结果按如下方式分成组第组,第组,…,第组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.1求这名女生身高不低于的人数;2在这名女生身高不低于的人中任意抽取人,将该人中身高排名从高到低在全市前名的人数记为,求的数学期望.参考数据,,
19.(本小题满分12分)椭圆的离心率为,过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左顶点为,右顶点为,点是椭圆上的动点,且点与点,不重合,直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,求证以线段为直径的圆恒过定点.
20.(本小题满分12分)在如图所示的五面体中,,,,四边形是正方形,二面角的大小为.
(1)在线段上找出一点,使得平面,并说明理由;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21.(本小题满分12分)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设,求在区间上的最大值;
(3)证明对,不等式成立.(为自然对数的底数)
22.(本小题满分12分)选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线是过点,倾斜角为的直线,以直角坐标系的原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的一个参数方程;(Ⅱ)曲线与曲线相交于,两点,求的值.
23.(本小题满分12分)选修4-5不等式选讲已知函数.
(1)若不等式的解集为,求实数的值;
(2)在
(1)的条件下,若存在实数使成立,求实数的取值范围.参考答案
1.A
2.D
3.C
4.B
5.A
6.A
7.B
8.B
9.B
10.B
11.A
12.D
13.-
16014.
15.
16.
17.
(1)
(2)解析1∵,由正弦定理得,∵,∴,得.由得,所以由解得.
(2)由正弦定理得,∴.又,∴.因为为锐角三角形,∴,∴.
18.解1由直方图知,后组频率为,人数为,即这名女生身高不低于的人数为人;2∵,∴∴.,则全市高中女生的身高在以上的有人,这人中以上的有人.随机变量可取,于是,,∴
19.解
(1),又,联立解得,所以椭圆C的标准方程为.
(2)证明设直线AP的斜率为k,则直线AP的方程为,联立得.,整理得,故,又,分别为直线PA,PB的斜率,所以,所以直线PB的方程为,联立得,所以以ST为直径的圆的方程为,令,解得,所以以线段ST为直径的圆恒过定点.
20.解
(1)当点为线段的中点时,平面;取的中点,连接;因为,,,所以,又四边形是正方形,所以,,故四边形为平行四边形,故,因为平面,平面,所以平面.
(2)因为四边形是正方形,二面角的大小为,所以平面,在中,由余弦定理得,所以.如图,以为原点,以,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,所以,,,设平面的法向量为,由所以取,则,,得,故所求正弦值为.
21.解
(1)的定义域为,,由,得.当时,;当时,.所以函数在上单调递增,在上单调递减.
(2)
①当,即时,在上单调递增,∴.
②当时,在上单调递减,∴.
③当,即时,在上单调递增,在上单调递减,∴
(3)由
(1)知,当时,,所以在上,恒有,即且当时等号成立.因此,对,恒有.∵,∴,即,∴.即对,不等式成立.
22.解
(1)∵,∴,即曲线的普通方程为,由题得,曲线的一个参数方程为(为参数);
(2)设,把,代入中,得,整理得,,∴,∴.
23.解
(1)由,得,∴,即,∴,∴.
(2)由
(1)知,令,则∴的最小值为4,故实数的取值范围是.。