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2019届高三数学下学期第四次月考试题理I
一、选择题本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则A.B.C.D.
2.设复数满足,则下列说法正确的是A.为纯虚数B.的虚部为C.在复平面内,对应的点位于第一象限D.
3.空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法,AQI指数与空气质量对应如下表所示如图是某城市xx12月全月的AQI指数变化统计图.根据统计图判断,下列结论正确的是A.整体上看,这个月的空气质量越来越差.B.整体上看,前半月的空气质量优于后半个月的空气质量.C.从AQI数据上看,前半月的方差大于后半个月的方差.D.从AQI数据上看,前半月的平均值小于后半个月的平均值.
4.下列命题中正确的是A.若为真命题,则为真命题.B.在△ABC中,“AB”是“sinAsinB”的充要条件.C.命题“,则或”的逆否命题为“若或,则”.D.命题,使得,则,使得.5.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.B.C.D.
6.已知实数满足,则的最小值为A.1B.2C.3D.
57.已知向量与的夹角为60°,,则=A.0B.C.或0D.8.已知定义在R上的偶函数满足,则A.-xxB.-2C.0D.xx
9.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点都在同一个球面上,则该球的表面积是A.B.C.D.
10.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车,一个水斗从点出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过秒后,水斗旋转到点,设的坐标为,其纵坐标满足.则下列叙述错误的是.A.B.当时,点到轴的距离的最大值为6C.当时,函数单调递减D.当时,
11.已知双曲线的左、右焦点分别为,点在上,,线段交于点,且,则的离心率为A.B.C.D.
12.若函数和的图像有两个不同的交点,则实数的取值范围是A.B.C.D.
二、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.在平面直角坐标系xOy中,设角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点,则的值为_______14.在的展开式中,的系数为.
15.已知椭圆E:与圆C:相交于A,B两点,点P为劣弧AB上异于AB的动点,与x轴平行的直线PQ交E于点Q点Q在第一象限,则的取值范围是________
16.若的面积为3,且,则的最小值为_____
三、解答题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第
22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.(本小题满分12分)设数列满足.1证明是等比数列,并求的通项公式;2设,数列的前n项和,证明.
18.(本小题满分12分)如图1,四边形PBCD是等腰梯形,BC//PD,PB=BC=CD=2,PD=4,A为PD的中点,将△ABP沿AB折起,如图2,设M为PD的中点.1证明PC⊥平面ABM;2若PC=2求二面角B-CD-M的余弦值.
19.(本小题满分12分)某种规格的矩形瓷砖(600mm×600mm)根据长期检测结果,各厂生产的每片瓷砖质量(kg)都服从正态分布,并把质量在之外的瓷砖作为废品直接回炉处理,剩下的称为正品.
(1)从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查,求至少有1片是废品的概率;
(2)若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为设矩形瓷砖的长与宽分别为mm、mm,则“尺寸误差”mm为,按行业生产标准,其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是、、(正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于
1.0mm的瓷砖),每片价格分别为
7.5元、
6.5元、
5.0元.现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖,相应的“尺寸误差”组成的样本数据如图.用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率.(i)记甲厂该种规格的的2片正品瓷砖卖出的钱数为(元),求的分布列.(ii)由图可知,乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种,求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率.附若随机变量服从正态分布,则;.
20.(本小题满分12分)已知点,平面上的动点满足,1设点的轨迹为曲线,求的方程;2过点的直线交于两点,在点处的切线为经过点的直线交于点与不重合,且//,求面积的最小值.
21.(本小题满分12分)已知函数.1若,证明是定义域上的增函数;2是否存在,使得在处取得极小值?并说明理由.
22.(本小题满分10分)选修4-4极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线,曲线.以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.1求的极坐标方程;2射线的极坐标方程为,若分别与交于异于极点的两点,求的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知函数.求不等式2已知正数满足,证明.莆田一中xx高三年级第四次月考试卷理科数学参考答案选择题ADCBDBABBCBD填空题
13.
14.
3015.
4516.
317.解1证明由已知得数列的奇数项是以1为首项,4为公比的等比数列;数列的偶数项是以2为首项,4为公比的等比数列.………………………………………..1分…………………………………………..3分对任意正整数都有,则…………………………………………………..5分2…………………………………..8分则………..9分即……………………………………………………………………………………..10分则又是递增数列,则…………………………………………………..11分从而.……………………………………………………………………………………..12分
18.解取AB的中点E,连结PE,由已知PA=PB=2,则PE⊥AB………………………………..1分连结AC,由已知△PAB是等边三角形,则∠ABC=∠PAB=60°,所以△ABC是边长为2的正三角形,连结CE,则CE⊥AB.………………………………………..2分又CE∩PE=E,则AB⊥平面PCE,所以AB⊥PC……………………………………………………..3分取PC中点N,连结MNBN.则2MN//CD//AB,从而ABNM四点共面.…………………………………………………………………………………..4分又PB=BC=2,则BN⊥PC.………………………………………………………………………………..5分又AB∩BN=B,ABBN平面ABM,则PC⊥平面ABM……………………………………………..6分2连结AC,BD,设其交点为O,由已知,四边形ABCD是菱形,则AC⊥BD设BO∩CE=M,则M为△ABC的中心.因为PA=PB=PC=2则PM⊥平面ABC,以O为原点,以为x轴,y轴,z轴正方向如图建立空间直角坐标系………7分又因为则,且……………………………..8分………………………………………………………….9分设为平面PCD的法向量,则即令,得……………………………………..10分设为平面ABCD的法向量……………………………………………………………11分则由图知二面角B-CD-M为锐角,则二面角B-CD-M的余弦值为…………………12分
19.解
(1)由正态分布可知,抽取的一片瓷砖的质量在之内的概率为
0.9974,则这10片质量全都在之内即没有废品的概率为;则这10片中至少有1片是废品的概率为.……3分
(2)ⅰ由已知数据,用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为
0.
7、
0.
2、
0.
1.的取值可能为1514,
12.5,13,
11.5,10元.-------------------4分;………7分得到分布列如下…………8分(ⅱ)设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有片“优等”品,则有片“一级”品,由已知,解得,取4或
5.故所求的概率为.………12分
20.解
(1)设则………………………2分化为………………………………………………………………4分
(2),,点处的切线斜率为.……………………5分设直线AB y=kx+1,代入E:,得,,……………………………………………6分,所以.……………………………………7分又,所以直线的斜率,直线的方程为,代入得,显然成立,,…………………………………8分,又点到直线的距离,…………………10分,当且仅当,即时,取等.综上,三角形面积的最小值为.……………………………………12分
22.1故的极坐标方程为…………………2分故的直角坐标方程为…………………3分的极坐标方程为…………………5分2直线分别与联立得,则,则………………6分………………7分………………8分则当时,有最大值………………10分
23.解Ⅰ依题意得,1分当时,,,满足题意,2分当时,,即,3分当时,,,无解,4分综上所述,不等式的解集为.5分