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2019届高三数学下学期阶段性检测4月试题理
一、选择题本大题共12个小题每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.己知i是虚数单位,的共轭复数,,则z的虚部为()A.1B.C.iD.2.已知数集,设函数f(x)是从A到B的函数,则函数f(x)的值域的可能情况的个数为()A.1B.3C.8D.
73.命题,命题的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知,则的大小关系为()A.B.C.D.5.二项式展开式的常数项为()A.B.C.80D.166.若角终边上的点在抛物线的准线上,则()A.B.C.D.
7.在平行四边形ABCD中,,E是BC的中点,•=2,则AD=()A.lB.2C.3D.48.下列说法中正确的是()A.当时,函数是增函数,因为2l,所以函数是增函数.这种推理是合情推理B.在平面中,对于三条不同的直线,将此结论放到空间中也是如此.这种推理是演绎推理C.若分类变量X与Y的随机变量的观测值k越小,则两个分类变量有关系的把握性越小D.9.变量x,y满足约束条件则目标函数的取值范围是()A.B.C.D.10.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为72,27,则输出的()A.18B.9C.6D.
311.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体外接球的表面积为()A.B.C.D.12.已知函数,若函数有两个零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于
0.0228来设计的.设男子身高服从正态分布(单位cm)参考以下概率,,则车门的高度(单位cm)至少应设计为.14.若直线与圆相切,且圆心C在直线l的上方,则ab的最大值为___________.
15.已知函数若存在三个不同的实数,使得,则的取值范围为______________.
16.已知抛物线的焦点为,准线为,过倾斜角为的直线交于两点,,为垂足,点为的中点,,则_____
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第
22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.本小题满分12分等差数列的前n项和为,且.I求数列的通项公式;II若数列满足,求数列的前n项和.
18.本小题满分12分某教育培训中心共有25名教师,他们全部在校外住宿.为安全起见,学校派专车接送教师们上下班.这个接送任务承包给了司机王师傅,正常情况下王师傅用34座的大客车接送教师.由于每次乘车人数不尽相同,为了解教师们的乘车情况,王师傅连续记录了100次的乘车人数,统计结果如下乘车人数1516171819202122232425频数2441016201612862以这100次记录的各乘车人数的频率作为各乘车人数的概率.(Ⅰ)若随机抽查两次教师们的乘车情况,求这两次中至少有一次乘车人数超过18的概率;(Ⅱ)有一次,王师傅的大客车出现了故障,于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车的教师.可供选择的小客车只有20座的型车和22座的型车两种,型车一次租金为80元,型车一次租金为90元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数,王师傅还要付给多出的人每人20元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据,判断王师傅租哪种车较合算?
19.(本小题满分12分)如图,三棱柱中,,,.(Ⅰ)证明;(Ⅱ)若,在棱上是否存在点,使得二面角的大小为,若存在,求的长,若不存在,说明理由.
20.本小题满分12分已知圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点,点,,是椭圆上的两点,它们在轴两侧,且的平分线在轴上,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)证明直线过定点.
21.本小题满分12分已知函数.(Ⅰ)讨论函数在内的单调性;(Ⅱ)若存在正数,对于任意的,不等式恒成立,求正实数的取值范围.选考题共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中,直线的参数方程为(其中t为参数),在以原点O为极点,以轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)设是曲线上的一动点,的中点为,求点到直线的最小值.
23.选修4-5不等式选讲已知函数,.(Ⅰ)若对于任意,都满足,求的值;(Ⅱ)若存在,使得成立,求实数的取值范围.答案
一、选择题ADCBCADCABBD
二、填空题13.184cm14.25/415.
16.
三、解答题
17.(本小题满分12分)解(Ⅰ)设等差数列的公差为,∵∴,解得.∴…………4分(Ⅱ)∵,,当时,当时,适合上式,所以……………8分..……………12分
18.解(Ⅰ)由题意得,在一次接送中,乘车人数超过18的概率为
0.
8.记“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18”为事件,则.即抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18的概率为
0.
96.(Ⅱ)设表示租用型车的总费用(单位元),则的分布列为
801001201401601800.
560.
160.
120.
080.
060.
02.设表示租用型车的总费用(单位元),则的分布列为
901101301500.
840.
080.
060.
02.因此以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据,租型车较合算.
19.(Ⅰ)证明连接为平行四边形,且为菱形………….…2分又,平面……4分又平面……6分(Ⅱ)两两垂直……8分以为坐标原点,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则,设易知,,,则平面的一个法向量设是平面的一个法向量则得……10分,解得在棱上存在点,当时,得二面角的大小为.……12分
20.解(Ⅰ)圆与轴交点即为椭圆的焦点,圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点,所以,.从而,因此椭圆的方程为.(Ⅱ)设直线的方程为.由,消去得.设,,则,.直线的斜率;直线的斜率..由的平分线在轴上,得.又因为,所以,所以.因此,直线过定点.
21.解(Ⅰ),,当时,因为,所以,这时在内单调递增.当时,令得;令得.这时在内单调递减,在内单调递增.综上,当时,在内单调递增,当时,在内单调递减,在内单调递增.(Ⅱ)
①当时,因为在内单调递增,且,所以对于任意的,.这时可化为,即.设,则,令,得,因为,所以在单调递减.又因为,所以当时,,不符合题意.
②当时,因为在内单调递减,且,所以存在,使得对于任意的都有.这时可化为,即.设,则.(i)若,则在上恒成立,这时在内单调递减,又因为,所以对于任意的都有,不符合题意.(ii)若,令,得,这时在内单调递增,又因为,所以对于任意的,都有,此时取,对于任意的,不等式恒成立.综上,的取值范围为.22.
(1)由得的普通方程. ………………2分又由,得,所以,曲线的直角坐标方程为,即. ……………4分
(2)设,,则,由于P是的中点,则,所以,得点的轨迹方程为,轨迹为以为圆心,1为半径的圆.………6分圆心到直线的距离.………………8分所以点到直线的最小值为. ………………10分
23.解(Ⅰ)因为,,所以的图象关于对称.又的图象关于对称,所以,所以.(Ⅱ)等价于.设,则.由题意,即.当时,,,所以;当时,,,所以,综上.。