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2019届高三数学第一次月考试题理含解析
一、选择题每小题5分,共60分
1.设全集U={1234567},M={2346},N={145},则∁UM∩N等于 A.{12457}B.{145}C.{15}D.{14}【答案】C【解析】由已知∁UM={157},所以∁UM∩N={157}∩{145}={15}.故选C点睛
1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解.3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍
2.函数fx在x=x0处导数存在.若p f ′x0=0,q x=x0是fx的极值点,则 A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【答案】C【解析】由条件知由q可推出p,而由p推不出q.故选C.
3.函数y=的定义域是 A.
[12]B.[12C.D.【答案】D【解析】由≥0⇒02x-1≤1⇒x≤
1.故选D
4.已知fx在R上是奇函数,且满足fx+4=fx,当x∈02时,fx=2x2,则f2019= A.-2B.2C.-98D.98【答案】A【解析】∵fx+4=fx,∴fx是以4为周期的周期函数,∴f2019=f504×4+3=f3=f-1.又fx为奇函数,∴f-1=-f1=-2×12=-2,即f2019=-
2.故选A
5.若已知函数fx=则的值是 A.B.3C.D.【答案】D【解析】由函数fx=可知,+1=故选D
6.已知a=,b=,c=log
2.
11.5,则a,b,c的大小关系是 A.cabB.cbaC.abcD.bac【答案】A【解析】由log
2.
7.若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值等于 A.B.-C.D.-【答案】D【解析】由sinα=-,且α为第四象限角,则cosα==,则tanα==-.故选D.
8.的值是 A.-B.0C.D.【答案】D【解析】原式===tan30°=.故选D.
9.若=,则cosπ-2α= A.-B.C.-D.【答案】C【解析】因为=,所以sinα=.则cosπ-2α=-cos2α=2sin2α-1=-.故选C
10.函数fx=2x-sinx的零点个数为 A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】试题分析易知该函数导数恒大于0,所以是单增函数.f0=
0.故只有一个零点.考点函数的单调性,函数的零点,导数
11.函数y=0<a<1的图象的大致形状是 A.B.C.D.【答案】D【解析】函数的定义域为{x|x≠0},所以y==当x>0时,函数是指数函数,其底数0<a<1,所以函数递减;当x<0时,函数图象与指数函数y=axx<0的图象关于x轴对称,函数递增.故选:D.点睛识图常用的方法1定性分析法通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升或下降的趋势,利用这一特征分析解决问题;2定量计算法通过定量的计算来分析解决问题;3函数模型法由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
12.函数fx的定义域是R,f0=2,对任意x∈R,fx+f′x1,则不等式ex·fxex+1的解集为 A.{x|x0}B.{x|x0}C.{x|x-1或x1}D.{x|x-1或0x1}【答案】A【解析】试题分析定义,则不等式的解集就是的解集,且,,∵,∴对于任意,,∴,即在实数域内单调递增;∵,∴,因此不等式的解集为.考点
1、求导法则;
2、导数在解决函数性质中的应用(单调性).
二、填空题每小题5分,共20分
13.sin585°的值为_____【答案】【解析】略
14.=_____【答案】2【解析】.故答案为
215.已知函数fx=,则该函数的单调递增区间为_________【答案】[3,+∞【解析】设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥
3.所以函数的定义域为-∞,-1]∪[3,+∞.因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞上单调递增.所以函数fx的单调递增区间为[3,+∞.故答案为[3,+∞
16.若不等式2xlnx≥-x2+ax-3对x∈0,+∞恒成立,则实数a的取值范围是________.【答案】-∞,4]【解析】2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+,设hx=2lnx+x+x0,则h′x=.当x∈01时,h′x0,函数hx单调递减;当x∈1,+∞时,h′x0,函数hx单调递增,所以hxmin=h1=4,则a≤hxmin=4,故实数a的取值范围是-∞,4].故答案为-∞,4]点睛恒成立的问题
(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;
(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若恒成立,转化为;
(3)若恒成立,可转化为.
三、解答题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤
17.已知函数fx=x2+2ax+3,x∈[-46].1当a=-2时,求fx的最值;2求实数a的取值范围,使y=fx在区间[-46]上是单调函数.【答案】1fx的最小值是f2=-1,fx的最大值是35;2a≤-6,或a≥
4.【解析】试题分析解1当a=-2时,fx=x2-4x+3=x-22-1,由于x∈[-46],∴fx在[-42]上单调递减,在
[26]上单调递增,∴,fx的最小值是f2=-1又f-4=35,f6=15,故fx的最大值是
35.…………6分2由于函数fx的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使fx在[-46]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4…………12分考点二次函数性质点评主要是考查了二次函数的性质以及单调性的运用,属于基础题
18.已知函数fx是定义在R上的偶函数,f0=0,当x0时,fx=.1求函数fx的解析式;2解不等式fx2-1-
2.【答案】1fx=;2-,.【解析】试题分析本题主要考查函数的解析式、奇偶性、不等式的解法.考查函数性质的应用.考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,求对称区间上的函数解析式,最后注意的值不要遗漏;第二问,因为函数为偶函数,所以将所求不等式转化一下,变成,再利用单调性解不等式.试题解析(Ⅰ)当时,,则,2分∵函数是偶函数,∴,4分∴函数是偶函数的解析式为6分(Ⅱ)∵,7分∵是偶函数,∴不等式可化为,9分又∵函数在上是减函数,∴,解得,即不等式的解集为12分考点
1.求函数解析式;
2.解抽象不等式;
3.解绝对值不等式.
19.已知cosα=,,且0βα.1求tan2α的值;2求β的值.【答案】1tan2α;2β=.【解析】试题分析
(1)由cosα=,得到sinα=,而tanα==4,再利用二倍角正切公式得到tan2α=;
(2)cosβ=cos[α-α-β]=cosαcos+sinαsin=,而0βα,故β=.试题解析1由cosα=,0α,得sinα==,所以tanα==4,tan2α==.2由0βα,cosα-β=>0得0α-β,所以sin==,于是cosβ=cos[α-α-β]=cosαcos+sinαsin=×+×=,所以β=.
20.已知分别为内角的对边,.
(1)若,求;
(2)设,且,求的面积.【答案】1;
2.【解析】试题分析
(1)由正弦定理得,,又,所以,利用余弦定理即可得到;
(2)首先利用已知条件判断出为等腰直角三角形,进而求出的面积.试题解析1由正弦定理得,.又,所以,即.则.
(2)解法一因为,所以,即,亦即.又因为在中,,所以,则,得.所以为等腰直角三角形,得,所以.解法二由
(1)可知,
①因为,所以,
②将
②代入
①得,则,所以.点睛解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是第一步定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.第三步求结果.
21.已知函数fx=exax+b-x2-4x,曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=4x+
4.1求a,b的值;2讨论fx的单调性,并求fx的极大值.【答案】1a=4,b=4;2fx在-∞,-2,-ln2,+∞上单调递增,在-2,-ln2上单调递减.当x=-2时,函数fx取得极大值,极大值为f-2=41-e-
2.【解析】1f′x=exax+b+aex-2x-4=exax+a+b-2x-4,∵y=fx在0,f0处的切线方程为y=4x+4,∴f′0=a+b-4=4,f0=b=4,∴a=4,b=
4.2由1知f′x=4exx+2-2x+2=2x+22ex-1,令f′x=0得x1=-2,x2=ln,列表x-∞,-2-2lnf′x+0-0+fx极大值极小值∴y=fx的单调增区间为-∞,-2,;单调减区间为.fx极大值=f-2=4-4e-
2.
22.已知函数fx=lnx+a1-x.1讨论fx的单调性;2当fx有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.【答案】1fx在上单调递增,在上单调递减;20,
1.试题解析解(Ⅰ)的定义域为若,则,所以在单调递增若,则当时,;当时,所以在单调递增,在单调递减(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,在无最大值;当时,在取得最大值,最大值为因此等价于令,则在单调递增,于是,当时,;当时,因此,的取值范围是。