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2019届高三数学第一次模拟月考考试试题理
1、选择题本题12小题,每小题5分,共60分)
1、复数的共轭复数是( )ABCD
2、已知全集,集合,,则ACB=A.B.C.D.
3、设随机变量服从正态分布,若,则()A.1B.2C.3D.
44、下列有关命题的说法错误的是()A.若“”为假命题,则与均为假命题;B.“”是“”的充分不必要条件;C.若命题,则命题;D.“”的必要不充分条件是“”.
5、欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时,被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知,表示的复数在复平面中位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.在区间上任取两个数,则这两个数之和大于3的概率是()A.B.C.D.7.函数的图像大致为8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.B.C.D.9.若仅存在一个实数,使得曲线关于直线对称,则的取值范围是()A.B.C.D.
10.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为()A.18B.24C.30D.
3611、已知和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则该双曲线的离心率为ABCD
12、已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是()A.B.C.D.
二、填空题(本题4小题,每小题5分,共20分)13.已知菱形的边长为,,则等于________.14.记为数列的前项和,若,则_____________.15.抛物线的焦点为,点,为抛物线上一点,且不在直线上,则周长的最小值为____________.16.已知点在同一个球的球面上,,,若四面体的体积为,球心恰好在棱上,则这个球的表面积为________.
三、解答题17.(12分)设是数列的前项和,已知,.
(1)求数列的通项公式
(2)设,求数列的前项和.
18、(12分)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下甲公司底薪70元,每单抽成2元;乙公司无底薪,40单以内含40单的部分每单抽成4元,超出40单的部分每单抽成6元.假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其100天的送餐单数,得到如下频数表甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010
(1)现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天,求这两天送餐单数都大于40的概率;
(2)若将频率视为概率,回答以下问题(ⅰ)记乙公司送餐员日工资为单位元求的分布列和数学期望;(ⅱ)小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.19.(12分)如图,四边形是矩形,沿对角线将折起,使得点在平面上的射影恰好落在边上.
(1)求证平面平面;
(2)当时,求二面角的余弦值.20.(12分)已知点和动点,以线段为直径的圆内切于圆.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)已知点,,经过点的直线与动点的轨迹交于,两点,求证直线与直线的斜率之和为定值.
21、(12分)¨°aoˉêy,
(1)¨ºè·¨oˉêy¦Ìáμêy£¡ê¡§2¡ê¨¦¨¨¡ê¨ºoˉêy¦Ìáá죤÷£o¡ê22.[选修4-4坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).
(1)求和的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.理科数学答案附理科答案
一、选择题1-------5BCBDC6--------10ABDDC11--12CB二填空题
13.
14.-
6315.
1316.
161、解答题
17、【答案】
(1);
(2).【解析】
(1)∵,,∴当时,,得;····1分当时,,∴当时,,即,····3分又,····4分∴是以为首项,为公比的等比数列.····5分∴数列的通项公式为.····6分
(2)由
(1)知,,····7分,····8分当为偶数时,;····10分当为奇数时,,∴.····12分/
18、解
(1)记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件,则;…………4分
(2)(ⅰ)设乙公司送餐员送餐单数为,则当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.所以的所有可能取值为152,156,160,166,172.…………6分故的分布列为152156160166172.…………8分(ⅱ)依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为.…………10分所以甲公司送餐员日平均工资为元.…………11分由(ⅰ)得乙公司送餐员日平均工资为元.因为,故推荐小明去乙公司应聘.…………12分
19、【答案】
(1)见解析;
(2).【解析】
(1)设点在平面上的射影为点,连接,则平面,所以.因为四边形是矩形,所以,所以平面,····2分所以.····3分又,所以平面,····4分而平面,所以平面平面.····5分
(2)以点为原点,线段所在的直线为轴,线段所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设,则,所以,.····6分由
(1)知,又,所以,,那么,,,····8分所以,所以,.设平面的一个法向量为,则,即.取,则,,所以.····10分因为平面的一个法向量为,····11分所以.所以二面角的余弦值为.····12分
20、【答案】
(1);
(2)见解析.【解析】
(1)如图,设以线段为直径的圆的圆心为,取.依题意,圆内切于圆,设切点为,则,,三点共线,为的中点,为中点,.····1分,∴动点的轨迹是以,为焦点,长轴长为4的椭圆,····3分设其方程为,则,,,,,动点的轨迹方程为.····5分
(2)
①当直线垂直于轴时,直线的方程为,此时直线与椭圆相切,与题意不符.····6分
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为.由消去整理得.····7分∵直线与椭圆交于,两点,∴,解得.····8分设,,则,,····9分(定值).····12分
21、(I)由f(x)=0得a=(2-x)ex,令g(x)=(2-x)ex,函数f(x)的零点个数即直线y=a与曲线g(x)=(2-x)ex的交点个数,∵g(x)=-ex+(2-x)ex=(1-x)ex,-------------(2分)由g(x)0得x1,∴函数g(x)在(-∞,1)单调递增,由g(x)0得x1,∴函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,∴当x=1时,函数g(x)有最大值,g(x)max=g
(1)=e,----------(3分)又当x2时,g(x)0,g
(2)=0,当x2时g(x)0,∴当ae时,函数f(x)没有零点;----------------------------(4分)当a=e或a≤0时,函数f(x)有一个零点;---------------------(5分)当0ae时,函数f(x)有两个零点.-----------------------(6分)(II)证明函数f(x)的零点即直线y=a与曲线g(x)=(2-x)ex的交点横坐标,不妨设x1x2,由(I)知x11,x21,得2-x21,∵函数g(x)=(2-x)ex在(-∞,1)上单调递增,∴函数f(x)=-g(x)+a在(-∞,1)单调递减,要证x1+x22,只需证x12-x2,-------------------------------(7分)∴只需证f(x1)f(2-x2),又f(x1)=0,即要证f(2-x2)0,-----------(8分)∵由a=g(x2)得f2-x2=-x2e2-x2+a=-x2e2-x2-x2-2ex2,(x21)-------(9分)令h(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则h(x)=(1-x)(ex-e2-x),------------(10分)当x1时,exe2-x,h(x)0,即函数h(x)在(1,+∞)上单调递减,∴h(x)h
(1)=0,∴当x21时,f(2-x2)0,即x1+x22.-----------------(12分)证法二由(Ⅰ)知,a0,不妨设x11x2,设F(x)=f(x)-f(2-x)(x1),则F(x)=(x-2)ex+xe2-x,--------(8分)F(x)=(1-x)(e2-x-ex),易知y=e2-x-ex是减函数,当x1时,e2-x-exe-e=0,又1-x0,得F(x)0,所以F(x)在(1,+∞)递增,F(x)F
(1)=0,即f(x)f(2-x).-----(10分)由x21得f(x2)f(2-x2),又f(x2)=0=f(x1),所以f(2-x2)f(x1),由g(x)=(2-x)ex在(-∞,1)上单调递增,得f(x)=-g(x)+a在(-∞,1)单调递减,又2-x21,∴2-x2x1,即x1+x22,得证.-----------------------(12分)
22、解析
①因为曲线C截直线L所得线段的中点12在C内,所以
①有两个解,设为,则又
①得,故2cosa+sina=0,于是直线L的斜率K=tana=-2。