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2019届高三数学第一次联考试题理含解析
一、选择题本大题共12个小题每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】集合,所以,故选D.
2.记复数的共轭复数为,若(为虚数单位),则复数的模()A.B.1C.D.2【答案】A【解析】由,得,,故选A.
3.在等差数列中,,则数列的前11项和()A.24B.48C.66D.132【答案】C【解析】试题分析设等差数列公差为,则,所以有,整理得,,,故选C.考点等差数列的定义与性质.
4.已知表示不超过实数的最大整数,为取整函数,是函数的零点,则等于()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】,故,故选B.
5.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响,则值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】设“甲射击一次,击中目标”为事件,“乙射击一次,击中目标”为事件,则“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,击中目标”为事件,则,依题意得,解得,故选C.
6.如下图,是一个算法流程图,当输入的时,那么运行算法流程图输出的结果是()A.10B.20C.25D.35【答案】D【解析】当输入的时,;;;;;否,输出,故选D.
7.二项式展开式中,项的系数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】二项式展开式的通项为,令,系数为,故选C.
8.设为抛物线的焦点,过且倾斜角为60°的直线交曲线于两点(点在第一象限,点在第四象限),为坐标原点,过作的准线的垂线,垂足为,则与的比为()A.B.2C.3D.4【答案】C【解析】抛物线的焦点,准线为,设,则,由则,即有.故选C.
9.已知函数的定义域为,且,又函数的导函数的图象如图所示,若两个正数满足,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由导函数图象,可知函数在上为单调增函数,正数满足,又因为表示的是可行域中的点与的连线的斜率所以当与相连时斜率最大,为,当与相连时斜率最小为,的取值范围是,故选A.
10.已知正内接于半径为2的圆,点是圆上的一个动点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系设.则,,故选B.点睛平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.
11.三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.B.C.D.【答案】B【解析】如图,取中点,连接,则在中,在中,,所以,设球心到平面ABC的距离为因为平面ABC且底面为正三角形所以.因为的外接圆的半径为所以由勾股定理可得所以三棱锥外接球的表面积是故选B.点睛思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法
1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;
2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;
3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.
12.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】A【解析】函数是定义在上的函数,所以有,不等式可变形为,构造函数,,所以在上单增,由,可得,故选A.点睛本题考查的是构造函数,利用条件构造,进而将不等式转化为,即,若函数在区间上单调递增,则时,有,事实上,若则,这与矛盾,类似地,若在区间上单调递减,则当时有;据此可以解不等式,由函数值的大小,根据单调性就可以得自变量的大小关系.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.函数是奇函数,则等于__________.【答案】【解析】因为函数是奇函数,所以,有.
14.已知边长为2的正方形的四个顶点在球的球面上,球的体积为,则与平面所成的角的余弦值为__________.【答案】【解析】过作平面,垂足为,则为正方形的中心正方形的边长为,球的半径.与平面所成的角的余弦值为.
15.双曲线的左、右焦点分别为是左支上一点,且,直线与圆相切,则的离心率为__________.【答案】【解析】设直线与圆相切于点,则,取的中点连接,由于则,由,则,即有,由双曲线的定义可得,即,即,即,,即,则.故答案为.
16.已知函数,数列中,,则数列的前100项之和__________.【答案】10200【解析】因为,所以同理可得的前100项之和.故答案为.点睛本题中由条件,由余弦函数的值可将分成四种情况,即将数列分成四个一组求和即可.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设的内角的对边分别为,且满足.
(1)试判断的形状,并说明理由;
(2)若,试求面积的最大值.【答案】
(1);
(2).【解析】试题分析
(1)由,利用正、余弦定理,得,化简整理即可证明为直角三角形;
(2)利用,,根据基本不等式可得,即可求出面积的最大值.试题解析解法1
(1)∵,由正、余弦定理,得,化简整理得,∵,所以,故为直角三角形,且;
(2)∵,∴,当且仅当时,上式等号成立,∴.故,即面积的最大值为.解法2
(1)由已知,又∵,,∴,而,∴,∴,故,∴为直角三角形.
(2)由
(1),∴.∵,∴,∴,令,∵,∴,∴.而在上单调递增,∴.
18.为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为123,其中第2组的频数为
12.
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人,设表示体重超过60公斤的学生人数,求的分布列和数学期望.【答案】
(1);
(2)分布列见解析,期望为.试题解析(Ⅰ)设报考飞行员的人数为前三小组的频率分别为由条件可得:解得,又因为,故(Ⅱ)由(Ⅰ)可得一个报考学生体重超过60公斤的概率为,所以X服从二项分布随机变量X的分布列为x0123p则考点频率分布直方图,二项分布及其数学期望.【易错点晴】在频率分布直方图中各组的频率是各个小矩形的面积表示,不要误认为矩形的高就是频率,同时所有矩形的面积和为,这是求解各组频率的关键,频率的求解公式是,其中是频数,是样本容量;二项分布中的概率公式是,公式中的和位置不能颠倒,否则求得的概率就是错的,最后求解数学期望是可直接用二项分布的期望公式,来简化运算,提高解题速度和准确率.
19.如图,三棱柱中,,,平面平面,与相交于点.
(1)求证平面;
(2)求二面角的余弦值.【答案】
(1)详见解析;
(2).【解析】试题分析
(1)可利用推论“若两平面垂直,一个平面上的直线垂直于两平面交线,则直线垂直于另一个平面”证明线面垂直
(2)以为原点,以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量即可求得二面角余弦值试题解析
(1)证明设的中点为,连.∵,∴四边形为菱形,且为正三角形,∴.∵,∴.而,∴平面,∴.∵四边形为菱形,则有,又平面平面,平面平面,∴平面,∴,又∵,∴平面.
(2)如图,∵,∴,以为原点,以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,∵,∴.从而,有,.∴.设面的法向量为,则,又面的法向量为,设二面角的大小为,由图知为锐角,则.点睛利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.
20.已知椭圆上的点到右焦点的最小距离是,到上顶点的距离为,点是线段上的一个动点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点,使得?并说明理由.【答案】
(1);
(2)详见解析.【解析】试题分析1根据题意可以知道且计算得出由此可求出椭圆的方程.2假设存在满足题意的直线l设l的方程为代入得设再由根与系数的关系结合题设条件能够导出不存在这样的直线.试题解析
(1)由题意可知,且,解得,∴椭圆的方程为.
(2)由
(1)得,所以.假设存在满足题意的直线,设的方程为,代入,得,设,则,
①∴,∴.∵,且的方向向量为,∴,当时,,即存在这样的直线;
②当时,不存在,即不存在这样的直线.
21.已知函数.
(1)当时,试求函数图像过点的切线方程;
(2)当时,若关于的方程有唯一实数解,试求实数的取值范围;
(3)若函数有两个极值点,且不等式恒成立,试求实数的取值范围.【答案】
(1);
(2)或;
(3).【解析】试题分析对于
(1),先利用导数求出切线的斜率,再写出点斜式方程;对于
(2),方程可化为,构造,通过研究的单调性即可求出的范围.对于
(3),首先根据有两个极值点,利用导数求出的取值范围以及极值点;将恒成立转化为恒成立,然后构建函数求出的最小值即可.试题解析
(1)当时,有.∵,∴,∴过点的切线方程为,即.
(2)当时,有,其定义域为,从而方程可化为,令,则,由或;.∴在和上单调递增,在上单调递减,且,又当时,;当时,.∵关于的方程有唯一实数解,∴实数的取值范围是或.
(3)∵的定义域为.令.又∵函数有两个极值点,∴有两个不等实数根,∴,且,从而.由不等式恒成立恒成立,∵,令,∴,当时恒成立,∴函数在上单调递减,∴,故实数的取值范围是.点睛已知函数有零点求参数常用的方法和思路
(1)直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法先将参数分离,转化成函数的值域问题解决;
(3)数形结合法先对解析式变形,在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.请考生在
22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中,过点的直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于不同的两点.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若,求实数的值.【答案】
(1)直线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为;
(2).【解析】试题分析
(1)依据参数方程、极坐标与普通方程的转化关系,可求出直线与曲线的普通方程
(2)设出两点的参数,依据题意得出关于参数的方程,综合与的关系,可求出的值试题解析
(1)∵(为参数),∴直线的普通方程为.∵,∴,由得曲线的直角坐标方程为.
(2)∵,∴,设直线上的点对应的参数分别是,则,∵,∴,∴,将,代入,得,∴,又∵,∴.
23.选修4-5不等式选讲设函数.
(1)若,解不等式;
(2)若有最小值,求实数的取值范围.【答案】
(1);
(2).【解析】试题分析1去掉绝对值得到不等式计算得出即可2把含所有绝对值的函数化为分段函数再根据函数有最小值的充要条件即可求得.试题解析
(1)时,,即,,解得,所以解集为.
(2)因为,所以有最小值的充要条件为,即.。