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2019届高三数学第五次月考试卷文含解析
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析因为,所以.考点集合的运算.
2.在复平面内,复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】直接把给出的复数写出代数形式,得到对应的点的坐标,则答案可求【详解】由题意,复数,所以复数对应的点的坐标为位于第一象限,故选A【点睛】本题主要考查了复数的代数表示,以及复数的几何意义的应用,其中解答中熟记复数的代数形式和复数的表示是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题
3.如图,一个封闭的长方体,它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母,现放成下面三种不同的位置,所看见的表面上的字母已表明,则字母A、B、C对面的字母依次分别为A.E.D.FB.F.D.EC.E.F.DD.D.E.F【答案】D【解析】第一个正方体已知A,B,C,第二个正方体已知A,C,D,第三个正方体已知B,C,E,且不同的面上写的字母各不相同,则可知A对面标的是E,B对面标的是D,C对面标的是F.选D.
4.将函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度,再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度得到函数,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式为考点三角函数图像变换
5.在公比为的正项等比数列中,,则当取得最小值时,()A.B.C.D.【答案】A【解析】,当且仅当时取等号,所以,选A.
6.在中,内角的对边分别为,若,则角为()A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析由由正弦定理得,那么结合,所以cosA==,所以A=,故答案为A考点正弦定理与余弦定理点评本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题
7.过的直线被圆截得的线段长为2时,直线的斜率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析圆的半径R=3,半弦长为1,∴圆心到直线的距离等于2,设直线方程为kx-y-2k=0则=2,∴k=考点直线与圆的弦长点评本题考查了直线与圆的弦长问题,根据半径,半弦长,圆心到直线的距离关系是解题的关键.
8.已知变量满足,则的最大值为A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域,欲求得最大值,即要求取最大值,再结合图象,即可求解【详解】由题意,作出约束条件所表示的可行域,如图所示,又设,结合图象,可得经过点A时,此时取得最大值,又由,解得,此时的最大值,所以的最大值为,故选C【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题的应用,以及对数的应用,其中解答中根据约束条件画出可行域,结合图象求出的最大值,进而求解得最大值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题
9.已知☉M经过曲线的一个顶点和一个焦点,圆心M在双曲线S上,则圆心M到双曲线S的中心的距离为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据圆M经过双曲线的一个顶点和一个焦点,可得圆心M到双曲线的右焦点与右顶点的距离相等,从而可得圆心M的横坐标为4,代入双曲线的方程,求得点M的坐标,即可求出圆心M到双曲线S的中心之间的距离【详解】由题意,圆M经过双曲线的一个顶点和一个焦点,易知该顶点和焦点在异侧时不成立,不妨设为右顶点和右焦点所以圆心M到双曲线的右焦点和右顶点的距离相等,所以圆心的横坐标为4,代入双曲线的方程,可得点M的纵坐标为,所以点M到原点的距离为,故选D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中根据圆心M到双曲线的右焦点与右顶点的距离相等,求解圆M的横坐标,代入双曲线的方程,求解点M的纵坐标是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题
10.如图所示,在正四棱锥S-ABCD中,是的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持.则动点的轨迹与△组成的相关图形最有可有是图中的 【答案】A【解析】试题分析取CD中点F,AC⊥EF,又∵SB在面ABCD内的射影为BD且AC⊥BD,∴AC⊥SB,取SC中点Q,∴EQ∥SB,∴AC⊥EQ,又AC⊥EF,∴AC⊥面EQF,因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP.故选A.考点本题考查学生应用线面垂直的知识点评解决该试题的关键是,由于总保持PE⊥AC,那么AC垂直PE所在的一个平面,AC⊥平面SBD,不难推出结果.考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.
11.若,且与的夹角为60°,当取得最小值时,实数的值为()A.2B.-2C.1D.-1【答案】C【解析】试题分析,可知当时,取得最小值.考点向量数量积.
12.已知函数是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的不等实数,不等式恒成立,则不等式的解集为A.B.C.D.【答案】C【解析】对于任意给定的不等实数x
1、x2,不等式恒成立,则fx在R上单调递减;函数fx+1是定义在R上的奇函数,f1=0不等式f1-x0=f1即1-x1所以x
0.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分
13.已知向量=1,-2,=x4,且∥,则的值为________.【答案】【解析】【分析】根据向量平行的坐标公式,求出的值,然后利用数量积的定义,即可得到结论【详解】由题意,向量,因为,所以,解得,所以.故答案为-
10.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算,以及平面向量的数量积的运算,其中解答中熟记平面向量的坐标运算公式,以及平面向量的数量积的运算公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题
14.若是从区间内任意选取的一个实数,也是从区间内任意选取的一个实数,则的概率为__________.【答案】【解析】分析不等式组表示的是正方形区域,面积为,满足的平面区域为阴影部分的面积,利用几何概型概率公式可得结果.详解根据题意,画出图形,如图所示,则不等式组表示的是正方形区域,面积为,其中满足的平面区域为阴影部分的面积,故所求的概率为,故答案为.点睛对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法.
15.若点在直线上,则___________.【答案】【解析】由题意得tanα=-2,所以tan===-.
16.已知函数,若,则实数的取值范围____________.【答案】【解析】试题分析由已知,函数在单调递增,且,故即为,则,解得.考点函数的性质.【方法点睛】函数单调性的常见的命题角度有
1、求函数的值域或最值;
2、比较两个函数值或两个自变量的大小;
3、解函数不等式首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后根据函数的单调性去掉“”,转化为具体的不等式(组),此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内;
4、求参数的取值范围或值.
三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,.
(1)求,的通项公式;
(2)求数列的前项和.【答案】
(1);
(2).【解析】试题分析
(1)根据等差数列和等比数列的通项公式,联立方程求得;
(2)错位相减法求和.试题解析
(1)设的公差为,的公比为,则依题意有且………………1分解得.………………3分所以.
(2),,
①.
②①-
②得,所以考点等差数列的概念与通项公式,错位相减法求和,等比数列的概念与通项公式.【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和,通过设的公差为,的公比为,根据等差数列和等比数列的通项公式,联立方程求得和,进而可得,的通项公式;
(2)数列的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成,需用错位相减法求得前项和.
18.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛,他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是
83.
(1)求x和y的值;
(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.【答案】
(1);
(2)【解析】【分析】1由题意,甲班学生的平均分是85,根据平均数的公式,即求解,再由中位数的求解,即可求解
(2)甲班成绩在90分以上的学生有两名,分别记为,乙班成绩在90分以上的学生有三名,分别记为得到从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况,其中甲班至少有一名学生共有7种情况,利用古典概型及概率的计算公式,即可求解【详解】1由题意,甲班学生的平均分是85,所以,解得,又因为乙班学生成绩的中位数是83,根据中位数的定义,可得
(2)甲班成绩在90分以上的学生有两名,分别记为,乙班成绩在90分以上的学生有三名,分别记为从这五名学生任意抽取两名学生共有10中情况其中甲班至少有一名学生共有7种情况,所以“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生”为事件,则.即“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生”的概率为.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式求解概率,以及平均数与中位数的应用,其中解答中熟记平均数和中位数的公式,以及列举出基本事件的总数,利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题
19.如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,,点是的中点,,交于点.
(1)求证平面平面;
(2)求三棱锥的体积.【答案】
(1)详见解析;
(2).【解析】试题分析
(1)求证平面平面,证明两个平面垂直,只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可,注意到已知,可想到证明面,只需证明,或,但位置不确定,可考虑证,由已知点是的中点,已知,故,而四棱锥的底面是正方形,底面,故面,这样能得到面,从而得,问题得证;
(2)求三棱锥的体积,由于是的中点,则,这样转化为求,由图可知,容易求出.试题解析
(1)∵底面,∴又∴面∴······
①3分又,且是的中点,∴·········
②由
①②得面∴又∴面∴平面平面6分
(2)∵是的中点,∴.9分12分考点面面垂直,几何体的体积.
20.设椭圆的左焦点为F离心率为过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.Ⅰ求椭圆的方程;Ⅱ设AB分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于CD两点.若求k的值.【答案】ⅠⅡ【解析】试题分析
(1)利用离心率、通径长度及得到关于的方程组求解即可;
(2)写出相关点坐标,设出直线方程,与椭圆方程进行联立,利用根与系数的关系、数量积的运算进行求解.试题解析
(1)由题意,可知,解得,即椭圆的标准方程为;
(2)由
(1)可知直线设联立消得又所以解得考点1.椭圆的标准方程;2.直线与椭圆的位置关系;3.数量积运算.【技巧点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及数量积运算的应用,属于中档题;有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目,往往计算量较大,灵活利用一些结论可减少计算量,通过解题速度,如本题中,应用了“椭圆或双曲线的通径长度为”的结论,又应用了“设而不求”的整体思想.【此处有视频,请去附件查看】
21.已知函数.
(1)求函数的最大值;
(2)设,且,证明.【答案】
(1)0;
(2)见解析【解析】【分析】
(1)由题意,求得函数的导数,利用导数得到函数的单调性,即可求解最大值
(2)由
(1),把当-1<x<0时,gx<1等价于设fx>x,构造新函数hx=fx-x,利用导数得到函数的单调性和极值,即可求解【详解】
(1)由题意,求得.当x∈-∞,0时,>0,fx单调递增;当x∈0,+∞时,<0,fx单调递减.所以fx的最大值为f0=0.
(2)由
(1)知,当x>0时,fx<0,gx<0<1.当-1<x<0时,gx<1等价于设fx>x.设hx=fx-x,则.当x∈-1,-0时,0<-x<1,0<<1,则0<<1,从而当x∈-1,0时,<0,hx在-1,0单调递减.当-1<x<0时,hx>h0=0,即gx<1.综上,总有gx<1.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行1考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;2利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;3利用导数求函数的最值极值,解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用
22.已知在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线的距离d的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析(Ⅰ)应用代入法,将代入,即可得到直线l的普通方程;将,代入曲线C的极坐标方程,即得曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)由圆的参数方程设出点,根据点到直线的距离公式得到的式子,并应用三角函数的两角和的余弦公式,以及三角函数的值域化简,即可得到的范围.试题解析(Ⅰ)直线的普通方程为;曲线的直角坐标方程为---4分(Ⅱ)设点,则所以的取值范围是.考点
1.参数方程化成普通方程;
2.简单曲线的极坐标方程.
23.已知函数.
(1)解不等式;
(2)若,且,求.【答案】
(1);
(2)见解析【解析】【分析】
(1)由题意,得,分类讨论,即可求解;
(2)利用分析法,要证,只需,只需,利用作差法,即可证明【详解】
(1)由,得,当,则不等式等价于,解得;当,则不等式等价于,不等式的解集为空集;当,则不等式等价于,解得,综上可知,不等式的解集为;
(2)要证,只需证,只需证,而,从而原不等式成立.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法,以及绝对值不等式的证明问题,其中将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是绝对值不等式部分命题的新动向.。