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2019届高三数学第四次模拟考试试题理
一、选择题本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.若ii,则A.B.C.D.2.已知集合,则中元素的个数为A.9B.8C.5D.
43.向量a,b满足|a|=1,|b|=,a+b⊥2a-b,则向量a与b的夹角为A.45°B.60°C.90°D.120°4.设x,y满足约束条件,则的取值范围是A.
[02]B.
[03]C.[–32]D.[–30]5.执行如图所示的程序框图,如果运行结果为5040,那么判断框中应填入A.k6B.k7C.k6D.k
76.函数的图象大致为A.B.C.D.7.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为
0.6和
0.5,现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率为A.
0.45B.
0.6C.
0.65D.
0.758.如图是三棱锥DABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于A.B.C.D.
9.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点A11,B0,-1,则|PA|+|PB|的最大值为A.2 B.3C.4D.510.将函数fx=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数gx的图象,若函数gx在区间和上均单调递增,则实数a的取值范围是A.B.C.D.11.已知函数fx=ex-e-xx,flog5x+flogx≤2f1,则x的取值范围是A.B.
[15]C.D.∪[5,+∞12.已知点为双曲线的右焦点,已知直线与交于,两点,若,设,且,则该双曲线的离心率的取值范围是A.B.C.D.
二、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数fx=若函数gx=fx-m有3个零点,则实数m的取值范围是________.14.1+x+x26的展开式中的常数项为________.
15.已知圆锥的顶点为,母线,互相垂直,与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的侧面积为__________.
16.在△ABC中,若BC=6,AB=2AC则△ABC的面积的最大值为__________.
三、解答题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题满分12分)已知数列的前项和为,,数列满足.
(1)求;
(2)设,求数列的前项和.
18.本小题满分12分)如图,平行四边形中,,,是AB的中点.将沿折起,如图使面面,是的中点.
(1)求证平面;
(2)若是棱上的动点,当为何值时,二面角的大小为.
19.本小题满分12分)已知抛物线上点处的切线方程为.
(1)求抛物线的方程;
(2)设和为抛物线上的两个动点,其中且,线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.20.本小题满分12分近年来,随着汽车消费的普及,二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对xx成交的二手车的交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到如图1所示的频率分布直方图.在图1对使用时间的分组中,将使用时间落入各组的频率视为概率.图1图2
(1)若在该交易市场随机选取3辆xx成交的二手车,求恰有2辆使用年限在的概率;
(2)根据该汽车交易市场往年的数据,得到图2所示的散点图,其中单位年表示二手车的使用时间,单位万元表示相应的二手车的平均交易价格.
①由散点图判断,可采用作为该交易市场二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程,相关数据如下表表中,
5.
58.
71.
9301.
479.75385试选用表中数据,求出关于的回归方程;
②该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择.甲对每辆二手车统一收取成交价格的的佣金;乙对使用8年以内含8年的二手车收取成交价格的的佣金,对使用时间8年以上不含8年的二手车收取成交价格的的佣金.假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量,根据回归方程和图表1,并用各时间组的区间中点值代表该组的各个值.判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金.附注
①对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为;
②参考数据.
21.本小题满分12分)已知函数.1求函数的极值;2令函数若直线与的图象相交于不同的两点证明.请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22.选修4-4坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数.在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于两点,求.
23.选修4-5不等式选讲(10分)已知函数,,.
(1)当时,解关于的不等式;
(2)若对任意,都存在,使得不等式成立,求实数的取值范围.红岭中学xx-xx第二学期高三第四次统一考试数学(理科)试卷答案
一、选择题BACCBADADBCD
二、填空题13.
(01)
14.-
515.
816.12
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.解
(1)由已知,
①………………………1分………………………2分解得,………………………4分所以,.………………………6分
(2)由(Ⅰ)得,,.………………………7分所以,………………………9分所以.……………………12分
18.解
(1)连接,因为,是的中点,所以是正三角形,取的中点,则,∵面面,∴平面,平面,∴,………………2分连接,为正三角形,是中点,,为的中位线,∴,故,∴平面………………4分
(2)由
(1)可知,,,以为坐标原点,以方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系如图所示,………………5分不妨设则,,,则,设,可得,………………7分设为平面的一个法向量,则有,,即,令,可得,所以,………………9分易知为平面的一个法向量,因为二面角的大小为,所以有,解得,……………11分当时,二面角的大小为.………………12分
19.解(Ⅰ)设点,由得,求导,因为直线的斜率为-1,所以且,解得,所以抛物线的方程为.………4分说明也可将抛物线方程与直线方程联立,由解得)(Ⅱ)设线段中点,则,∴直线的方程为,即,过定点.------6分联立得,,-----8分设到的距离,,------10分当且仅当,即时取等号,的最大值为.……12分(另解可以令,构造函数,求导亦可)20.解
(1)由频率分布直方图知,该汽车交易市场xx成交的二手车使用时间在的频率为,使用时间在的频率为.所以在该汽车交易市场xx成交的二手车随机选取1辆,其使用时间在的概率为,2分所以所求的概率为.3分
(2)
①由得,则关于的线性回归方程为.4分由于则关于的线性回归方程为,…………6分所以关于的回归方程为……………7分
②根据频率分布直方图和
①中的回归方程,对成交的二手汽车可预测使用时间在的频率为,对应的成交价格的预测值为;使用时间在的频率为,对应的成交价格预测值为;使用时间在的频率为,对应的成交价格的预测值为;使用时间在的频率为,对应的成交价格的预测值为;使用时间在的频率为,对应的成交价格的预测值为………9分若采用甲方案,预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为=万元;若采用乙方案,预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元.因为,所以采用甲方案能获得更多佣金. ……………12分
21.解Ⅰ由,得.………………………………………………1分
①当时,,此时在上单调递增,无极值;……………………2分
②当时,令,得.当时,单调递减;当时,单调递增;故当时函数取极小值;…………………………………………4分综上,当时,无极值;当时,有极小值,无极大值.………………………………………5分Ⅱ解法一由题可得,由此可知直线与的图象的两个交点位于第一象限,不妨设.于是有………………………………………………………………………6分令,则,于是,解得,,…………………………………………………7分于是,从而,……………………………………………9分设,则.…………………10分令,由和,得,…………………………………………11分所以,,故原不等式得证.……………………………………………12分解法二由题可得,且,,不妨设,可得,,…………………8分两式相减得,考察函数在区间上的定积分,可知,……11分于是有成立.…………………………………12分22.解法一
(1)由得的普通方程为,…………1分又因为,所以的极坐标方程为.3分(或)由得,即,4分所以的直角坐标方程为.5分
(2)设的极坐标分别为,则6分由消去得,7分化为,即,8分因为,即,所以,或,9分即或所以.10分解法二
(1)同解法一……………………………5分
(2)曲线的方程可化为,表示圆心为且半径为1的圆.6分将的参数方程化为标准形式其中为参数,代入的直角坐标方程为得,,整理得,,解得或.8分设对应的参数分别为,则.所以,9分又因为是圆上的点,所以10分解法三
(1)同解法一.……………………………5分
(2)曲线的方程可化为,表示圆心为且半径为1的圆.6分又由
①得的普通方程为,7分则点到直线的距离为,8分所以,所以是等边三角形,所以,9分又因为是圆上的点,所以10分
23.解
(1)当时,,则2分当时,由得,,解得;当时,恒成立;当时,由得,,解得.4分所以的解集为.5分
(2)因为对任意,都存在,使得不等式成立,所以.6分因为,所以,且,
①当时,
①式等号成立,即.7分又因为,
②当时,
②式等号成立,即.8分所以,整理得,,9分解得或,即的取值范围为.10分。