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2019届高三数学考前模拟考试试题文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟
一、选择题本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()A.B.C.D.
2.已知复数的实部和虚部相等,则A.B.C.D.
3.下列命题正确的个数是()
①命题“”的否定是“”;
②函数的最小正周期为是“”的必要不充分条件;
③在上恒成立在上恒成立;
④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.A.1B.2C.3D.44.已知点P的坐标(x,y)满足,过点P的直线l与圆C x2+y2=16相交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )A.B.C.D.
5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为“有一个人走里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了天后到达目的地”,请问第天比第天多走A.12里B.24里C.36里D.48里6.设方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2,则( )A.x1x2<0B.x1x2=1C.x1x2>1D.0<x1x2<17.某程序框图如右图所示,其中,若输出的,则判断框内应填入的条件为()A.B.C.D.
6.如图,小正方形的边长为,粗线画出的是某空间几何体的三视图,则该几何体的体积可能为()A.B.C.D.
9.为得到函数的图象,只需将函数的图像()A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位
10.已知双曲线的渐近线方程为,则双曲线的离心率()A.B.C.或D.或
11.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设三个内角所对的边分别为,面积为,则“三斜求积”公式为.若则用“三斜求积”公式求得的面积为()A.B.2C.3D.
12.若存在,使得关于的方程成立,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题,90分)
二、填空题(每题5分,满分20分)
13.曲线在点处的切线方程为_____________.
14.若,,,且,那么与的夹角为.
15.已知,则__________.
16.在正三棱锥V-ABC内,有一个半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为2,则正三棱锥的体积最小时,其底面边长为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.)
17.本小题满分12分在各项均不相等的等差数列中,已知,且,,成等比数列,
(1)求;
(2)设数列的前项和为,记,求数列的前项和.
18.本小题满分12分某中学高三年级有学生500人,其中男生300人,女生200人为了研究学生的数学成绩是否与性别有关,采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,统计了他们期中考试的数学分数,然后按照性别分为男、女两组,再将两组的分数分成5组分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图(I)从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人,求两人恰为一男一女的概率;(II)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”附表19.(本小题满分12分)在矩形所在平面的同一侧取两点、,使且,若,,.
(1)求证
(2)取的中点,求证
(3)求多面体的体积.
20.本小题满分12分已知抛物线的焦点为,是上关于焦点对称的两点,在点、点处的切线相交于点.
(1)求的方程;
(2)直线交于两点,且的面积为,求的方程21.(本小题满分12分)设函数,为正实数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求证;
(3)若函数有且只有个零点,求的值.请考生在
22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)射线与曲线,分别交于,两点(异于原点),定点,求的面积.
23.(10分)选修4-5不等式选讲已知|x1-2|1|x2-2|
1.1求证:2x1+x26|x1-x2|2;2若fx=x2-x+1求证:|x1-x2||fx1-fx2|5|x1-x2|.高三数学(文)参考答案
一、选择题:DDBACBABCCAC
二、填空题:13.
14..15.5/
416.6
三、解答题:
17.解
(1)设的公差为,由题意得,…………2分解得,…………4分所以…………6分
(2)由
(1)知,所以…8分所以故…………12分
18.解析(Ⅰ)由已知得,抽取的100名学生中,男生60名,女生40名,分数小于等于110分的学生中,男生人有60×
0.05=3(人),记为A1,A2,A3;女生有40×
0.05=2(人),记为B1,B2;………………2分从中随机抽取2名学生,所有的可能结果共有10种,它们是(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2);其中,两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种,它们是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3B2);………4分故所求的概率为P=.………………6分(Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的100名学生中,男生60×
0.25=15(人),女生40×
0.375=15(人);…7分据此可得2×2列联表如下数学尖子生非数学尖子生合计男生154560女生152540合计3070100(9分)所以得;……11分因为
1.79<
2.706,所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”………………12分
19.解
(1)证明取PD中点Q,连结AQ、EQ.∵E为PC的中点,∴EQ∥CD且EQ=CD.…又∵AB∥CD且AB=CD,∴EQ∥AB且EQ=AB.…∴四边形ABED是平行四边形,∴BE∥AQ.…又∵BE⊄平面PAD,AQ⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.…6分
(2)解棱PD上存在点F为PD的中点,使CF⊥PA,∵平面PCD⊥底面ABCD,平面PCD∩底面ABCD=CD,AD⊥CD,∴AD⊥平面PCD,∴DP是PA在平面PCD中的射影,∴PC=DC,PF=DF,∴CF⊥DP,∴CF⊥PA.12分
20.(本小题满分12分)
(1)解依题意,由抛物线的对称性可知,,----1分由得,故在点、点处的切线的斜率分别为和----------------2分则在处的切线方程为,即----------------3分代入,得,故-------------4分所以抛物线的方程为----------------5分
(2)解直线的斜率显然存在,设直线,、由得----------------7分由,---------------8分直线方程为,所以直线恒过定点------------9分,即,即----------11分所以直线方程为-------------12分21.解
(1)当时,,则,所以,又,所以曲线在点处的切线方程为.
(2)因为,设函数,则,令,得,列表如下极大值所以的极大值为.所以.
(3),,令,得,因为,所以在上单调增,在上单调减.所以.设,因为函数只有1个零点,而,所以是函数的唯一零点.当时,,有且只有个零点,此时,解得.下证,当时,的零点不唯一.若,则,此时,即,则.由
(2)知,,又函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和之间存在的零点,则共有2个零点,不符合题意;若,则,此时,即,则.同理可得,在和之间存在的零点,则共有2个零点,不符合题意.因此,所以的值为.
22.解
(1)解曲线的直角坐标方程为----------------------------------------2分有转化正确,但最终写错,可给1分由,得曲线的极坐标方程为.-------------------------------4分(没有给出转化公式扣1分,没有给出转化公式但有在做题中体现转化过程,可不扣分)法一
(2)解点到射线的距离为-----------------------------------------5分----------------------8分(两个极径每求一个可得1分,两个2分,算对极径差值得1分)则-------------------------------10分(如,则距离d这步得分可算在这里.)
23.证明1∵|x1-2|1∴-1x1-21即1x13同理1x23∴2x1+x
26.∵|x1-x2|=|x1-2-x2-2|≤|x1-2|+|x2-2|∴|x1-x2|
2.2|fx1-fx2|=|-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|∵2x1+x26∴1x1+x2-15∴|x1-x2||fx1-fx2|5|x1-x2|。