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第5讲 简单的三角恒等变换第1课时 两角和、差及倍角公式
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1Cα∓βcosα∓β=cosαcosβ±sinαsinβ.2Sα±βsinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ.3Tα±βtanα±β=.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式1S2αsin2α=2sinαcosα.2C2αcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.3T2αtan2α=.
3.公式的常用变形1tanα±tanβ=tanα±β1∓tanαtanβ.2cos2α=,sin2α=.31±sin2α=sinα±cosα2,sinα±cosα=sin.4asinα+bcosα=sinα+φ,其中cosφ=,sinφ=,tanφ=a≠0.
1.概念辨析1公式Cα±β,Sα±β,S2α,C2α中的角α,β是任意的. 2存在实数α,β,使等式sinα+β=sinα+sinβ成立. 3在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定. 4公式tanα+β=可以变形为tanα+tanβ=tanα+β1-tanαtanβ,且对任意角α,β都成立. 5对任意角α都有1+sin=
2. 答案 1√ 2√ 3× 4× 5√
2.小题热身1若cosα=-,α是第三象限的角,则sin= A.-B.C.-D.答案 C解析 因为cosα=-,α是第三象限的角,所以sinα=-=-,所以sin=sinαcos+cosαsin=×+×=-.2计算cosα+βcosβ+sinα+βsinβ= A.sinα+2βB.sinαC.cosα+2βD.cosα答案 D解析 cosα+βcosβ+sinα+βsinβ=cos[α+β-β]=cosα.3已知cosx=,则cos2x= A.-B.C.-D.答案 D解析 cos2x=2cos2x-1=2×2-1=.4在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若tanα=,则tanα-β的值为 A.0B.C.D.答案 D解析 由角α与角β的始边相同,终边关于y轴对称可知tanα=-tanβ.又tanα=,所以tanβ=-,所以tanα-β===,故选D.题型 两角和、差及倍角公式的直接应用
1.已知角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,它们的终边关于y轴对称,且角α的终边与单位圆交于点P,则sinα-β=________.答案 -解析 因为角α的终边与单位圆交于点P,所以sinα=,cosα=.因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以角β的终边与单位圆交于点Q,所以sinβ=,cosβ=-,所以sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ=×-×=-.
2.2018·全国卷Ⅱ已知tan=,则tanα=________.答案 解析 tan===,解方程得tanα=.
3.已知α∈,sinα=,则cos的值为________.答案 -解析 因为α∈,sinα=.所以cosα=-=-.所以sin2α=2sinαcosα=-,cos2α=cos2α-sin2α=,所以cos=coscos2α+sinsin2α=-×+×=-.应用三角公式化简求值的策略1使用两角和、差及倍角公式,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号反”.2使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.3使用公式求值,应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
1.2018·石家庄质检若sinπ-α=,且≤α≤π,则sin2α的值为 A.-B.-C.D.答案 A解析 ∵sinπ-α=,∴sinα=,又∵≤α≤π,∴cosα=-=-,∴sin2α=2sinαcosα=2××=-.
2.2018·上饶三模由射线y=xx≥0按逆时针方向旋转到射线y=-xx≤0的位置所成的角为θ,则cosθ= A.-B.±C.-D.±答案 A解析 设y=xx≥0的倾斜角为α,则sinα=,cosα=,射线y=-xx≤0的倾斜角为β,sinβ=,cosβ=-,∴cosθ=cosβ-α=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=-.
3.若sinα+β=,sinα-β=,则等于 A.5B.-1C.6D.答案 A解析 由题意可得sinαcosβ+cosαsinβ=,sinαcosβ-cosαsinβ=,解得sinαcosβ=,cosαsinβ=,∴=
5.题型 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用
1.计算-sin133°cos197°-cos47°cos73°的结果为 A.B.C.D.答案 A解析 -sin133°cos197°-cos47°cos73°=-sin47°-cos17°-cos47°sin17°=sin47°-17°=sin30°=.
2.1+tan18°1+tan27°的值是 A.B.1+C.2D.2tan18°+tan27°答案 C解析 1+tan18°1+tan27°=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan45°1-tan18°tan27°+tan18°tan27°=
2.
3.已知sinα+cosα=,则cos4α=________.答案 解析 由sinα+cosα=,得sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=,所以sin2α=,从而cos4α=1-2sin22α=1-2×2=.条件探究1 将举例说明3的条件改为“sinα-cosα=”,求cos4α.解 因为sinα-cosα=,所以1-2sinαcosα=,所以sin2α=2sinαcosα=-,所以cos4α=1-2sin22α=1-2×2=-.条件探究2 将举例说明3的条件改为“cos2=,α∈π,2π”,求sinα+cosα.解 因为cos2===.所以sin2α=0,又因为α∈π,2π,所以α∈,所以sinα+cosα0,sinα+cosα2=1+2sinαcosα=1+=,所以sinα+cosα=-.
1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题1公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.2注意特殊角的应用,当式子中出现,1,,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.2.熟记三角函数公式的两类变式1和差角公式变形sinαsinβ+cosα+β=cosαcosβ,cosαsinβ+sinα-β=sinαcosβ,tanα±tanβ=tanα±β·1∓tanαtanβ.2倍角公式变形降幂公式cos2α=,sin2α=,配方变形1±sinα=21+cosα=2cos2,1-cosα=2sin
2.
1.若x∈[0,π],sinsin=coscos,则x的值是 A.B.C.D.答案 D解析 由已知得,coscos-sinsin=cosx=
0.∵x∈[0,π],∴x=.
2.2019·湖南郴州质检已知x∈0,π,sin=cos2,则tanx= A.B.-2C.D.答案 D解析 因为sin=cos2,所以cosx-sinx=,cosx-sinx=1-sinx,解得cosx=,因为x∈0,π,所以sinx==,所以tanx===.
3.化简·=________.答案 解析 原式=tan90°-2α·=·=·=.题型 两角和、差及倍角公式的灵活应用角度1 角的变换
1.2018·南开区模拟已知0α<βπ,cos=,sinα+β=.1求sin2β的值;2求cos的值.解 1sin2β=cos=2cos2-1=-.2因为0αβπ,所以α+β,所以sin0,cosα+β0,因为cos=,sinα+β=,所以sin=,cosα+β=-,所以cos=cos=cosα+β·cos+sinα+βsin=×+×=.角度2 函数名称的变换
2.求值1=________;2-sin10°=________.答案 1 2解析 1====.2原式=-sin10°·=-sin10°·=-sin10°·=-2cos10°=====.三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路1角的变换明确各个角之间的关系包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角,熟悉角的变换技巧,及半角与倍角的相互转化,如2α=α+β+α-β,α=α+β-β=α-β+β,40°=60°-20°,+=,=2×等.2名的变换明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.
1.若0α,-β0,cos=,cos=,则cos等于 A.B.-C.D.-答案 C解析 ∵0α,∴α+.∵cos=,∴sin=.∵-β0,∴-.∵cos=,∴sin=.∴cos=cos=coscos+sinsin=×+×=.
2.2018·吉林第三次调研若sin=,则cos2=________.答案 解析 因为sin=sin=cos=,所以cos2===.
3.2018·江苏高考已知α,β为锐角,tanα=,cosα+β=-.1求cos2α的值;2求tanα-β的值.解 1因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,因此,cos2α=2cos2α-1=-.2因为α,β为锐角,所以α+β∈0,π.又因为cosα+β=-,所以sinα+β==,因此tanα+β=-
2.因为tanα=,所以tan2α==-,因此,tanα-β=tan[2α-α+β]==-.思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想[典例1] 2018·石嘴山一模已知α满足sinα=,那么sinsin的值为 A.-B.C.-D.答案 D解析 ∵sin=sin=cos,∴sinsin=sincos=sin=cos2α=1-2sin2α==.[典例2] 若tanα=,tanα+β=,则tanβ=________.答案 解析 因为tanα=,tanα+β=,所以tanβ=tan[α+β-α]===.方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.。