2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第5讲简单的三角恒等变换（第1课时）两角和、差及倍角公式讲义理（含解析）

第5讲　简单的三角恒等变换第1课时　两角和、差及倍角公式

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1Cα∓βcosα∓β＝cosαcosβ±sinαsinβ.2Sα±βsinα±β＝sinαcosβ±cosαsinβ.3Tα±βtanα±β＝.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式1S2αsin2α＝2sinαcosα.2C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.3T2αtan2α＝.

3.公式的常用变形1tanα±tanβ＝tanα±β1∓tanαtanβ．2cos2α＝，sin2α＝.31±sin2α＝sinα±cosα2，sinα±cosα＝sin.4asinα＋bcosα＝sinα＋φ，其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝a≠0．

1.概念辨析1公式Cα±β，Sα±β，S2α，C2α中的角α，β是任意的．　　2存在实数α，β，使等式sinα＋β＝sinα＋sinβ成立．　　3在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定．　　4公式tanα＋β＝可以变形为tanα＋tanβ＝tanα＋β1－tanαtanβ，且对任意角α，β都成立．　　5对任意角α都有1＋sin＝

2.　　答案　1√　2√　3×　4×　5√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2.小题热身1若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝　　A.－B.C．－D.答案　C解析　因为cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－＝－，所以sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝－.2计算cosα＋βcosβ＋sinα＋βsinβ＝　　A.sinα＋2βB．sinαC.cosα＋2βD．cosα答案　D解析　cosα＋βcosβ＋sinα＋βsinβ＝cos[α＋β－β]＝cosα.3已知cosx＝，则cos2x＝　　A.－B.C．－D.答案　D解析　cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.4在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若tanα＝，则tanα－β的值为　　A.0B.C.D.答案　D解析　由角α与角β的始边相同，终边关于y轴对称可知tanα＝－tanβ.又tanα＝，所以tanβ＝－，所以tanα－β＝＝＝，故选D.题型　两角和、差及倍角公式的直接应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.已知角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P，则sinα－β＝________.答案　－解析　因为角α的终边与单位圆交于点P，所以sinα＝，cosα＝.因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以角β的终边与单位圆交于点Q，所以sinβ＝，cosβ＝－，所以sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－.

2.2018·全国卷Ⅱ已知tan＝，则tanα＝________.答案　解析　tan＝＝＝，解方程得tanα＝.

3.已知α∈，sinα＝，则cos的值为________．答案　－解析　因为α∈，sinα＝.所以cosα＝－＝－.所以sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝cos2α－sin2α＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝－×＋×＝－.应用三角公式化简求值的策略1使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”．2使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．3使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.

1.2018·石家庄质检若sinπ－α＝，且≤α≤π，则sin2α的值为　　A.－B．－C.D.答案　A解析　∵sinπ－α＝，∴sinα＝，又∵≤α≤π，∴cosα＝－＝－，∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.

2.2018·上饶三模由射线y＝xx≥0按逆时针方向旋转到射线y＝－xx≤0的位置所成的角为θ，则cosθ＝　　A.－B．±C．－D．±答案　A解析　设y＝xx≥0的倾斜角为α，则sinα＝，cosα＝，射线y＝－xx≤0的倾斜角为β，sinβ＝，cosβ＝－，∴cosθ＝cosβ－α＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.

3.若sinα＋β＝，sinα－β＝，则等于　　A.5B．－1C．6D.答案　A解析　由题意可得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝，解得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，∴＝

5.题型　两角和、差及倍角公式的逆用和变形用

1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为　　A.B.C.D.答案　A解析　－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝－sin47°－cos17°－cos47°sin17°＝sin47°－17°＝sin30°＝.

2.1＋tan18°1＋tan27°的值是　　A.B．1＋C.2D．2tan18°＋tan27°答案　C解析　1＋tan18°1＋tan27°＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°1－tan18°tan27°＋tan18°tan27°＝

2.

3.已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________.答案　解析　由sinα＋cosα＝，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，所以sin2α＝，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝.条件探究1　将举例说明3的条件改为“sinα－cosα＝”，求cos4α.解　因为sinα－cosα＝，所以1－2sinαcosα＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝－，所以cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝－.条件探究2　将举例说明3的条件改为“cos2＝，α∈π，2π”，求sinα＋cosα.解　因为cos2＝＝＝.所以sin2α＝0，又因为α∈π，2π，所以α∈，所以sinα＋cosα0，sinα＋cosα2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝，所以sinα＋cosα＝－.

1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题1公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．2注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的两类变式1和差角公式变形sinαsinβ＋cosα＋β＝cosαcosβ，cosαsinβ＋sinα－β＝sinαcosβ，tanα±tanβ＝tanα±β·1∓tanαtanβ．2倍角公式变形降幂公式cos2α＝，sin2α＝，配方变形1±sinα＝21＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin

2.

1.若x∈[0，π]，sinsin＝coscos，则x的值是　　A.B.C.D.答案　D解析　由已知得，coscos－sinsin＝cosx＝

0.∵x∈[0，π]，∴x＝.

2.2019·湖南郴州质检已知x∈0，π，sin＝cos2，则tanx＝　　A.B．－2C.D.答案　D解析　因为sin＝cos2，所以cosx－sinx＝，cosx－sinx＝1－sinx，解得cosx＝，因为x∈0，π，所以sinx＝＝，所以tanx＝＝＝.

3.化简·＝________.答案　解析　原式＝tan90°－2α·＝·＝·＝.题型　两角和、差及倍角公式的灵活应用角度1　角的变换

1.2018·南开区模拟已知0α＜βπ，cos＝，sinα＋β＝.1求sin2β的值；2求cos的值．解　1sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.2因为0αβπ，所以α＋β，所以sin0，cosα＋β0，因为cos＝，sinα＋β＝，所以sin＝，cosα＋β＝－，所以cos＝cos＝cosα＋β·cos＋sinα＋βsin＝×＋×＝.角度2　函数名称的变换

2.求值1＝________；2－sin10°＝________.答案　1　2解析　1＝＝＝＝.2原式＝－sin10°·＝－sin10°·＝－sin10°·＝－2cos10°＝＝＝＝＝.三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路1角的变换明确各个角之间的关系包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如2α＝α＋β＋α－β，α＝α＋β－β＝α－β＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．2名的变换明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.

1.若0α，－β0，cos＝，cos＝，则cos等于　　A.B．－C.D．－答案　C解析　∵0α，∴α＋.∵cos＝，∴sin＝.∵－β0，∴－.∵cos＝，∴sin＝.∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.

2.2018·吉林第三次调研若sin＝，则cos2＝________.答案　解析　因为sin＝sin＝cos＝，所以cos2＝＝＝.

3.2018·江苏高考已知α，β为锐角，tanα＝，cosα＋β＝－.1求cos2α的值；2求tanα－β的值．解　1因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.2因为α，β为锐角，所以α＋β∈0，π．又因为cosα＋β＝－，所以sinα＋β＝＝，因此tanα＋β＝－

2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，因此，tanα－β＝tan[2α－α＋β]＝＝－.思想方法　三角恒等变换中的拆角、凑角思想[典例1]　2018·石嘴山一模已知α满足sinα＝，那么sinsin的值为　　A．－B.C．－D.答案　D解析　∵sin＝sin＝cos，∴sinsin＝sincos＝sin＝cos2α＝1－2sin2α＝＝.[典例2]　若tanα＝，tanα＋β＝，则tanβ＝________.答案　解析　因为tanα＝，tanα＋β＝，所以tanβ＝tan[α＋β－α]＝＝＝.方法指导　三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.。