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第6讲 空间向量及运算[考纲解读]
1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置,了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义.
2.能应用空间两点间的距离公式,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,并能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.重点、难点[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲一直是空间立体几何的基础,一般不单独命题.预测2020年会与多面体相结合进行考查,题型为解答题,解题时利用空间向量法解决问题,试题难度不会太大,属中档题型.1.空间两点间的距离公式、中点公式1距离公式
①设点Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2,则|AB|=.
②设点Px,y,z,则与坐标原点O之间的距离为|OP|=.2中点公式设点Px,y,z为P1x1,y1,z1,P2x2,y2,z2的中点,则.2.空间向量的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉.3.空间向量的坐标运算a=a1,a2,a3,b=b1,b2,b3a,b均为非零向量1.概念辨析1两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同. 2在向量的数量积运算中a·b·c=a·b·c. 3若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量. 4对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z其中x,y,z∈R,则P,A,B,C四点共面. 答案 1× 2× 3× 4× 2.小题热身1如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是 A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c答案 A解析 由题意,根据向量运算的几何运算法则,=+=+-=c+b-a=-a+b+c.故选A.2若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是 A.a,a+b,a-bB.b,a+b,a-bC.c,a+b,a-bD.a+b,a-b,a+2b答案 C解析 A,B,D中三组向量都是共面向量,不能构成基底,c,a+b,a-b不共面可以构成基底.3已知向量a=2,-35,b=,且a∥b,则λ等于________.答案 -解析 因为a∥b,所以==,所以λ=-.4已知a=12,-2,b=024,则a,b夹角的余弦值为________.答案 -解析 cos〈a,b〉==-.题型 空间向量的线性运算如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量1;2;3+.解 1∵P是C1D1的中点,∴=++=a++=a+c+=a+c+b.2∵N是BC的中点,∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.3∵M是AA1的中点,∴=+=+=-a+a+c+b=a+b+c,又=+=+=+=c+a.∴+=+=a+b+c.条件探究 在举例说明条件下,若=,=2,试用a,b,c表示.解 如图,连接AF,则=+.由已知四边形ABCD是平行四边形,故=+=b+c,=+=-a+c.又=-=-b+c,由已知=2,所以=+=-=-=c-c-a=a+2c,所以=+=-b+c+a+2c=a-b+c.用已知向量表示某一向量的注意事项1用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.2要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.向量加法的多边形法则对空间向量仍然成立.3在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.提醒灵活运用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用已知基向量表示出来. 1.如图所示,在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________用a,b,c表示.答案 a+b+c解析 因为D为BC的中点,所以=+=b+c,又因为E为AD的中点,所以=+==a+b+c.2.如图所示,已知P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,点M在线段PC上,点N在线段PD上,且PM=2MC,PN=ND,若=x+y+z,则x+y+z=________.答案 -解析 =-=-=--+=-+-+=--+,所以x+y+z=--+=-.题型 共线向量与共面向量定理的应用1.2018·郑州调研已知a=21,-3,b=-123,c=76,λ,若a,b,c三向量共面,则λ等于________.答案 -9解析 由题意知c=xa+yb,即76,λ=x21,-3+y-123,∴解得λ=-
9.2.2018·唐山质检如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k,=k0≤k≤1.1向量是否与向量,共面?2直线MN是否与平面ABB1A1平行?解 1∵=k,=k,∴=++=k++k=k++=k++=k+=-k=-k+=1-k-k,∴由共面向量定理知向量与向量,共面.2当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内,故直线MN与平面ABB1A1不平行.当0k≤1时,MN不在平面ABB1A1内,又由1知与,共面,故MN∥平面ABB1A
1.证明三点共线和空间四点共面的方法提醒三点共线通常转化为向量共线,四点共面通常转化为向量共面,线面平行可转化为向量共线、共面来证明,共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件. 1.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且=++t,若P,A,B,C四点共面,则实数t=________.答案 解析 ∵P,A,B,C四点共面,∴++t=1,∴t=.2.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=++.1判断,,三个向量是否共面;2判断点M是否在平面ABC内.解 1由已知++=3,∴-=-+-,即=+=--,∴,,共面.2由1知,,,共面且MA,MB,MC过同一点M,∴M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内.题型 空间向量的数量积及应用角度1 空间向量数量积的运算1.2018·西安质检已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为 A.a2B.a2C.a2D.a2答案 C解析 如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三个向量两两的夹角为60°.=a+b,=c,∴·=a+b·c=a·c+b·c=a2cos60°+a2cos60°=a
2.故选C.角度2 空间向量数量积的应用2.如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.1求AC1的长;2求证AC1⊥BD.解 1记=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,∴a·b=b·c=c·a=.||2=a+b+c2=a2+b2+c2+2a·b+b·c+c·a=1+1+1+2×=6,∴||=,即AC1的长为.2证明∵=a+b+c,=b-a,∴·=a+b+c·b-a=a·b+|b|2+b·c-|a|2-a·b-a·c=b·c-a·c=|b||c|cos60°-|a||c|cos60°=
0.∴⊥,∴AC1⊥BD.空间向量数量积的三个应用1.2018·南充三模已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列命题
①++2=32;
②·-=0;
③向量与向量的夹角为60°;
④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是 A.
①②B.
①②③C.
①④D.
①②④答案 A解析 设正方体边长为单位长为1,建立空间直角坐标系,如图.=001,=100,=010,=111,=10,-1,所以对于
①,++2=111·111=3=32,故
①正确;对于
②,·-=111·01,-1=0,故
②正确;对于
③,因为·=10,-1·011=-1,向量与向量的夹角为120°,故
③错误;
④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为||||·||,但是|··|=0,故
④错误.故选A.2.已知向量a=0,-11,b=410,|λa+b|=且λ0,则实数λ=________.答案 3解析 因为λa+b=41-λ,λ,所以|λa+b|==,所以λ2-λ-6=0λ0,所以λ=
3.。