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第三节 函数的奇偶性与周期性A组 基础题组
1.函数fx=-x的图象关于 A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称答案 C 易知fx=-x是奇函数所以图象关于原点对称.
2.已知fx为定义在R上的奇函数当x≥0时fx=2x+m则f-2= A.-3B.-C.D.3答案 A 因为fx为R上的奇函数所以f0=0即f0=20+m=0解得m=-1则f-2=-f2=-22-1=-
3.
3.已知函数fx是定义域为R的偶函数且fx+1=若fx在[-10]上是减函数则fx在
[23]上是 A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数答案 A 由题意知fx+2==fx所以fx是以2为周期的周期函数又函数fx是定义域为R的偶函数且fx在[-10]上是减函数则fx在
[01]上是增函数所以fx在
[23]上是增函数.
4.设fx是定义在R上的周期为3的函数当x∈[-21]时fx=则f= A.0B.1C.D.-1答案 D 因为fx是周期为3的周期函数所以f=f=f=4×-2=-
1.
5.已知定义在R上的奇函数fx满足fx-4=-fx且在区间
[02]上是增函数则 A.f-25f11f80B.f80f11f-25C.f11f80f-25D.f-25f80f11答案 D ∵fx=fx+4-4=-fx+4=-fx+8-4=fx+8∴T=
8.又∵fx是定义在R上的奇函数∴f0=
0.∵fx在
[02]上是增函数且fx0∴fx在[-20]上也是增函数且fx
0.∴当x∈24时fx=-fx-40且fx为减函数.∵f-25=f-10f11=f30f80=f0=0∴f-25f80f
11.故选D.
6.2018课标全国Ⅲ165分已知函数fx=ln-x+1fa=4则f-a= . 答案 -2解析 本题考查函数的奇偶性.易知fx的定义域为R令gx=ln-x则gx+g-x=0∴gx为奇函数∴fa+f-a=2又fa=4∴f-a=-
2.
7.已知函数fx为奇函数当x0时fx=x2-x则当x0时函数fx的最大值为 . 答案 解析 设x0则-x0所以f-x=x2+x又函数fx为奇函数所以fx=-f-x=-x2-x=-+所以当x0时函数fx的最大值为.
8.已知偶函数fx在[0+∞上单调递减f2=
0.若fx-10则x的取值范围是 . 答案 -13解析 ∵f2=0fx-10∴fx-1f2又∵fx是偶函数且在[0+∞上单调递减∴f|x-1|f2∴|x-1|2∴-2x-12∴-1x3∴x∈-
13.
9.设fx的定义域为-∞0∪0+∞且fx是奇函数当x0时fx=.1求当x0时fx的解析式;2解不等式fx-.解析 1当x0时-x0∵fx是奇函数∴fx=-f-x=-=.2fx-当x0时-所以-所以所以3x-18解得x2所以x∈02;当x0时-所以-所以3-x32所以x-2所以原不等式的解集是-∞-2∪
02.
10.已知函数fx=是奇函数.1求实数m的值;2若函数fx在区间[-1a-2]上单调递增求实数a的取值范围.解析 1设x0则-x0所以fx=x2+mxf-x=--x2+2-x=-x2-2x.又fx为奇函数所以f-x=-fx即-x2-2x=-x2-mx所以m=
2.2要使fx在[-1a-2]上单调递增结合fx的图象图略知所以1a≤3故实数a的取值范围是13].B组 提升题组
1.函数fx的定义域为R且满足:fx是偶函数fx-1是奇函数若f
0.5=9则f
8.5等于 A.-9B.9C.-3D.0答案 B ∵fx-1是奇函数∴f-x-1=-fx-1即f-x=-fx-
2.又∵fx是偶函数∴fx=-fx-2=fx-4故fx的最小正周期为4∴f
8.5=f
0.5=
9.故选B.
2.2019河南开封模拟已知函数fx=如果对任意的n∈N*定义fnx=x那么f20162的值为 A.0B.1C.2D.3答案 C ∵f12=f2=1f22=f1=0f32=f0=2∴fn2的值具有周期性且周期为3∴f20162=f3×6722=f32=2故选C.
3.2018四川达州模拟定义在R上的偶函数fx满足fx+2=fx且在[-10]上单调递减若a=f-
2.8b=f-
1.6c=f
0.5则abc的大小关系是 A.abcB.cabC.bcaD.acb答案 D ∵偶函数fx满足fx+2=fx∴函数的周期为
2.∴a=f-
2.8=f-
0.8b=f-
1.6=f
0.4=f-
0.4c=f
0.5=f-
0.
5.∵函数fx在[-10]上单调递减且-
0.8-
0.5-
0.4∴acb故选D.
4.设函数fx是-∞+∞上的奇函数fx+2=-fx当0≤x≤1时fx=x.1求fπ的值;2当-4≤x≤4时求函数fx的图象与x轴所围成图形的面积.解析 1由fx+2=-fx得fx+4=fx+2+2=-fx+2=fx所以fx是以4为周期的周期函数所以fπ=f-1×4+π=fπ-4=-f4-π=-4-π=π-
4.2由fx是奇函数且fx+2=-fx得fx-1+2=-fx-1=f-x-1即f1+x=f1-x.所以函数y=fx的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时fx=x且fx的图象关于原点成中心对称则fx的图象如图所示.当-4≤x≤4时设fx的图象与x轴围成的图形面积为S则S=4S△OAB=4×=
4.。