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第4讲 函数y=Asinωx+φ的图象及应用
1.“五点法”作函数y=Asinωx+φA0,ω0的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点,作图时的一般步骤为1定点如下表所示.2作图在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到y=Asinωx+φ在一个周期内的图象.3扩展将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asinωx+φ在R上的图象.2.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asinωx+φA0,ω0的图象的步骤1.概念辨析1将函数y=3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin. 2利用图象变换作图时,“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致. 3将函数y=2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得函数y=2sin的图象. 4由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的. 答案 1× 2× 3× 4√ 2.小题热身1函数y=2sin的振幅、频率和初相分别为 A.2,,B.2,,C.2,,D.2,,-答案 A解析 函数y=2sin的振幅是2,周期T==π,频率f==,初相是,故选A.2用五点法作函数y=sin在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是________、________、__________、________、________.答案 解析 列表五个点依次是、、、、.3将函数fx=-cos2x的图象向右平移个单位长度后,再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=gx的图象,则g=________.答案 解析 函数fx=-cos2x的图象向右平移个单位长度后得函数y=-cos2=-cos,再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数gx=-cos,所以g=-cos=sin=.42018·长春模拟函数fx=Asinωx+φA0,ω0,|φ|π的部分图象如图所示,则函数fx的解析式为________.答案 fx=sin解析 由图象可知A=,=-=,所以=π,ω=2,所以fx=sin2x+φ,又f=-,所以2×+φ=2kπ+,k∈Z,φ=2kπ+,k∈Z,又|φ|π,所以φ=,所以fx=sin.题型 函数y=Asinωx+φ的图象及变换 1.2017·全国卷Ⅰ已知曲线C1y=cosx,C2y=sin,则下面结论正确的是 A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2答案 D解析 由C2y=sin=sin=cos2x+=cos.根据三角函数图象变换的规律,可得D正确.2.2018·蚌埠一模已知ω0,顺次连接函数y=sinωx与y=cosωx的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形,则ω= A.πB.C.D.π答案 B解析 当正弦值等于余弦值时,函数值为±,故等边三角形的高为,由此得到边长为2××=,边长即为函数的周期,故=,ω=.3.已知函数fx=2sinωxω0在区间上单调递增,求ω的最大值.解 函数fx=2sinωxω0在上单调递增,所以⊆,所以解得0ω≤,所以ω的最大值为.4.已知函数y=cos.1求它的振幅、周期、初相;2用“五点法”作出它在区间[0,π]内的图象;3说明y=cos的图象可由y=cosx的图象经过怎样的变换而得到.解 1函数y=cos的振幅为1,周期T==π,初相是-.2列表描点,连线.3解法一把y=cosx的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=cos的图象;再把y=cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变,得到y=cos的图象.解法二将y=cosx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变,得到y=cos2x的图象;再将y=cos2x的图象向右平移个单位长度,得到y=cos=cos的图象.作函数y=Asinωx+φA0,ω0的图象常用的两种方法1五点法作图用“五点法”作y=Asinωx+φ的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.2图象的变换由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asinωx+φ的图象有两种途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
1.要想得到函数y=sin2x+1的图象,只需将函数y=cos2x的图象 A.向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度答案 B解析 先将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin2x的图象,再向上平移1个单位长度,即得y=sin2x+1的图象,故选B.
2.2018·青岛模拟将函数fx=2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位得到函数gx的图象,在gx图象的所有对称轴中,离原点最近的对称轴方程为 A.x=-B.x=C.x=D.x=答案 A解析 当函数fx=2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变时,此时函数解析式可表示为f1x=2sin,再将所得图象向左平移个单位得到函数gx的图象,则gx可以表示为gx=2sin=2sin.则函数gx的图象的对称轴可表示为4x+=+kπ,k∈Z,即x=-+,k∈Z.则gx的图象离原点最近的对称轴,即gx的图象离y轴最近的对称轴为x=-.题型 由图象确定y=Asinωx+φ的解析式
1.已知函数fx=Asinωx+φA0,ω00φπ,其导函数f′x的图象如图所示,则f的值为 A.2B.C.-D.-答案 D解析 依题意得f′x=Aωcosωx+φ,结合函数y=f′x的图象,则T==4=π,ω=
2.又Aω=1,因此A=.因为0φπ,+φ,且f′=cos=-1,所以+φ=π,即φ=,所以fx=sin,f=sin=-×=-.
2.设fx=Asinωx+φA0,ω0,|φ|π,其图象上最高点M的坐标是2,,曲线上的点P由点M运动到相邻的最低点N时,在点Q60处越过x轴.1求A,ω,φ的值;2函数fx的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象?若能,写出变换方法;若不能,说明理由.解 1由题意知A=,T=6-2×4=16,所以ω==.又因为Q60是零值点,且|φ|π,所以×6+φ=π,所以φ=,经验证,符合题意.所以A=,ω=,φ=.2fx的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象.由1知fx=sin,当fx的图象向右平移2个单位长度后,所得图象的函数解析式为gx=sinx,是奇函数.确定y=Asinωx+φ+bA0,ω0中参数的方法1求A,b确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=;2求ω确定函数的周期T,则可得ω=;3求φ常用的方法有
①代入法把图象上的一个已知点代入此时A,ω,b已知或代入图象与直线y=b的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.
②五点法确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.具体如下1.2018·四川绵阳诊断如图是函数fx=cosπx+φ的部分图象,则f3x0= A.B.-C.D.-答案 D解析 ∵fx=cosπx+φ的图象过点,∴=cosφ,结合0φ,可得φ=.∴由图象可得cos=,πx0+=2π-,解得x0=.∴f3x0=f5=cos=-.
2.已知函数fx=Atanωx+φ,y=fx的部分图象如图所示,则f等于________.答案 解析 观察图象可知=-,所以=,ω=2,所以fx=Atan2x+φ.又因为函数图象过点,所以0=Atan,所以+φ=kπk∈Z,所以φ=kπ-k∈Z.又因为|φ|,所以φ=.又图象过点01,所以A=
1.综上知,fx=tan,故f=tan=.题型 三角函数图象性质的应用角度1 三角函数模型的应用1.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深单位m的最大值为 A.5B.6C.8D.10答案 C解析 由图象可知,ymin=2,因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=
8.角度2 函数零点方程根问题
2.已知关于x的方程2sin+1-a=0在区间上存在两个根,则实数a的取值范围是________.答案 [23解析 2sin+1-a=0化为sin=,令t=x+,由x∈得,t=x+∈,画出函数y=sint,t∈的图象和直线y=,当≤1,即2≤a3时,函数y=sint,t∈的图象和直线y=有两个公共点,原方程有两个根.角度3 三角函数图象性质的综合
3.函数fx=Asinωx+φ的部分图象如图,则 A.函数fx的对称轴方程为x=4kπ+k∈ZB.函数fx的递减区间为k∈ZC.函数fx的递增区间为[8k+18k+5]k∈ZD.fx≥1的解集为k∈Z答案 D解析 由题图知,A=2,函数fx的最小正周期T=4×3-1=8,故ω==,所以fx=2sin,因为点12在图象上,所以2sin=2,因为|φ|,所以φ=,即fx=2sin,由x+=kπ+k∈Z得x=4k+1,即函数fx的对称轴方程为x=4k+1k∈Z,所以A项错误;由2kπ+≤x+≤2kπ+k∈Z得8k+1≤x≤8k+5,即函数fx的单调减区间为[8k+18k+5]k∈Z,所以B,C两项错误;由2sin≥1,得sin≥,所以2kπ+≤x+≤2kπ+k∈Z,解得8k-≤x≤8k+k∈Z,即不等式fx≥1的解集为k∈Z,故选D.1三角函数模型在实际应用中体现的两个方面
①已知三角函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则;
②把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.2三角函数的零点、不等式问题的求解思路
①把函数表达式转化为正弦型函数形式y=Asinωx+φ+BA0,ω0;
②画出一个周期上的函数图象;
③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题.3研究y=Asinωx+φ的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想解题.
1.设函数fx=x∈R,则fx A.在区间上是增函数B.在区间上是减函数C.在区间上是增函数D.在区间上是减函数答案 A解析 函数fx=x∈R的图象如图所示,由图象可知函数fx=x∈R在区间上是增函数.故选A.
2.一个大风车的半径为8m12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离hm与时间tmin之间的函数关系式是 A.ht=-8sint+10B.ht=-cost+10C.ht=-8sint+8D.ht=-8cost+10答案 D解析 设ht=Acosωt+B,因为12min旋转一周,所以=12,所以ω=,由于最大值与最小值分别为
182.所以解得A=-8,B=
10.所以ht=-8cost+
10.
3.若函数fx=sinω0满足f0=f,且函数在上有且只有一个零点,则fx的最小正周期为 A.B.πC.D.2π答案 B解析 依题意,函数fx图象的一条对称轴为x==,又因为函数fx在上有且只有一个零点,所以-0≤≤-,所以≤T≤.根据选项可得,fx的最小正周期为π.。