2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第4讲函数y＝Asinωx＋φ的图象及应用讲义理含解析

第4讲　函数y＝Asinωx＋φ的图象及应用

1.“五点法”作函数y＝Asinωx＋φA0，ω0的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为1定点如下表所示．2作图在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asinωx＋φ在一个周期内的图象．3扩展将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asinωx＋φ在R上的图象．2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asinωx＋φA0，ω0的图象的步骤1．概念辨析1将函数y＝3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.　　2利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．　　3将函数y＝2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y＝2sin的图象．　　4由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．　　答案　1×　2×　3×　4√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身1函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为　　A．2，，B．2，，C．2，，D．2，，－答案　A解析　函数y＝2sin的振幅是2，周期T＝＝π，频率f＝＝，初相是，故选A.2用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、__________、________、________.答案　　　　　解析　列表五个点依次是、、、、.3将函数fx＝－cos2x的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝gx的图象，则g＝________.答案　解析　函数fx＝－cos2x的图象向右平移个单位长度后得函数y＝－cos2＝－cos，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数gx＝－cos，所以g＝－cos＝sin＝.42018·长春模拟函数fx＝Asinωx＋φA0，ω0，|φ|π的部分图象如图所示，则函数fx的解析式为________．答案　fx＝sin解析　由图象可知A＝，＝－＝，所以＝π，ω＝2，所以fx＝sin2x＋φ，又f＝－，所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|π，所以φ＝，所以fx＝sin.题型　函数y＝Asinωx＋φ的图象及变换　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．2017·全国卷Ⅰ已知曲线C1y＝cosx，C2y＝sin，则下面结论正确的是　　A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2答案　D解析　由C2y＝sin＝sin＝cos2x＋＝cos.根据三角函数图象变换的规律，可得D正确．2．2018·蚌埠一模已知ω0，顺次连接函数y＝sinωx与y＝cosωx的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝　　A．πB.C.D.π答案　B解析　当正弦值等于余弦值时，函数值为±，故等边三角形的高为，由此得到边长为2××＝，边长即为函数的周期，故＝，ω＝.3．已知函数fx＝2sinωxω0在区间上单调递增，求ω的最大值．解　函数fx＝2sinωxω0在上单调递增，所以⊆，所以解得0ω≤，所以ω的最大值为.4．已知函数y＝cos.1求它的振幅、周期、初相；2用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；3说明y＝cos的图象可由y＝cosx的图象经过怎样的变换而得到．解　1函数y＝cos的振幅为1，周期T＝＝π，初相是－.2列表描点，连线．3解法一把y＝cosx的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象；再把y＝cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到y＝cos的图象．解法二将y＝cosx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到y＝cos2x的图象；再将y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos＝cos的图象．作函数y＝Asinωx＋φA0，ω0的图象常用的两种方法1五点法作图用“五点法”作y＝Asinωx＋φ的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．2图象的变换由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asinωx＋φ的图象有两种途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

1.要想得到函数y＝sin2x＋1的图象，只需将函数y＝cos2x的图象　　A.向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度答案　B解析　先将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得y＝sin2x＋1的图象，故选B.

2.2018·青岛模拟将函数fx＝2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数gx的图象，在gx图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为　　A.x＝－B．x＝C.x＝D．x＝答案　A解析　当函数fx＝2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f1x＝2sin，再将所得图象向左平移个单位得到函数gx的图象，则gx可以表示为gx＝2sin＝2sin.则函数gx的图象的对称轴可表示为4x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z.则gx的图象离原点最近的对称轴，即gx的图象离y轴最近的对称轴为x＝－.题型　由图象确定y＝Asinωx＋φ的解析式

1.已知函数fx＝Asinωx＋φA0，ω00φπ，其导函数f′x的图象如图所示，则f的值为　　A．2B.C．－D．－答案　D解析　依题意得f′x＝Aωcosωx＋φ，结合函数y＝f′x的图象，则T＝＝4＝π，ω＝

2.又Aω＝1，因此A＝.因为0φπ，＋φ，且f′＝cos＝－1，所以＋φ＝π，即φ＝，所以fx＝sin，f＝sin＝－×＝－.

2.设fx＝Asinωx＋φA0，ω0，|φ|π，其图象上最高点M的坐标是2，，曲线上的点P由点M运动到相邻的最低点N时，在点Q60处越过x轴．1求A，ω，φ的值；2函数fx的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；若不能，说明理由．解　1由题意知A＝，T＝6－2×4＝16，所以ω＝＝.又因为Q60是零值点，且|φ|π，所以×6＋φ＝π，所以φ＝，经验证，符合题意．所以A＝，ω＝，φ＝.2fx的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象．由1知fx＝sin，当fx的图象向右平移2个单位长度后，所得图象的函数解析式为gx＝sinx，是奇函数.确定y＝Asinωx＋φ＋bA0，ω0中参数的方法1求A，b确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；2求ω确定函数的周期T，则可得ω＝；3求φ常用的方法有

①代入法把图象上的一个已知点代入此时A，ω，b已知或代入图象与直线y＝b的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上．

②五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下1．2018·四川绵阳诊断如图是函数fx＝cosπx＋φ的部分图象，则f3x0＝　　A.B．－C.D．－答案　D解析　∵fx＝cosπx＋φ的图象过点，∴＝cosφ，结合0φ，可得φ＝.∴由图象可得cos＝，πx0＋＝2π－，解得x0＝.∴f3x0＝f5＝cos＝－.

2.已知函数fx＝Atanωx＋φ，y＝fx的部分图象如图所示，则f等于________．答案　解析　观察图象可知＝－，所以＝，ω＝2，所以fx＝Atan2x＋φ．又因为函数图象过点，所以0＝Atan，所以＋φ＝kπk∈Z，所以φ＝kπ－k∈Z．又因为|φ|，所以φ＝.又图象过点01，所以A＝

1.综上知，fx＝tan，故f＝tan＝.题型　三角函数图象性质的应用角度1　三角函数模型的应用1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深单位m的最大值为　　A.5B．6C．8D．10答案　C解析　由图象可知，ymin＝2，因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，解得k＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝

8.角度2　函数零点方程根问题

2.已知关于x的方程2sin＋1－a＝0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是________．答案　[23解析　2sin＋1－a＝0化为sin＝，令t＝x＋，由x∈得，t＝x＋∈，画出函数y＝sint，t∈的图象和直线y＝，当≤1，即2≤a3时，函数y＝sint，t∈的图象和直线y＝有两个公共点，原方程有两个根.角度3　三角函数图象性质的综合

3.函数fx＝Asinωx＋φ的部分图象如图，则　　A．函数fx的对称轴方程为x＝4kπ＋k∈ZB.函数fx的递减区间为k∈ZC.函数fx的递增区间为[8k＋18k＋5]k∈ZD.fx≥1的解集为k∈Z答案　D解析　由题图知，A＝2，函数fx的最小正周期T＝4×3－1＝8，故ω＝＝，所以fx＝2sin，因为点12在图象上，所以2sin＝2，因为|φ|，所以φ＝，即fx＝2sin，由x＋＝kπ＋k∈Z得x＝4k＋1，即函数fx的对称轴方程为x＝4k＋1k∈Z，所以A项错误；由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋k∈Z得8k＋1≤x≤8k＋5，即函数fx的单调减区间为[8k＋18k＋5]k∈Z，所以B，C两项错误；由2sin≥1，得sin≥，所以2kπ＋≤x＋≤2kπ＋k∈Z，解得8k－≤x≤8k＋k∈Z，即不等式fx≥1的解集为k∈Z，故选D.1三角函数模型在实际应用中体现的两个方面

①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；

②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．2三角函数的零点、不等式问题的求解思路

①把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asinωx＋φ＋BA0，ω0；

②画出一个周期上的函数图象；

③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．3研究y＝Asinωx＋φ的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.

1.设函数fx＝x∈R，则fx　　A.在区间上是增函数B.在区间上是减函数C.在区间上是增函数D.在区间上是减函数答案　A解析　函数fx＝x∈R的图象如图所示，由图象可知函数fx＝x∈R在区间上是增函数．故选A.

2.一个大风车的半径为8m12min旋转一周，它的最低点P0离地面2m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离hm与时间tmin之间的函数关系式是　　A．ht＝－8sint＋10B.ht＝－cost＋10C.ht＝－8sint＋8D.ht＝－8cost＋10答案　D解析　设ht＝Acosωt＋B，因为12min旋转一周，所以＝12，所以ω＝，由于最大值与最小值分别为

182.所以解得A＝－8，B＝

10.所以ht＝－8cost＋

10.

3.若函数fx＝sinω0满足f0＝f，且函数在上有且只有一个零点，则fx的最小正周期为　　A.B．πC.D．2π答案　B解析　依题意，函数fx图象的一条对称轴为x＝＝，又因为函数fx在上有且只有一个零点，所以－0≤≤－，所以≤T≤.根据选项可得，fx的最小正周期为π.。