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第1节 两个基本计数原理考试要求 了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.知识梳理
1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理,区别在于分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.[微点提醒]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终.
1.分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类.
2.分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,步与步之间“相互独立,分步完成”.基础自测
1.判断下列结论正误在括号内打“√”或“×”1在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同. 2在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事. 3在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. 4在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事. 解析 分类加法计数原理,每类方案中的方法都是不同的,每一种方法都能完成这件事;分步乘法计数原理,每步的方法都是不同的,每步的方法只能完成这一步,不能完成这件事,所以1,4均不正确.答案 1× 2√ 3√ 4×
2.选修2-3P28B2改编现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有 A.24种B.30种C.36种D.48种解析 需要先给C块着色,有4种结果;再给A块着色,有3种结果;再给B块着色,有2种结果;最后给D块着色,有2种结果,由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2=48种.答案 D
3.选修2-3P5例3改编书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.从书架中任取1本书,则不同取法的种数为________.解析 从书架上任取1本书,有三类方法第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2类方法是从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3类方法是从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数是N=m1+m2+m3=4+3+2=
9.答案
94.2016·全国Ⅱ卷如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A.24B.18C.12D.9解析 分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.答案 B
5.2019·杭州模拟教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有 A.10种B.25种C.52种D.24种解析 每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步.由分步乘法计数原理,共有24种不同的走法.答案 D
6.2019·菏泽六校联考椭圆+=1的焦点在x轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为________.解析 因为焦点在x轴上,mn,以m的值为标准分类,分为四类第一类m=5时,使mn,n有4种选择;第二类m=4时,使mn,n有3种选择;第三类m=3时,使mn,n有2种选择;第四类m=2时,使mn,n有1种选择.由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有10个.答案 10考点一 分类加法计数原理的应用【例1】1从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地,共有________种不同的方法.2满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对a,b的个数为________.解析 1分三类一类是乘汽车有8种方法;一类是乘火车有2种方法;一类是乘飞机有2种方法,由分类加法计数原理知,共有8+2+2=12种方法.2当a=0时,b的值可以是-1,0,1,2,故a,b的个数为4;当a≠0时,要使方程ax2+2x+b=0有实数解,需使Δ=4-4ab≥0,即ab≤
1.若a=-1,则b的值可以是-1,0,1,2,a,b的个数为4;若a=1,则b的值可以是-1,0,1,a,b的个数为3;若a=2,则b的值可以是-1,0,a,b的个数为
2.由分类加法计数原理可知,a,b的个数为4+4+3+2=
13.答案 112 213规律方法 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.1根据题目特点恰当选择一个分类标准.2分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法,不能重复.3分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏,如本例2中易漏a=0这一类.【训练1】1从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会,则不同的选法种数为 A.6B.5C.3D.22从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为 A.3B.4C.6D.8解析 15个人中每一个都可主持,所以共有5种选法.2以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4,6,9;把这4个数列的顺序颠倒,又得到另外的4个数列,∴所求的数列共有22+1+1=8个.答案 1B 2D考点二 分步乘法计数原理的应用【例2】1用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为________.2五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军冠军不并列,则获得冠军的可能性有______种.解析 1可分三步给百、
十、个位放数字,第一步百位数字有5种放法;第二步十位数字有5种放法;第三步个位数字有4种放法,根据分步乘法计数原理,三位数的个数为5×5×4=
100.2五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,可逐个学生落实,每个学生有4种报名方法,共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军,可对4个冠军逐一落实,每个冠军有5种获得的可能性,共有54种获得冠军的可能性.答案 1100 245 54规律方法
1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.
2.分步必须满足两个条件一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.【训练2】已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},则方程x-a2+y-b2=4可表示不同的圆的个数为 A.7B.9C.12D.16解析 得到圆的方程分两步第一步确定a有3种选法;第二步确定b有4种选法,由分步乘法计数原理知,共有3×4=12个.答案 C考点三 两个计数原理的综合应用【例3】12017·天津卷用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个用数字作答.2如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 A.48B.18C.24D.36解析 1当不含偶数时,有A=120个,当含有一个偶数时,有CCA=960个,所以这样的四位数共有1080个.2在正方体中,每一个表面有四条棱与之垂直,六个表面,共构成24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.答案 11080 2D规律方法
1.在综合应用两个原理解决问题时应注意1一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.2对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.
2.解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成.【训练3】12019·衡水调研用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 A.243B.252C.261D.2792一题多解2019·青岛质检如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有 A.72种B.48种C.24种D.12种3如图所示,在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个用数字作答.解析 10,1,2,…,9共能组成9×10×10=900个三位数,其中无重复数字的三位数有9×9×8=648个,∴有重复数字的三位数有900-648=252个.2法一 首先涂A有4种涂法,则涂B有3种涂法,C与A,B相邻,则C有2种涂法,D只与C相邻,则D有3种涂法,所以共有4×3×2×3=72种涂法.法二 按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24种涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24种,D只要不与C同色即可,故D有2种涂法,所以不同的涂法共有24+24×2=72种.3把与正八边形有公共边的三角形分为两类第一类,有一条公共边的三角形共有8×4=32个.第二类,有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知,共有32+8=40个.答案 1B 2A 340[思维升华]
1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.在处理具体的应用问题时,首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情,可以避免计数的重复或遗漏.
2.1分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.2分步要做到“步骤完整”,完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立,分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.
3.混合问题一般是先分类再分步.
4.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.[易错防范]
1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行.
2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步.
3.确定题目中是否有特殊条件限制.基础巩固题组建议用时35分钟
一、选择题
1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数的个数是 A.30B.42C.36D.35解析 因为a+bi为虚数,所以b≠0,即b有6种取法,a有6种取法,由分步乘法计数原理知可以组成6×6=36个虚数.答案 C
2.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为 A.40B.16C.13D.10解析 分两类情况讨论第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13个不同的平面.答案 C
3.2019·济南调研有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则不同的监考方法有 A.8种B.9种C.10种D.11种解析 设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d,假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法,同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法,由分类加法计数原理,共有3+3+3=9种不同的监考方法.答案 B
4.2019·宁波质检将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有 A.1种B.3种C.6种D.9种解析 因为只有三种颜色,又要涂六条棱,所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色,故有3×2×1=6种涂色方案.答案 C
5.某电话局的电话号码为139××××××××,若前六位固定,最后五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码的个数为 A.20B.25C.32D.60解析 依据题意知,后五位数字由6或8组成,可分5步完成,每一步有2种方法,根据分步乘法计数原理,符合题意的电话号码的个数为25=
32.答案 C
6.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对x,y作为一个点的坐标,则这样的点的个数是 A.9B.14C.15D.21解析 当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=
7.当x≠2时,由P⊆Q,∴x=y.∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法.因此满足条件的点共有7+7=14个.答案 B
7.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,则不同的安排方案共有 A.12种B.10种C.9种D.8种解析 第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有C=2种选派方法;第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,有C=6种选派方法;由分步乘法计数原理可知,不同的选派方案共有2×6=12种.答案 A
8.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有 A.32个B.34个C.36个D.38个解析 将和等于11的放在一组1和10,2和9,3和8,4和7,5和
6.从每一小组中取一个,有C=2种,共有2×2×2×2×2=32个.答案 A
二、填空题
9.某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3次,问此人的走法可有________种.解析 因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一种方法都能从甲地到乙地,根据分类加法计数原理,可得此人的走法可有4+3=7种.答案
710.乘积a1+a2+a3b1+b2+b3+b4c1+c2+c3+c4+c5展开后的项数为________.解析 从第一个括号中选一个字母有3种方法,从第二个括号中选一个字母有4种方法,第三个括号中选一个字母有5种方法,故根据分步乘法计数原理可知共有N=3×4×5=60项.答案
6011.在编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中放入两个不同的小球,每个盒子中最多放入一个小球,且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球,则不同的放小球的方法有________种.解析 设两个不同的小球为A,B,当A放入1号盒或者6号盒时,B有4种不同的放法;当A放入2,3,4,5号盒时,B有3种不同的放法,一共有4×2+3×4=20种不同的放法.答案
2012.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是________.解析 另两边长用x,yx,y∈N*表示,且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥
12.当y取11时,x可取1,2,3,…,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,…,10,有9个三角形;…;当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=
36.答案 36能力提升题组建议用时15分钟
13.如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料,其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有 A.360种B.720种C.780种D.840种解析 由题意知2,3,4,5的颜色都不相同,先涂1,有6种方法,再涂2,3,4,5,有A种方法,故一共有6·A=720种.答案 B
14.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”如2013是“六合数”,则首位为2的“六合数”共有 A.18个B.15个C.12个D.9个解析 依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为
4.由4,0,0组成3个数分别为400,040,004;由3,1,0组成6个数分别为310,301,130,103,013,031;由2,2,0组成3个数分别为220,202,022;由2,1,1组成3个数分别为211,121,
112.共计3+6+3+3=15个.答案 B
15.从1,2,3,4,7,9六个数中,任取两个数作为对数的底数和真数,则所有不同对数值的个数为________.解析 当所取两个数中含有1时,1只能作真数,对数值为0,当所取两个数不含有1时,可得到A=20个对数,但log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log
93.综上可知,共有20+1-4=17个不同的对数值.答案
1716.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,xy恒成立,则称A,B为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有________个.解析 A={1}时,B有23-1种情况;A={2}时,B有22-1种情况;A={3}时,B有1种情况;A={1,2}时,B有22-1种情况;A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况,故满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17个.答案 17新高考创新预测
17.试题创新工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧,但不能连续固定相邻的2个螺栓,则不同的固定螺栓方式的种数是________.解析 第一步在六个螺栓中随机选择一个固定,有6种不同的选法,不妨以选择位置1的螺栓为例,第二步,选择一个与1不相邻的位置的螺栓固定,此时有两类位置4或位置3,5,当选择位置4时,第三个固定的螺栓位置可以为2,6中的一个,第四个固定的螺栓的位置相应有两种情况,此时第五个固定和第六个固定的位置相应确定;当选择位置3,5时,不妨以位置3为例,此时第三个固定的螺栓的位置可以为5,6中的一个,若第三个固定的位置为5,则第四个固定的位置只有2一种选择,第五个固定的位置有两种选择,第六个固定的位置相应确定,若第三个固定的位置为6,则第四个固定的位置只能为4,第五个固定的位置只能为2,第六个固定的位置相应确定.综上所述,不同的固定螺栓方式的种数为6×[2×2+2×2+1]=
60.答案 60。