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课时作业54 几何概型[基础达标]
一、选择题1.[2019·武汉调研]在长为16cm的线段MN上任取一点P,以MP、NP为邻边作一矩形,则该矩形的面积大于60cm2的概率为 A.B.C.D.解析本题考查几何概型.设MP=x,则NP=16-x,由x16-x>60,解得6<x<10,所以所求概率P==,故选A.答案A2.[2019·石家庄高中模拟考试]已知函数fx=2xx0,其值域为D,在区间-12上随机取一个数x,则x∈D的概率是 A.B.C.D.解析因为函数y=2x是R上的增函数,所以函数fx的值域是01,所以所求概率是,故选B.答案B3.[2019·陕西省高三质量检测]在不等式组所确定的三角形区域内随机取一点,则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 A.9-B.9-πC.1-D.1-解析作出不等式组表示的平面区域即如图所示的△ABC及其内部,分别以点A,B,C为圆心,以1为半径作弧,则图中的阴影部分内的点满足到△ABC的三个顶点的距离均不小于
1.易求得点A-62,B-32,C-38,所以AB=3,BC=
6.又注意到图中的三个扇形恰好可以拼凑成一个以1为半径的半圆,故所求概率P===1-.故选C.答案C4.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为 A.B.1-C.D.1-解析点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球外.记“点P到点O的距离大于1”为事件M,则PM==1-.答案B5.已知fx=+cosx,在区间0,π内任取一点x0,使得f′x00的概率为 A.B.C.D.解析f′x=-sinx,令-sinx0,sinx,当x∈0,π时,0x,xπ,故所求概率为=.答案C
二、填空题6.[2019·黄山模拟]向面积为S的△ABC内任意投掷一点P,则△PBC的面积小于的概率为________.解析∵S△PBCS△ABC,∴h′,其中h′为△PBC中BC边上的高,h为△ABC中BC边上的高.设DE为△ABC的中位线如图所示,则梯形BCED阴影部分中的点满足要求,∴所求概率P==.答案7.在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥S-APC的体积大于的概率是________.解析由题意可知>,三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同.作PM⊥AC于M,BN⊥AC于N,则PM,BN分别为ΔAPC与△ABC的高,所以==>,又=,所以>.故所求的概率为即为长度之比.答案8.[2019·唐山市高三五校联考]向圆x-22+y-2=4内随机投掷一点,则该点落在x轴下方的概率为________.解析如图,连接CA,CB,依题意,圆心C到x轴的距离为,所以弦AB的长为
2.又圆的半径为2,所以弓形ADB的面积为×π×2-×2×=π-,所以向圆x-22+y-2=4内随机投掷一点,则该点落在x轴下方的概率P=-.答案-
三、解答题9.如图所示,圆O的方程为x2+y2=
4.1已知点A的坐标为20,B为圆周上任意一点,求的长度小于π的概率;2若Nx,y为圆O内任意一点,求点N到原点的距离大于的概率.解析1圆O的周长为4π,所以弧的长度小于π的概率为=.2记事件M为N到原点的距离大于,则ΩM={x,y|x2+y22},Ω={x,y|x2+y2≤4},所以PM==.10.已知关于x的一次函数y=kx+bx∈R.1设集合P={-1123},从集合P中随机取一个数作为k,求函数y=kx+b是减函数的概率;2实数对k,b满足条件求函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率.解析1从集合P中随机取一个数作为k的所有可能结果有4种,满足函数y=kx+b是减函数的情形是k=-1,则所求概率P=.2因为k0,函数y=kx+b的图象不经过第四象限的条件是b≥
0.作出k,b对应的平面区域如图中的梯形ABCD不含b轴,其面积是S1==,符合限制条件的k,b对应的平面区域如图中的三角形BOC,其面积是S2=,故所求概率P==.[能力挑战]11.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是.1求n的值;2从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a+b≤3”为事件A,求事件A的概率;
②在区间
[02]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2a-b2恒成立”的概率.解析1依题意共有n+2个小球,则从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率为=,∴n=
2.2
①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果,而满足2≤a+b≤3的结果有8种,故PA==.
②易知a-b2≤4,故待求概率的事件即为“x2+y24”,x,y可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为Ω={x,y|0≤x≤20≤y≤2,x,y∈R},由几何概型得概率P==1-.。