2020高考数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布课时作业54几何概型文

课时作业54　几何概型[基础达标]

一、选择题1．[2019·武汉调研]在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP、NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为　　A.B.C.D.解析本题考查几何概型．设MP＝x，则NP＝16－x，由x16－x＞60，解得6＜x＜10，所以所求概率P＝＝，故选A.答案A2．[2019·石家庄高中模拟考试]已知函数fx＝2xx0，其值域为D，在区间－12上随机取一个数x，则x∈D的概率是　　A.B.C.D.解析因为函数y＝2x是R上的增函数，所以函数fx的值域是01，所以所求概率是，故选B.答案B3．[2019·陕西省高三质量检测]在不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是　　A．9－B．9－πC．1－D．1－解析作出不等式组表示的平面区域即如图所示的△ABC及其内部，分别以点A，B，C为圆心，以1为半径作弧，则图中的阴影部分内的点满足到△ABC的三个顶点的距离均不小于

1.易求得点A－62，B－32，C－38，所以AB＝3，BC＝

6.又注意到图中的三个扇形恰好可以拼凑成一个以1为半径的半圆，故所求概率P＝＝＝1－.故选C.答案C4．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为　　A.B．1－C.D．1－解析点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点P到点O的距离大于1”为事件M，则PM＝＝1－.答案B5．已知fx＝＋cosx，在区间0，π内任取一点x0，使得f′x00的概率为　　A.B.C.D.解析f′x＝－sinx，令－sinx0，sinx，当x∈0，π时，0x，xπ，故所求概率为＝.答案C

二、填空题6．[2019·黄山模拟]向面积为S的△ABC内任意投掷一点P，则△PBC的面积小于的概率为________．解析∵S△PBCS△ABC，∴h′，其中h′为△PBC中BC边上的高，h为△ABC中BC边上的高．设DE为△ABC的中位线如图所示，则梯形BCED阴影部分中的点满足要求，∴所求概率P＝＝.答案7．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．解析由题意可知＞，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为ΔAPC与△ABC的高，所以＝＝＞，又＝，所以＞.故所求的概率为即为长度之比．答案8．[2019·唐山市高三五校联考]向圆x－22＋y－2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________．解析如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为

2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为×π×2－×2×＝π－，所以向圆x－22＋y－2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝－.答案－

三、解答题9．如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝

4.1已知点A的坐标为20，B为圆周上任意一点，求的长度小于π的概率；2若Nx，y为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于的概率．解析1圆O的周长为4π，所以弧的长度小于π的概率为＝.2记事件M为N到原点的距离大于，则ΩM＝{x，y|x2＋y22}，Ω＝{x，y|x2＋y2≤4}，所以PM＝＝.10．已知关于x的一次函数y＝kx＋bx∈R．1设集合P＝{－1123}，从集合P中随机取一个数作为k，求函数y＝kx＋b是减函数的概率；2实数对k，b满足条件求函数y＝kx＋b的图象不经过第四象限的概率．解析1从集合P中随机取一个数作为k的所有可能结果有4种，满足函数y＝kx＋b是减函数的情形是k＝－1，则所求概率P＝.2因为k0，函数y＝kx＋b的图象不经过第四象限的条件是b≥

0.作出k，b对应的平面区域如图中的梯形ABCD不含b轴，其面积是S1＝＝，符合限制条件的k，b对应的平面区域如图中的三角形BOC，其面积是S2＝，故所求概率P＝＝.[能力挑战]11．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.1求n的值；2从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.

①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；

②在区间

[02]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2a－b2恒成立”的概率．解析1依题意共有n＋2个小球，则从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为＝，∴n＝

2.2

①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故PA＝＝.

②易知a－b2≤4，故待求概率的事件即为“x2＋y24”，x，y可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{x，y|0≤x≤20≤y≤2，x，y∈R}，由几何概型得概率P＝＝1－.。