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课时作业38 直接证明与间接证明[基础达标]
一、选择题1.要证明+4可选择的方法有以下几种,其中最合理的为 A.综合法B.分析法C.比较法D.归纳法解析要证明+4,只需证明+216,即8+216,即证明4,亦即只需证明1516,而1516显然成立,故原不等式成立.因此利用分析法证明较为合理,故选B.答案B2.用反证法证明命题“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为 A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除D.a不能被5整除解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”,即“a,b都不能被5整除”.答案B3.在△ABC中,sinAsinCcosAcosC,则△ABC一定是 A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析由sinAsinCcosAcosC得cosAcosC-sinAsinC0,即cosA+C0,所以A+C是锐角,从而B,故△ABC必是钝角三角形.答案C4.分析法又称执果索因法,已知x0,用分析法证明1+时,索的因是 A.x22B.x24C.x20D.x21解析因为x0,所以要证1+,只需证22,即证0,即证x20,因为x0,所以x20成立,故原不等式成立.答案C5.已知p=a+a2,q=2-x2+4x-2x0,则 A.pqB.pqC.p≥qD.p≤q解析p=a+=a-2++2≥2+2=4,q=2-x2+4x-2=2-x-22+2≤
4.答案C
二、填空题6.如果a+ba+b,则a,b应满足的条件是________.解析a+ba+b,即-2+0,需满足a≥0,b≥0且a≠b.答案a≥0,b≥0且a≠b7.若向量a=x+12,b=4,-2,若a∥b,则实数x=________.解析因为a∥b,所以x+1×-2=2×4,解得x=-
5.答案-58.[2019·太原模拟]用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设__________________.解析“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”.答案x≠-1且x≠1
三、解答题9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=
1.求证a,b,c成等差数列.证明由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因为sinB≠0,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.10.已知a,b是正实数,求证+≥+.证明证法一 作差法因为a,b是正实数,所以+--=+==≥0,所以+≥+.证法二 分析法已知a,b是正实数,要证+≥+,只需证a+b≥+,即证a+b-+≥+,即证a+b-≥,就是要证a+b≥
2.显然a+b≥2恒成立,所以+≥+.证法三 综合法因为a,b是正实数,所以+++≥2+2=2+2,当且仅当a=b时取等号,所以+≥+.证法四 综合法因为a,b是正实数,所以+=a+b++≥a+b+2=a+b+2=+2,当且仅当a=b时取等号,所以+≥+.[能力挑战]11.若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证a,b,c中至少有一个大于
0.证明假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,所以a+b+c≤
0.而a+b+c=++=x2-2x+y2-2y+z2-2z+π=x-12+y-12+z-12+π-
3.所以a+b+c0,这与a+b+c≤0矛盾,故a,b,c中至少有一个大于
0.。