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课时作业42 空间点、直线、平面之间的位置关系[基础达标]
一、选择题1.[2019·江西七校联考]已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是 A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面解析依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.答案D2.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是 A.b⊂αB.b∥αC.b⊂α或b∥αD.b与α相交或b⊂α或b∥α解析b与α相交或b⊂α或b∥α都可以.答案D
3.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是 A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面解析连接A1C1,AC图略,则A1C1∥AC,∴A1,C1,A,C四点共面,∴A1C⊂平面ACC1A
1.∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A
1.又M∈平面AB1D1,∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,∴A,M,O三点共线.答案A4.[2019·河北张家口模拟]三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=AB,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,则BM与AN所成角的余弦值为 A.B.C.D.解析取BC的中点O,连接NO,AO,MN,因为B1C1綊BC,OB=BC,所以OB∥B1C1,OB=B1C1,因为M,N分别为A1B1,A1C1的中点,所以MN∥B1C1,MN=B1C1,所以MN綊OB,所以四边形MNOB是平行四边形,所以NO∥MB,所以∠ANO或其补角即为BM与AN所成角,不妨设AB=2,则有AO=,ON=BM=,AN=,在△ANO中,由余弦定理可得cos∠ANO===.故选C.答案C5.[2019·安徽联合检测]若在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AC=∠BAC=60°,平面A1ACC1⊥平面ABC,AA1=AC=AB,则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为 A.B.C.D.解析解法一 如图,在平面ABC,平面A1B1C1中分别取点D,D1,连接BD,CD,B1D1,C1D1,使得四边形ABDC,A1B1D1C1为平行四边形,连接DD1,BD1,则AB=C1D1且AB∥C1D1,所以AC1∥BD1,故∠A1BD1即异面直线AC1与A1B所成的角.连接A1D1,过点A1作A1M⊥AC于点M,连接BM,设AA1=2,由∠A1AM=∠BAC=60°,得AM=1,BM=,A1M=,因为平面A1ACC1⊥平面ABC,A1M⊂平面A1ACC1,所以A1M⊥平面ABC,所以A1M⊥BM,所以A1B=,在菱形A1ACC1中,易求得AC1=2=BD1,在菱形A1B1D1C1中,易求得A1D1=2,所以cos∠A1BD1===,所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.解法二 令M为AC的中点,连接MB,MA1,易得MA,MB,MA1两两垂直.以M为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设AA1=AC=AB=2,则A100,B0,,0,A100,,C1-20,,所以=-30,,=0,,-,所以cos〈,〉==-,故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.答案B
二、填空题6.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是________.
①P∈a,P∈α⇒a⊂α;
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.解析当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴
①错;a∩β=P时,
②错;如图∵a∥b,P∈b,∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面γ,但γ经过直线a与点P,∴γ与α重合,∴b⊂α,故
③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故
④正确.答案
③④7.如图所示,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________填上所有正确答案的序号.解析图1中,直线GH∥MN;图2中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;图3中,连接MG,HN,GM∥HN,因此GH与MN共面;图4中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.所以图2,4中GH与MN异面.答案248.[2019·福建四地六校联考]已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M、N分别是BC、AD的中点,则异面直线AB与MN所成角的大小为________.解析如图,取AC的中点P,连接PM,PN,则PM∥AB,且PM=AB,PN∥CD,且PN=CD.∴∠MPN或其补角为AB与CD所成的角,则∠MPN=60°或∠MPN=120°,∵PM∥AB,∴∠PMN或其补角是AB与MN所成的角,∵AB=CD,∴PM=PN,若∠PMN=60°,则△PMN是等边三角形,∴∠PMN=60°,∴AB与MN所成的角为60°.若∠MPN=120°,则∠PMN=30°,∴AB与MN所成的角为30°,综上,异面直线AB与MN所成的角为30°或60°.答案30°或60°
三、解答题
9.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F,求证E,F,G,H四点必定共线.证明因为AB∥CD,所以AB,CD确定一个平面β.又因为AB∩α=E,AB⊂β,所以E∈α,E∈β,即E为平面α与β的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点,因为若两个平面有公共点,那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.10.如图,已知不共面的三条直线a,b,c相交于点P,A∈a,B∈a,C∈b,D∈c,求证AD与BC是异面直线.证明假设AD和BC共面,所确定的平面为α,那么点P,A,B,C,D都在平面α内,∴直线a,b,c都在平面α内,与已知条件a,b,c不共面矛盾,假设不成立.∴AD和BC是异面直线.[能力挑战]11.[2019·武汉调研]在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱AB,CD上,且AE=CF=
1.1求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值;2求四面体EFC1A1的体积.解析1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,延长DC至M,使CM=1,则AE綊CM.连接AC,EM,∴ME綊AC綊A1C1,连接MC1,∴A1E綊C1M,∴∠FC1M为异面直线A1E与C1F所成的角.在△FC1M中,C1F=C1M=,FM=2,∴cos∠FC1M==.故异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为.2在D1C1上取一点N,使ND1=
1.连接EN,FN,A1N,∴A1E綊FN,∴A1N綊EF,∵EF⊂平面EFC1,A1N⊄平面EFC1,∴A1N∥平面EFC1,∴VA1-EFC1=VN-EFC1=VE-NFC1=×S△NFC1×3=××2×3×3=
3.故四面体EFC1A1的体积为
3.。