2020高考数学一轮复习课时作业42空间点、直线、平面之间的位置关系理

课时作业42　空间点、直线、平面之间的位置关系[基础达标]

一、选择题1．[2019·江西七校联考]已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是　　A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．答案D2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是　　A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α解析b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．答案D

3.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是　　A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析连接A1C1，AC图略，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A

1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A

1.又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A，M，O三点共线．答案A4．[2019·河北张家口模拟]三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为　　A.B.C.D.解析取BC的中点O，连接NO，AO，MN，因为B1C1綊BC，OB＝BC，所以OB∥B1C1，OB＝B1C1，因为M，N分别为A1B1，A1C1的中点，所以MN∥B1C1，MN＝B1C1，所以MN綊OB，所以四边形MNOB是平行四边形，所以NO∥MB，所以∠ANO或其补角即为BM与AN所成角，不妨设AB＝2，则有AO＝，ON＝BM＝，AN＝，在△ANO中，由余弦定理可得cos∠ANO＝＝＝.故选C.答案C5．[2019·安徽联合检测]若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为　　A.B.C.D.解析解法一　如图，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连接DD1，BD1，则AB＝C1D1且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1即异面直线AC1与A1B所成的角．连接A1D1，过点A1作A1M⊥AC于点M，连接BM，设AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，得AM＝1，BM＝，A1M＝，因为平面A1ACC1⊥平面ABC，A1M⊂平面A1ACC1，所以A1M⊥平面ABC，所以A1M⊥BM，所以A1B＝，在菱形A1ACC1中，易求得AC1＝2＝BD1，在菱形A1B1D1C1中，易求得A1D1＝2，所以cos∠A1BD1＝＝＝，所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.解法二　令M为AC的中点，连接MB，MA1，易得MA，MB，MA1两两垂直．以M为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AA1＝AC＝AB＝2，则A100，B0，，0，A100，，C1－20，，所以＝－30，，＝0，，－，所以cos〈，〉＝＝－，故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.答案B

二、填空题6．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．

①P∈a，P∈α⇒a⊂α；

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴

①错；a∩β＝P时，

②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴γ与α重合，∴b⊂α，故

③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故

④正确．答案

③④7．如图所示，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________填上所有正确答案的序号．解析图1中，直线GH∥MN；图2中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图3中，连接MG，HN，GM∥HN，因此GH与MN共面；图4中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以图2，4中GH与MN异面．答案248．[2019·福建四地六校联考]已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，则异面直线AB与MN所成角的大小为________．解析如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD.∴∠MPN或其补角为AB与CD所成的角，则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，∵PM∥AB，∴∠PMN或其补角是AB与MN所成的角，∵AB＝CD，∴PM＝PN，若∠PMN＝60°，则△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，∴AB与MN所成的角为60°.若∠MPN＝120°，则∠PMN＝30°，∴AB与MN所成的角为30°，综上，异面直线AB与MN所成的角为30°或60°.答案30°或60°

三、解答题

9.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证E，F，G，H四点必定共线．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．10．如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证AD与BC是异面直线．证明假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内，∴直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立．∴AD和BC是异面直线．[能力挑战]11．[2019·武汉调研]在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在棱AB，CD上，且AE＝CF＝

1.1求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值；2求四面体EFC1A1的体积．解析1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，延长DC至M，使CM＝1，则AE綊CM.连接AC，EM，∴ME綊AC綊A1C1，连接MC1，∴A1E綊C1M，∴∠FC1M为异面直线A1E与C1F所成的角．在△FC1M中，C1F＝C1M＝，FM＝2，∴cos∠FC1M＝＝.故异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为.2在D1C1上取一点N，使ND1＝

1.连接EN，FN，A1N，∴A1E綊FN，∴A1N綊EF，∵EF⊂平面EFC1，A1N⊄平面EFC1，∴A1N∥平面EFC1，∴VA1－EFC1＝VN－EFC1＝VE－NFC1＝×S△NFC1×3＝××2×3×3＝

3.故四面体EFC1A1的体积为

3.。