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课时作业45 空间向量及其运算[基础达标]
一、选择题1.已知a=23,-4,b=-4,-3,-2,b=x-2a,则x= A.03,-6B.06,-20C.06,-6D.66,-6解析由b=x-2a,得x=4a+2b=812,-16+-8,-6,-4=06,-20.答案B2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6=+2+3,则 A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面解析由6=+2+3,得-=2-+3-,即=2+3,故,,共面,又它们有公共点P,因此,P,A,B,C四点共面,故选B.答案B3.已知空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则= A.a-b+cB.-a+b+cC.a+b-cD.a+b-c解析显然=-=+-.答案B4.已知四边形ABCD满足·0,·0,·0,·0,则该四边形为 A.平行四边形B.梯形C.长方形D.空间四边形解析由·0,·0,·0,·0,知该四边形一定不是平面图形.答案D5.[2019·日照调研]已知A413,B2,-51,C为线段AB上一点,且=,则C点的坐标为 A.,-,B.,-32C.,-1,D.,-,解析由题意知2=,设Cx,y,z,则2x-4,y-1,z-3=2-x,-5-y1-z,∴∴即C,-1,答案C
二、填空题6.已知空间四边形OABC,点M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量=________.解析如图所示,=+=[-+-]=+-2=+-=b+c-a.答案b+c-a7.若a=01,-1,b=110,且a+λb⊥a,则实数λ的值为________.解析因为a+λb⊥a,所以a+λb·a=a2+λb·a=2+λ×0+1+0=0,解得λ=-
2.答案-28.已知a=12,-2,b=024,则a,b夹角的余弦值为________.解析cos〈a,b〉==-.答案-
三、解答题9.已知空间三点A023,B-216,C1,-15.1求以,为边的平行四边形的面积;2若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.解析1由题意可得=-2,-13,=1,-32,所以cos〈,〉====,所以sin〈,〉=,所以以,为边的平行四边形的面积S=2×||||sin〈,〉=14×=
7.2设a=x,y,z,由题意得解得或所以a=111或a=-1,-1,-1.10.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算1·;2·;3EG的长.解析设=a,=b,=c.则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,==c-a,=-a,=b-c,1·=·-a=a2-a·c=.2·=c-a·b-c=b·c-a·b-c2+a·c=-.3=++=a+b-a+c-b=-a+b+c,||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=,则||=.[能力挑战]11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.求证1CM∥平面PAD;2平面PAB⊥平面PAD.证明以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.∵PC⊥平面ABCD,∵∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,∴∠PBC=30°,∵PC=2,∴BC=2,PB=4,∴D010,B2,00,A2,40,P002,M,∴=0,-12,=2,30,=.1设n=x,y,z为平面PAD的一个法向量,由即令y=2,得n=-,21.∵n·=-×+2×0+1×=0,∴n⊥.又CM⊄平面PAD,∴CM∥平面PAD.2解法一 由1知=040,=2,0,-2,设平面PAB的一个法向量为m=x0,y0,z0,由即令x0=1,得m=10,,又∵平面PAD的一个法向量n=-,21,∴m·n=1×-+0×2+×1=0,∴平面PAB⊥平面PAD.解法二 取AP的中点E,连接BE,则E,21,=-,21.∵PB=AB,∴BE⊥PA.又∵·=-,21·2,30=0,∴⊥.∴BE⊥DA.又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD.又∵BE⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.。