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课时作业45 空间向量及其运算[基础达标]
一、选择题1．已知a＝23，－4，b＝－4，－3，－2，b＝x－2a，则x＝ A．03，－6B．06，－20C．06，－6D．66，－6解析由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝812，－16＋－8，－6，－4＝06，－20．答案B2．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则 A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面解析由6＝＋2＋3，得－＝2－＋3－，即＝2＋3，故，，共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面，故选B.答案B3．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝ A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－c解析显然＝－＝＋－.答案B4．已知四边形ABCD满足·0，·0，·0，·0，则该四边形为 A．平行四边形B．梯形C．长方形D．空间四边形解析由·0，·0，·0，·0，知该四边形一定不是平面图形．答案D5．[2019·日照调研]已知A413，B2，－51，C为线段AB上一点，且＝，则C点的坐标为 A．，－，B．，－32C．，－1，D．，－，解析由题意知2＝，设Cx，y，z，则2x－4，y－1，z－3＝2－x，－5－y1－z，∴∴即C，－1，答案C
二、填空题6．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________.解析如图所示，＝＋＝[－＋－]＝＋－2＝＋－＝b＋c－a．答案b＋c－a7．若a＝01，－1，b＝110，且a＋λb⊥a，则实数λ的值为________．解析因为a＋λb⊥a，所以a＋λb·a＝a2＋λb·a＝2＋λ×0＋1＋0＝0，解得λ＝－
2.答案－28．已知a＝12，－2，b＝024，则a，b夹角的余弦值为________．解析cos〈a，b〉＝＝－.答案－
三、解答题9．已知空间三点A023，B－216，C1，－15．1求以，为边的平行四边形的面积；2若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．解析1由题意可得＝－2，－13，＝1，－32，所以cos〈，〉＝＝＝＝，所以sin〈，〉＝，所以以，为边的平行四边形的面积S＝2×||||sin〈，〉＝14×＝
7.2设a＝x，y，z，由题意得解得或所以a＝111或a＝－1，－1，－1．10．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算1·；2·；3EG的长．解析设＝a，＝b，＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝＝c－a，＝－a，＝b－c，1·＝·－a＝a2－a·c＝.2·＝c－a·b－c＝b·c－a·b－c2＋a·c＝－.3＝＋＋＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c，||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.[能力挑战]11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证1CM∥平面PAD；2平面PAB⊥平面PAD.证明以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.∵PC⊥平面ABCD，∵∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°，∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，∴D010，B2，00，A2，40，P002，M，∴＝0，－12，＝2，30，＝.1设n＝x，y，z为平面PAD的一个法向量，由即令y＝2，得n＝－，21．∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥.又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.2解法一 由1知＝040，＝2，0，－2，设平面PAB的一个法向量为m＝x0，y0，z0，由即令x0＝1，得m＝10，，又∵平面PAD的一个法向量n＝－，21，∴m·n＝1×－＋0×2＋×1＝0，∴平面PAB⊥平面PAD.解法二 取AP的中点E，连接BE，则E，21，＝－，21．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵·＝－，21·2，30＝0，∴⊥.∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.。
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