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课时作业57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理[基础达标]
一、选择题1.一购物中心销售某种型号的智能手机,其中国产的品牌有20种,进口的品牌有10种,小明要买一部这种型号的手机,则不同的选法有 A.20种 B.10种C.30种D.200种解析分类完成此事,一类是买国产品牌,有20种选法,另一类是买进口品牌,有10种选法.由分类加法计数原理可知,共有20+10=30种选法.答案C2.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选取,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择数字可以重复,有车主第一个号码从左到右只想在数字35689中选取,其他号码只想在1369中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有 A.180种B.360种C.720种D.960种解析按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二个号码有3种选法,其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960种.答案D3.用数字12345组成没有重复数字的五位数,其中偶数的个数为 A.24 B.48 C.60 D.72解析先排个数,再排十位,百位,千位、万位,依次有24321种排法,由分步乘法计数原理知2×4×3×2×1=
48.答案B4.从集合{123,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为 A.3B.4C.6D.8解析当公比为2时,等比数列可为124或248;当公比为3时,等比数列可为139;当公比为时,等比数列可为
469.同理,公比为,,时,也有4个.故共有2+1+1+4=8个.答案D5.a,b,c,d,e共5个人,从中选1名组长1名副组长,但a不能当副组长,不同选法的种数是 A.20B.16C.10D.6解析当a当组长时,则共有1×4=4种选法;当a不当组长时,因为a不能当副组长,则共有4×3=12种选法.因此共有4+12=16种选法.答案B6.从23456789这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,则可以组成不同对数值的个数为 A.56B.54C.53D.52解析在8个数中任取2个不同的数共有8×7=56个对数值,但在这56个对数值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,即满足条件的对数值共有56-4=52个.答案D7.设集合A={-101},集合B={0123},定义A*B={x、y|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数是 A.7B.10C.25D.52解析由题意知本题是一个分步乘法计数原理,因为集合A={-101},集合B={0123},所以A∩B={01},A∪B={-10123},所以x有2种取法,y有5种取法,所以根据分步乘法计数原理得2×5=
10.答案B8.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2a3,则称这样的三位数为凸数如120343275等,那么所有凸数的个数为 A.240B.204C.729D.920解析分8类,当中间数为2时,有1×2=2个;当中间数为3时,有2×3=6个;当中间数为4时,有3×4=12个;当中间数为5时,有4×5=20个;当中间数为6时,有5×6=30个;当中间数为7时,有6×7=42个;当中间数为8时,有7×8=56个;当中间数为9时,有8×9=72个;故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240个.答案A
9.如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择.要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为 A.64B.72C.84D.96解析分两种情况1A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,B,D有1种,有4×3×2=24种.2A,C同色,先涂A有4种,E有3种,C有1种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48种.共有72种.答案C10.A与B是I={1234}的子集,若A∩B={12},则称A,B为一个理想配集,若将A,B与B,A看成不同的“理想配集”,则符合此条件的“理想配集”的个数是 A.4B.8C.9D.16解析对子集A分类讨论.当A是二元集{12},B可以为{1234},{124},{123},{12}共4种情况;当A是三元集{123},B可以取{124},{12}共有2种情况;当A是三元集{124},B可以取{123},{12},共有2种情况;当A是四元集{1234},此时B取{12}有1种情况,根据分类加法计数原理得4+2+2+1=9种,故符合此条件的“理想配集”有9个.故选C.答案C
二、填空题11.若x,y∈N*,且x+y≤6,则有序自然数对x,y共有________个.解析当x=1时,y可取的值为54321,共5个;当x=2时,y可取的值为4321,共4个;当x=3时,y可取的值为321,共3个;当x=4时,y可取的值为21,共2个;当x=5时,y可取的值为1,共1个.即当x=12345时,y的值依次有54321个,由分类加法计数原理,得不同的数对x,y共有5+4+3+2+1=15个.答案1512.在平面直角坐标系内,点Pa,b的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{123456}中的元素.又点P到原点的距离|OP|≥5,则这样的点P的个数为________.解析依题意可知当a=1时,b=56,两种情况;当a=2时,b=56,两种情况;当a=3时,b=456三种情况;当a=4时,b=356,三种情况;当a=5或6时,b各有五种情况.所以共有2+2+3+3+5+5=20种情况.答案2013.已知集合M={1234},集合A,B为集合M的非空子集,若对任意x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称A,B为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有______个.解析A={1}时,B有23-1=7种情况;A={2}时,B有22-1=3种情况;A={3}时,B有1种情况;A={12}时,B有22-1=3种情况;A={13},{23},{123}时,B均有1种情况,故满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17个.答案1714.若三角形三边均为正整数,其中一边长为4,另外两边长为b,c,且满足b≤4≤c,则这样的三角形有________个.解析当b=1时,c=4;当b=2时,c=45;当b=3时,c=456;当b=4时,c=
4567.故共有1+2+3+4=10个这样的三角形.答案10[能力挑战]15.[2019·太原市高三模拟]某校组织高一年级8个班级的8支篮球队进行单循环比赛每支球队与其他7支球队各比赛一场,计分规则是胜一局得2分,负一局得0分,平局双方各得1分.下面关于这8支球队的得分情况叙述正确的是 A.可能有两支球队得分都是14分B.各支球队最终得分总和为56分C.各支球队中最高得分不少于8分D.得奇数分的球队必有奇数个解析8支篮球队进行单循环赛,总的比赛场数为7+6+5+4+3+2+1=28,每场比赛两个队得分之和总是2分,∴各支球队最终得分总和为56分,故选B.答案B16.若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位例如134+3802=3936,则称m,n为“简单的”有序对,而m+n称为有序对m,n的值,那么值为1942的“简单的”有序对的个数是________.解析第1步,1=1+01=0+1,共2种组合方式;第2步,9=0+99=1+89=2+79=3+6,…,9=9+0,共10种组合方式;第3步,4=0+44=1+34=2+24=3+14=4+0,共5种组合方式;第4步,2=0+22=1+12=2+0,共3种组合方式.根据分步乘法计数原理,知值为1942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3=
300.答案
30017.如图所示的几何体由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色底面A1B1C1不涂色,要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有________种.解析先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有3×2×1×2=12种不同的涂法.答案12。