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课时作业57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理[基础达标]
一、选择题1．一购物中心销售某种型号的智能手机，其中国产的品牌有20种，进口的品牌有10种，小明要买一部这种型号的手机，则不同的选法有 A．20种 B．10种C．30种D．200种解析分类完成此事，一类是买国产品牌，有20种选法，另一类是买进口品牌，有10种选法．由分类加法计数原理可知，共有20＋10＝30种选法．答案C2．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选取，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择数字可以重复，有车主第一个号码从左到右只想在数字35689中选取，其他号码只想在1369中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有 A．180种B．360种C．720种D．960种解析按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960种．答案D3．用数字12345组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为 A．24 B．48 C．60 D．72解析先排个数，再排十位，百位，千位、万位，依次有24321种排法，由分步乘法计数原理知2×4×3×2×1＝
48.答案B4．从集合{123，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 A．3B．4C．6D．8解析当公比为2时，等比数列可为124或248；当公比为3时，等比数列可为139；当公比为时，等比数列可为
469.同理，公比为，，时，也有4个．故共有2＋1＋1＋4＝8个．答案D5．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是 A．20B．16C．10D．6解析当a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，因为a不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．答案B6．从23456789这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为 A．56B．54C．53D．52解析在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值，但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52个．答案D7．设集合A＝{－101}，集合B＝{0123}，定义A*B＝{x、y|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是 A．7B．10C．25D．52解析由题意知本题是一个分步乘法计数原理，因为集合A＝{－101}，集合B＝{0123}，所以A∩B＝{01}，A∪B＝{－10123}，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得2×5＝
10.答案B8．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2a3，则称这样的三位数为凸数如120343275等，那么所有凸数的个数为 A．240B．204C．729D．920解析分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个；故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．答案A
9.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 A．64B．72C．84D．96解析分两种情况1A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2＝24种．2A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种．共有72种．答案C10．A与B是I＝{1234}的子集，若A∩B＝{12}，则称A，B为一个理想配集，若将A，B与B，A看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数是 A．4B．8C．9D．16解析对子集A分类讨论．当A是二元集{12}，B可以为{1234}，{124}，{123}，{12}共4种情况；当A是三元集{123}，B可以取{124}，{12}共有2种情况；当A是三元集{124}，B可以取{123}，{12}，共有2种情况；当A是四元集{1234}，此时B取{12}有1种情况，根据分类加法计数原理得4＋2＋2＋1＝9种，故符合此条件的“理想配集”有9个．故选C.答案C
二、填空题11．若x，y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对x，y共有________个．解析当x＝1时，y可取的值为54321，共5个；当x＝2时，y可取的值为4321，共4个；当x＝3时，y可取的值为321，共3个；当x＝4时，y可取的值为21，共2个；当x＝5时，y可取的值为1，共1个．即当x＝12345时，y的值依次有54321个，由分类加法计数原理，得不同的数对x，y共有5＋4＋3＋2＋1＝15个．答案1512．在平面直角坐标系内，点Pa，b的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{123456}中的元素．又点P到原点的距离|OP|≥5，则这样的点P的个数为________．解析依题意可知当a＝1时，b＝56，两种情况；当a＝2时，b＝56，两种情况；当a＝3时，b＝456三种情况；当a＝4时，b＝356，三种情况；当a＝5或6时，b各有五种情况．所以共有2＋2＋3＋3＋5＋5＝20种情况．答案2013．已知集合M＝{1234}，集合A，B为集合M的非空子集，若对任意x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称A，B为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有______个．解析A＝{1}时，B有23－1＝7种情况；A＝{2}时，B有22－1＝3种情况；A＝{3}时，B有1种情况；A＝{12}时，B有22－1＝3种情况；A＝{13}，{23}，{123}时，B均有1种情况，故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个．答案1714．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有________个．解析当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝45；当b＝3时，c＝456；当b＝4时，c＝
4567.故共有1＋2＋3＋4＝10个这样的三角形．答案10[能力挑战]15．[2019·太原市高三模拟]某校组织高一年级8个班级的8支篮球队进行单循环比赛每支球队与其他7支球队各比赛一场，计分规则是胜一局得2分，负一局得0分，平局双方各得1分．下面关于这8支球队的得分情况叙述正确的是 A．可能有两支球队得分都是14分B．各支球队最终得分总和为56分C．各支球队中最高得分不少于8分D．得奇数分的球队必有奇数个解析8支篮球队进行单循环赛，总的比赛场数为7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28，每场比赛两个队得分之和总是2分，∴各支球队最终得分总和为56分，故选B.答案B16．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位例如134＋3802＝3936，则称m，n为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对m，n的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是________．解析第1步，1＝1＋01＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋99＝1＋89＝2＋79＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋44＝1＋34＝2＋24＝3＋14＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋22＝1＋12＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，知值为1942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝
300.答案
30017.如图所示的几何体由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色底面A1B1C1不涂色，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案12。
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