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课时作业6 函数的奇偶性与周期性[基础达标]
一、选择题1.[2019·宝安,潮阳,桂城等八校第一次联考]下列函数中,在其定义域内是增函数而且是奇函数的是 A.y=2x B.y=2|x|C.y=2x-2-xD.y=2x+2-x解析因为y=2x为增函数,y=2-x为减函数,所以y=2x-2-x为增函数,又y=2x-2-x为奇函数,所以选C.答案C2.[2019·石家庄模拟]设函数fx为偶函数,当x∈0,+∞时,fx=log2x,则f-= A.-B.C.2D.-2解析因为函数fx是偶函数,所以f-=f=log2=,故选B.答案B3.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数fx=x-[x]在R上为 A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数解析函数fx=x-[x]在R上的图象如下图答案D4.[2019·河南安阳模拟]定义在R上的偶函数fx,对任意x1,x2∈[0,+∞x1≠x2,有0,则 A.f3f-2f1B.f1f-2f3C.f-2f1f3D.f3f1f-2解析由题意知fx为偶函数,所以f-2=f2.又x∈[0,+∞时,fx为减函数,且321,所以f3f2f1,即f3f-2f1.答案A5.已知fx=ax2+bx是定义在[a-12a]上的偶函数,那么a+b的值是 A.-B.C.D.-解析∵fx=ax2+bx是定义在[a-12a]上的偶函数,∴a-1+2a=0,∴a=.又f-x=fx,∴b=0,∴a+b=.答案B6.[2019·武汉市高中毕业生调研]已知fx是R上的奇函数,且y=fx+1为偶函数,当-1≤x≤0时,fx=2x2,则f= A.B.-C.1D.-1解析通解 因为函数fx为奇函数,所以f-x=-fx,又y=fx+1为偶函数,所以fx+1=f-x+1,则fx=f-x+2=-fx-2=-f-x+4=fx-4,所以函数fx的周期为4,所以f=f=f=2×2=,故选A.优解 因为函数fx为奇函数,所以f-x=-fx,又y=fx+1为偶函数,所以fx+1=f1-x,f=f=f=f=-f=-f=-f=-f=f=2×2=,故选A.答案A7.[2019·河南濮阳模拟]若fx=是奇函数,则fg-2的值为 A.B.-C.1D.-1解析∵fx=是奇函数,∴x0时,gx=-+3,∴g-2=-+3=-1,fg-2=f-1=g-1=-+3=
1.故选C.答案C8.已知奇函数fx在R上是增函数.若a=-f,b=flog
4.1,c=f
20.8,则a,b,c的大小关系为 A.abcB.bacC.cbaD.cab解析∵fx是奇函数,∴f-x=-fx,∴a=-f-log25=flog25.而log5>log
4.12>
20.8,且y=fx在R上为增函数,∴flog5>flog
4.1>f
20.8,即a>b>c.答案C9.[2019·南昌模拟]已知函数fx=设gx=kfx+x2+xk为常数,若g10=2018,则g-10等于 A.1998B.2038C.-1818D.-2218解析由g10=k210-1+102+10=2018,得k210-1=1908,所以g-10=k[2--10-1]+-102-10=k210-1+90=1908+90=1998,故选A.答案A10.已知定义在R上的奇函数fx满足fx-4=-fx,且在区间
[02]上是增函数,则 A.f-25f11f80B.f80f11f-25C.f11f80f-25D.f-25f80f11解析因为fx满足fx-4=-fx,所以fx-8=fx,所以函数fx是以8为周期的周期函数,则f-25=f-1,f80=f0,f11=f3.由fx是定义在R上的奇函数,且满足fx-4=-fx,得f11=f3=-f-1=f1.因为fx在区间
[02]上是增函数,fx在R上是奇函数,所以fx在区间[-22]上是增函数,所以f-1f0f1,即f-25f80f11.答案D
二、填空题11.[2017·全国卷Ⅱ]已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x∈-∞,0时,fx=2x3+x2,则f2=________.解析令x0,则-x
0.∴f-x=-2x3+x
2.∵函数fx是定义在R上的奇函数,∴f-x=-fx.∴fx=2x3-x2x0.∴f2=2×23-22=
12.答案1212.[2018·全国卷Ⅲ]已知函数fx=ln-x+1,fa=4,则f-a=________.解析∵fx+f-x=ln-x+1+ln+x+1=ln1+x2-x2+2=2,∴fa+f-a=2,∴f-a=-
2.答案-213.[2019·山西省八校第一次联考]已知fx是定义在R上的函数,且满足fx+2=-,当2≤x≤3时,fx=x,则f=________.解析∵fx+2=-,∴fx+4=fx,∴f=f,又2≤x≤3时,fx=x,∴f=,∴f=.答案14.[2019·石家庄高中毕业班模拟考试]已知fx是定义在[-2b1+b]上的偶函数,且在[-2b0]上为增函数,则fx-1≤f2x的解集为________.解析∵函数fx是定义在[-2b1+b]上的偶函数,∴-2b+1+b=0,b=1,函数fx的定义域为[-22],又函数fx在[-20]上单调递增,∴函数fx在
[02]上单调递减,∵fx-1≤f2x,∴f|x-1|≤f|2x|,∴∴∴∴-1≤x≤.答案[能力挑战]15.[2019·福建省高三毕业班质量检查测试]已知fx是定义在R上的偶函数,且x∈R时,均有f3+x=f2-x,2≤fx≤8,则满足条件的fx可以是 A.fx=6+3cosB.fx=5+3sinC.fx=D.fx=解析因为fx是定义在R上的偶函数,所以排除选项B,D;因为fx≤8,所以排除选项A,选项C.答案C16.[2019·益阳市,湘潭市高三调研]定义在R上的函数fx,满足fx+5=fx,当x∈-30]时,fx=-x-1,当x∈02]时,fx=log2x,则f1+f2+f3+…+f2018的值等于 A.403B.405C.806D.809解析定义在R上的函数fx,满足fx+5=fx,即函数fx的周期为
5.又当x∈02]时,fx=log2x,所以f1=log21=0,f2=log22=
1.当x∈-30]时,fx=-x-1,所以f3=f-2=1,f4=f-1=0,f5=f0=-
1.f1+f2+f3+…+f2018=403×[f1+f2+f3+f4+f5]+f2016+f2017+f2018=403×1+f1+f2+f3=403+0+1+1=405,故选B.答案B17.[2019·安徽省联合质量检测]已知定义在R上的奇函数fx的图象关于直线x=1对称,在01]上,fx=9x-
3.若数列{an}满足an=f[log264+n],对n∈N*且n100,当a1+a2+…+an最大时,n=________.解析由fx为奇函数可得f-x=-fx,由函数fx的图象关于直线x=1对称可得fx+2=f-x=-fx,所以fx+4=-fx+2=fx,故fx以4为周期.因为fx=9x-3,x∈01],所以当x∈时,fx0;当x∈时,fx0,f=f=
0.由周期性可知,当x∈时,fx0,当x∈时,fx0,f=f=0,又6log264+nlog2164log2128=,所以当6log264+n,即64+n64时,an0,因为906491,所以n≤26;当100n≥27时,log264+n,所以an
0.所以当n=26时,a1+a2+…+an最大.答案26。