2020高考数学刷题首秧第三章三角函数解三角形与平面向量考点测试19三角函数的图象与性质文含解析

考点测试19　三角函数的图象与性质高考概览考纲研读1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在[02π]上的性质如单调性，最大值和最小值，图象与x轴的交点等，理解正切函数在区间内的单调性

一、基础小题1．函数y＝3cosx－的最小正周期是　　A．B．C．2πD．5π答案　D解析　由T＝＝5π，知该函数的最小正周期为5π．故选D．2．已知fx＝sin，gx＝cos，则fx的图象　　A．与gx的图象相同B．与gx的图象关于y轴对称C．向左平移个单位，得到gx的图象D．向右平移个单位，得到gx的图象答案　D解析　因为gx＝cos＝cos＝sinx，所以fx向右平移个单位，可得到gx的图象，故选D．3．函数y＝－2sinx－1，x∈，的值域是　　A．[－31]B．[－21]C．－31]D．－21]答案　D解析　由y＝sinx在，上，－1≤sinx，所以函数y＝－2sinx－1，x∈，的值域是－21]．故选D．4．函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为　　A．3，－1B．3，－2C．2，－1D．2，－2答案　D解析　y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，则t∈[－11]，y＝－t2－2t＋1＝－t＋12＋2，所以最大值为2，最小值为－2．故选D．5．若函数fx＝sinx＋α－为偶函数，则cos2α的值为　　A．－B．C．－D．答案　C解析　由题意α－＝＋kπ，k∈Z，所以2α＝＋2kπ，k∈Z，所以cos2α＝cos＝－cos＝－．故选C．6．函数y＝2sin－2x的单调递增区间为　　A．kπ＋，kπ＋k∈ZB．kπ－，kπ＋k∈ZC．kπ＋，kπ＋k∈ZD．kπ－，kπ＋k∈Z答案　A解析　∵y＝2sin－2x＝－2sin2x－，∴＋2kπ≤2x－≤＋2kπk∈Z，即kπ＋≤x≤kπ＋k∈Z，即增区间为kπ＋，kπ＋k∈Z．故选A．7．函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．答案　－－，1解析　设t＝sinx－cosx，则t＝sinx－，t∈[－，]，t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝，∴y＝－＋t＋＝－t－12＋1．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－．∴函数的值域为－－，1．8．函数y＝lgsin2x＋的定义域为________．答案　解析　由得∴－3≤x－或0x．∴函数y＝lgsin2x＋的定义域为．

二、高考小题9．2017·全国卷Ⅱ函数fx＝sin的最小正周期为　　A．4πB．2πC．πD．答案　C解析　由题意得ω＝2，所以函数fx＝sin2x＋的最小正周期T＝＝π．故选C．10．2018·全国卷Ⅰ已知函数fx＝2cos2x－sin2x＋2，则　　A．fx的最小正周期为π，最大值为3B．fx的最小正周期为π，最大值为4C．fx的最小正周期为2π，最大值为3D．fx的最小正周期为2π，最大值为4答案　B解析　根据题意，有fx＝cos2x＋，所以函数fx的最小正周期为T＝＝π，且最大值为fxmax＝＋＝4．故选B．11．2018·全国卷Ⅲ函数fx＝的最小正周期为　　A．B．C．πD．2π答案　C解析　由已知得fx＝＝＝sinxcosx＝sin2x，fx的最小正周期T＝＝π．故选C．12．2018·全国卷Ⅱ若fx＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是　　A．B．C．D．π答案　C解析　∵fx＝cosx－sinx＝cosx＋，∴由2kπ≤x＋≤π＋2kπk∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπk∈Z，因此[0，a]⊆－，，∴a0且a≤，即a的最大值为．故选C．13．2017·全国卷Ⅲ设函数fx＝cos，则下列结论错误的是　　A．fx的一个周期为－2πB．y＝fx的图象关于直线x＝对称C．fx＋π的一个零点为x＝D．fx在单调递减答案　D解析　fx的最小正周期为2π，易知A正确；f＝cos＋＝cos3π＝－1，为fx的最小值，故B正确；∵fx＋π＝cosx＋π＋＝－cosx＋，∴f＋π＝－cos＋＝－cos＝0，故C正确；由于f＝cos＋＝cosπ＝－1，为fx的最小值，故fx在，π上不单调，故D错误．14．2018·江苏高考定义在区间[03π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．答案　7解析　在同一平面直角坐标系中作出y＝sin2x与y＝cosx在区间[03π]上的图象如图．由图象可知，共有7个交点．

三、模拟小题15．2018·江西六校联考下列函数中，最小正周期是π，且在区间，π上是增函数的是　　A．y＝sin2xB．y＝sinxC．y＝tanD．y＝cos2x答案　D解析　y＝sin2x在区间，π上的单调性是先减后增；y＝sinx的最小正周期是T＝＝2π；y＝tan的最小正周期是T＝＝2π；y＝cos2x满足条件．故选D．16．2018·安徽联考已知函数y＝2cosx的定义域为，π，值域为[a，b]，则b－a的值是　　A．2B．3C．＋2D．2－答案　B解析　因为函数y＝2cosx的定义域为，π，所以函数y＝2cosx的值域为[－21]，所以b－a＝1－－2＝3，故选B．17．2018·福建六校联考若函数fx＝2sinωx＋φ对任意x都有f＋x＝f－x，则f＝　　A．2或0B．0C．－2或0D．－2或2答案　D解析　由函数fx＝2sinωx＋φ对任意x都有f＋x＝f－x，可知函数图象的一条对称轴为直线x＝×＝．根据三角函数的性质可知，当x＝时，函数取得最大值或最小值．∴f＝2或－2．故选D．18．2019·河北衡水中学调研已知函数fx＝2msinx－ncosx，直线x＝是函数fx图象的一条对称轴，则＝　　A．B．C．－D．答案　C解析　若x＝是函数fx图象的一条对称轴，则x＝是函数fx的极值点．f′x＝2mcosx＋nsinx，故f′＝2mcos＋nsin＝m＋n＝0，所以＝－．故选C．19．2018·衡阳二模已知函数fx＝则下列结论错误的是　　A．fx不是周期函数B．fx在－，＋∞上是增函数C．fx的值域为[－1，＋∞D．fx的图象上存在不同的两点关于原点对称答案　D解析　画出fx的图象如下由图可知，A，B，C正确；对于D，当0x时，xsinx，当x≥时，－1≤sinx≤1，而x1，所以xsinx，所以当x0时，y＝sinx与y＝x无交点，故fx的图象上不存在不同的两点关于原点对称，所以D错误．故选D．20．2018·南昌一模已知fx＝cos2x＋acos＋x在区间，上是增函数，则实数a的取值范围为　　A．[－2，＋∞B．－2，＋∞C．－∞，－4D．－∞，－4]答案　D解析　fx＝cos2x＋acos＋x＝1－2sin2x－asinx在，上是增函数，y＝sinx在，上单调递增，且sinx∈，1．令t＝sinx，t∈，1，则y＝－2t2－at＋1在，1上单调递增，则－≥1，因而a∈－∞，－4]．故选D．

一、高考大题1．2018·北京高考已知函数fx＝sin2x＋sinxcosx．1求fx的最小正周期；2若fx在区间－，m上的最大值为，求m的最小值．解　1fx＝－cos2x＋sin2x＝sin2x－＋．所以fx的最小正周期为T＝＝π．2由1知fx＝sin2x－＋．由题意知－≤x≤m．所以－≤2x－≤2m－．要使fx在－，m上的最大值为，即需sin2x－在－，m上的最大值为1．所以2m－≥，即m≥．所以m的最小值为．2．2017·浙江高考已知函数fx＝sin2x－cos2x－2sinxcosxx∈R．1求f的值；2求fx的最小正周期及单调递增区间．解　1由sin＝，cos＝－，f＝2－－2－2××－，得f＝2．2由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得fx＝－cos2x－sin2x＝－2sin2x＋．所以fx的最小正周期是π．由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．所以，fx的单调递增区间是＋kπ，＋kπk∈Z．3．2016·天津高考已知函数fx＝4tanxsin·cos－．1求fx的定义域与最小正周期；2讨论fx在区间上的单调性．解　1fx的定义域为．fx＝4tanxcosxcos－＝4sinxcos－＝4sinx－＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x＋1－cos2x－＝sin2x－cos2x＝2sin．所以，fx的最小正周期T＝＝π．2令z＝2x－，易知函数y＝2sinz的单调递增区间是，k∈Z．由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．设A＝，B＝，易知A∩B＝．所以，当x∈时，fx在区间上单调递增，在区间上单调递减．

二、模拟大题4．2018·福建福州月考已知函数fx＝，求fx的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解　由cos2x≠0得2x≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以fx的定义域为．因为fx的定义域关于原点对称，且f－x＝＝＝fx．所以fx是偶函数．当x≠＋，k∈Z时，fx＝＝＝＝3cos2x－1．所以fx的值域为．5．2018·合肥质检已知函数fx＝sinωx－cosωxω0的最小正周期为π．1求函数y＝fx图象的对称轴方程；2讨论函数fx在0，上的单调性．解　1∵fx＝sinωx－cosωx＝sinωx－，且T＝π，∴ω＝2．于是fx＝sin2x－．令2x－＝kπ＋k∈Z，得x＝＋k∈Z，故函数fx的对称轴方程为x＝＋k∈Z．2令2kπ－≤2x－≤2kπ＋k∈Z，得函数fx的单调增区间为kπ－，kπ＋k∈Z．注意到x∈0，，令k＝0，得函数fx在0，上的单调增区间为0，；其单调减区间为，．6．2018·武汉模拟已知函数fx＝2sin2ωx＋2·sinωxcosωx－1ω0，且函数fx的最小正周期为π．1求fx的解析式，并求出fx的单调递增区间；2将函数fx的图象向左平移个单位长度得到函数gx的图象，求函数gx的最大值及gx取得最大值时x的取值集合．解　1fx＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1＝1－cos2ωx＋sin2ωx－1＝2sin2ωx－．由函数fx的最小正周期T＝＝π，得ω＝1．所以fx＝2sin2x－．令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，其中k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，其中k∈Z，即fx的单调递增区间为kπ－，kπ＋，其中k∈Z．2gx＝fx＋＝2sin2x＋－＝2sin2x＋，则gx的最大值为2，此时有2sin2x＋＝2，即sin2x＋＝1，即2x＋＝2kπ＋，其中k∈Z，解得x＝kπ＋，其中k∈Z．所以当gx取得最大值时x的取值集合为xx＝kπ＋，其中k∈Z．。