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课下层级训练三十七 空间几何体的表面积与体积[A级 基础强化训练]1．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为 A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3B [设球的半径为R.则＝＝.]2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 A．2倍B．2倍C．倍D．倍B [由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积V＝πR3，知体积扩大到原来的2倍．]3．在△ABC中，AB＝2，BC＝
1.5，∠ABC＝120°如图所示，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是 A．B．C．D．D [依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OA＝AB·cos30°＝2×＝，所以旋转体的体积为π·2·OC－OB＝.]4．2019·湖北四校联考已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．16B．10＋πC．4＋5＋πD．6＋5＋πC [该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，其表面积为S＝π＋4π＋4＋π＝4＋5＋π.]5．圆柱被一个平面截去一部分后与半球半径为r组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝ A．1B．2C．4D．8B [如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝5π＋4r
2.又S＝16＋20π，∴5π＋4r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝
2.]6．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为__________. [设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.]7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为__________. [由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝，所以这个球的体积为πR3＝×＝.]8．某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为__________.＋ [如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为，所以该组合体的体积V＝××2＋1××1＋×π×13＝＋.]9．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图
①所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH，图
②、
③分别是该标识墩的正主视图和俯视图．1请画出该安全标识墩的侧左视图；2求该安全标识墩的体积．解 1侧视图同正视图，如图所示．2该安全标识墩的体积为V＝VPEFGH＋VABCDEFGH＝×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000cm3．10．如图a，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图b所示．1求证BC⊥平面ACD；2求几何体DABC的体积．1证明 在图中，可得AC＝BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD．2解 由1可知，BC为三棱锥BACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VBACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等体积性可知，几何体DABC的体积为.[B级 能力提升训练]11．2017·全国卷Ⅲ已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．πB．C．D．B [设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝＝.∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.]12．在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 A．B．4πC．8πD．20πC [由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝××＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝＝，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π.]13．2018·全国卷Ⅱ已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________.8π [在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝·SA2＝8，解得SA＝
4.设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h，在Rt△SAO中，∠SAO＝30°，所以r＝2，h＝2，所以圆锥的体积为πr2·h＝π×22×2＝8π.]14．2018·天津卷已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M如图，则四棱锥MEFGH的体积为__________. [依题意，易知四棱锥MEFGH是一个正四棱锥，且底面边长为，高为.故VMEFGH＝×2×＝.]15．2019·广东茂名模拟如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2，过BD作平面BDE与直线PA平行，交PC于点E.1求证E为PC的中点；2求三棱锥EPAB的体积．1证明 如图，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，则O为AC的中点，且平面PAC∩平面BDE＝OE，∵PA∥平面BDE，∴PA∥OE，∴E为PC的中点．2解 由1知，E为PC的中点，∴V三棱锥PABC＝2V三棱锥EABC．由底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2，得S△ABC＝×22＝，∴V三棱锥PABC＝S△ABC·PA＝××2＝.又V三棱锥PABC＝V三棱锥EABC＋V三棱锥EPAB，∴V三棱锥EPAB＝V三棱锥PABC＝.16．2019·贵州贵阳质检如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝.1求证DE⊥平面ACD；2设AC＝x，Vx表示三棱锥B－ACE的体积，求函数Vx的解析式及最大值．1证明 ∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE.∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC．∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C，DC，AC⊂平面ADC，∴BC⊥平面ADC．∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC．2解 ∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝.在Rt△ABC中，∵AC＝x，∴BC＝0x2，∴S△ABC＝AC·BC＝x·，∴Vx＝V三棱锥EABC＝x·0x2．∵x24－x2≤2＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时取等号，∴当x＝时，体积有最大值.。
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