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课下层级训练三十七 空间几何体的表面积与体积[A级 基础强化训练]1.圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为 A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3B [设球的半径为R.则==.]2.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的 A.2倍B.2倍C.倍D.倍B [由题意知球的半径扩大到原来的倍,则体积V=πR3,知体积扩大到原来的2倍.]3.在△ABC中,AB=2,BC=
1.5,∠ABC=120°如图所示,若将△ABC绕直线BC旋转一周,则形成的旋转体的体积是 A.B.C.D.D [依题意可知,旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥,如图所示,OA=AB·cos30°=2×=,所以旋转体的体积为π·2·OC-OB=.]4.2019·湖北四校联考已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A.16B.10+πC.4+5+πD.6+5+πC [该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体,其表面积为S=π+4π+4+π=4+5+π.]5.圆柱被一个平面截去一部分后与半球半径为r组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r= A.1B.2C.4D.8B [如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,则表面积S=×4πr2+πr2+4r2+πr·2r=5π+4r
2.又S=16+20π,∴5π+4r2=16+20π,∴r2=4,r=
2.]6.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为__________. [设新的底面半径为r,由题意得πr2·4+πr2·8=π×52×4+π×22×8,解得r=.]7.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为__________. [由正方体的表面积为18,得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R,则2R=3,R=,所以这个球的体积为πR3=×=.]8.某组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为__________.+ [如图所示,该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成,球的半径为1,四棱锥的高为球的半径,四棱锥的底面为等腰梯形,上底为2,下底为1,高为,所以该组合体的体积V=××2+1××1+×π×13=+.]9.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图
①所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH,图
②、
③分别是该标识墩的正主视图和俯视图.1请画出该安全标识墩的侧左视图;2求该安全标识墩的体积.解 1侧视图同正视图,如图所示.2该安全标识墩的体积为V=VPEFGH+VABCDEFGH=×402×60+402×20=32000+32000=64000cm3.10.如图a,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体DABC,如图b所示.1求证BC⊥平面ACD;2求几何体DABC的体积.1证明 在图中,可得AC=BC=2,从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC,又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,∴BC⊥平面ACD.2解 由1可知,BC为三棱锥BACD的高,BC=2,S△ACD=2,∴VBACD=S△ACD·BC=×2×2=,由等体积性可知,几何体DABC的体积为.[B级 能力提升训练]11.2017·全国卷Ⅲ已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A.πB.C.D.B [设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.∴r==.∴圆柱的体积为V=πr2h=π×1=.]12.在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC且PA=2,△ABC是边长为的等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为 A.B.4πC.8πD.20πC [由题意得,此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球,因为△ABC的外接圆半径r=××=1,外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1,所以外接球的半径R==,所以三棱锥外接球的表面积S=4πR2=8π.]13.2018·全国卷Ⅱ已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为__________.8π [在Rt△SAB中,SA=SB,S△SAB=·SA2=8,解得SA=
4.设圆锥的底面圆心为O,底面半径为r,高为h,在Rt△SAO中,∠SAO=30°,所以r=2,h=2,所以圆锥的体积为πr2·h=π×22×2=8π.]14.2018·天津卷已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M如图,则四棱锥MEFGH的体积为__________. [依题意,易知四棱锥MEFGH是一个正四棱锥,且底面边长为,高为.故VMEFGH=×2×=.]15.2019·广东茂名模拟如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA=AB=2,过BD作平面BDE与直线PA平行,交PC于点E.1求证E为PC的中点;2求三棱锥EPAB的体积.1证明 如图,连接AC,设AC∩BD=O,连接OE,则O为AC的中点,且平面PAC∩平面BDE=OE,∵PA∥平面BDE,∴PA∥OE,∴E为PC的中点.2解 由1知,E为PC的中点,∴V三棱锥PABC=2V三棱锥EABC.由底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,AB=2,得S△ABC=×22=,∴V三棱锥PABC=S△ABC·PA=××2=.又V三棱锥PABC=V三棱锥EABC+V三棱锥EPAB,∴V三棱锥EPAB=V三棱锥PABC=.16.2019·贵州贵阳质检如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,EB=.1求证DE⊥平面ACD;2设AC=x,Vx表示三棱锥B-ACE的体积,求函数Vx的解析式及最大值.1证明 ∵四边形DCBE为平行四边形,∴CD∥BE,BC∥DE.∵DC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴DC⊥BC.∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC,且DC∩AC=C,DC,AC⊂平面ADC,∴BC⊥平面ADC.∵DE∥BC,∴DE⊥平面ADC.2解 ∵DC⊥平面ABC,∴BE⊥平面ABC.在Rt△ABE中,AB=2,EB=.在Rt△ABC中,∵AC=x,∴BC=0x2,∴S△ABC=AC·BC=x·,∴Vx=V三棱锥EABC=x·0x2.∵x24-x2≤2=4,当且仅当x2=4-x2,即x=时取等号,∴当x=时,体积有最大值.。